C:\Users\Seven\Documents\Moje d

Matematyka finansowa - 8
Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne
W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym
(zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa, a zatem i stopa zwrotu (zwrot) R t z
inwestycji w akcję na okres t − 1, t (kupno w momencie t − 1, sprzedaż w momencie t) jest
zmienną losową
P t − p t−1 + D t−1,t
Rt =
,
p t−1
tzn. może przyjąć pewne wartości r t,1 , . . . , r t,m z pewnym (zwykle nieznanym) prawdopodobie
ństwem:
PR t = r t,1  = p 1 , . . . , PR t = r t,m  = p m .
”Oczekiwany zwrot” tj. wartość oczekiwana ER t  stopy zwrotu:
ER t  = r t,1 p 1 +. . . +r t,m p m .
”Ryzyko” σR t  dla akcji to odchylenie standardowe zmiennej losowej R t :
σR t  =
VarR t  =
ER t − ER t  2  .
Uwaga
Do obliczeń przyjmuje się ”empiryczną wartość oczekiwaną” (= średnia arytmetyczna
rzeczywistych stóp zwrotu r t−n dla akcji w minionych okresach
t − n − 1, t − n, n = 1, 2, . . . , m :
m
1
r̄ t = m
∑ r t−n ,
n=1
oraz ”empiryczne odchylenie standardowe”:
m
σ̄ =
1
m−1
∑r t−n − r̄ t  2
n=1
.
Instrumenty pochodne
Kontrakt terminowy (Futures) to papier wartościowy zobowiązujący jedną ze stron do
zakupu (pozycja długa - long), a drugą do sprzedaży (pozycja krótka - short) bazowego
papieru wartościowego lub towaru po ustalonej cenie X w ustalonym okresie T, T + Δ .
Ponieważ
fT = ST − X
100
80
60
40
20
0
-20
20 40 60 80 100
S 120 140 160 180 200
-40
-60
-80
-100
f T = S T − 100
to wartość teoretyczna f t kontraktu terminowego (dla pozycji długiej) w momencie t ≤ T :
f t = S t − Xe −δT−t .
gdzie:
S t - rzeczywista cena bazowego papieru (towaru) w momencie t ,
δ - siła oprocentowania (= nominalna stopa procentowa do kapitalizacji ciągłej) dla
lokat bezpiecznych (np. obligacji rządowych).
W chwili t < T :
portfel A : kontrakt (f t ) plus kwota dająca X po czasie T − t (Xe −δT−t )
portfel B : papier bazowy (S t )
w chwili T : portfele A i B dają papier bazowy, więc
V A T = V B T = S T  V A t = V B t
 f t + Xe −δT−t = S t
Opcja kupna (call) to papier wartościowy dający prawo (ale nie obowiązek) do zakupu
bazowego papieru wartościowego (towaru) po ustalonej cenie X w ustalonym momencie T
(opcja europejska), albo do ustalonego momentu T (opcja amerykańska).
Wartość teoretyczna c T - dla europejskiej, C T - dla amerykańskiej opcji kupna w momencie
T:
c T = C T = S T − X + = maxS T − X, 0 .
100
80
60
40
20
0
20
40
60
80
100
S 120 140 160 180 200
c T = maxS T − 100, 0
Wartość teoretyczna c t - dla europejskiej, C t - dla amerykańskiej opcji kupna akcji w
momencie t < T
c t > f t = S t − Xe −δT−t .
(wg modelu Blacka - Scholesa):
c t = C t = cS t , t = S t Φd − Xe −δT−t Φd − σ T − t ,
gdzie:
σ - odchylenie standardowe stopy zwrotu R t dla akcji,
Φ - dystrybuanta rozkładu normalnego N0; 1 :
d
Φd =
d=
ln
St
X
1
2Π
+ δ +
∫ e−
x2
2
dx ,
−∞
σ2
2
T − t
σ T−t
.
Uwaga
Mamy zawsze
c t > S t − Xe −δT−t .
Opcja sprzedaży (put) to papier wartościowy dający prawo (ale nie obowiązek) do zakupu
bazowego papieru wartościowego (towaru) po ustalonej cenie X w ustalonym momencie T
(opcja europejska), albo do ustalonego momentu T (opcja amerykańska).
Wartość teoretyczna p T - dla europejskiej, P T - dla amerykańskiej opcji sprzedaży w
momencie T :
p T = P T = maxX − S T , 0 .
100
80
60
40
20
0
20
40
60
80
100
S 120 140 160 180 200
p T = max100 − S T , 0
Wartość teoretyczna p t dla europejskiej opcji sprzedaży akcji w momencie t < T spełnia
warunek parytetu ”kupno - sprzedaż”:
p t + S t = c t + Xe −δT−t ,
stąd
p t = S t Φd − 1 − Xe −δT−t Φd − σ T − t  − 1
= −S t Φ−d + Xe −δT−t Φ−d + σ T − t  .
Wyjaśnienie warunku:
p t + S t = c t + Xe −δT−t ,
W chwili t < T :
portfel A : opcja kupna (c t ) plus kwota dająca X po czasie T − t (Xe −δT−t )
portfel B : opcja sprzedaży (p t ) plus papier bazowy (S t )
w chwili T : portfele A i B mają wartości:
V A T =
V B T =
ST
gdy S T > X
X + 0 gdy S T ≤ X
S T + 0 gdy S T > X
X
gdy S T ≤ X
V A T = V B T
 V A t = V B t  c t + Xe −δT−t = p t + S t
Wyjaśnienie warunku:
Ct = ct
W chwili t < T :
portfel A : opcja kupna (C t ) plus kwota dająca X po czasie T − t (Xe −δT−t )
w chwili T : portfele A w przypadku realizacji opcji w momencie t ma w momencie t wartość:
V rA t = S t − X + Xe −δT−t
a w przypadku niezrealizowania opcji
V nA t = C t + Xe −δT−t
W chwili T :
V rA T = S T − Xe δT−t + X < S T
a w przypadku niezrealizowania opcji
V nA t = C T + X = maxS T − X, 0 + X = maxS T , X.
Uwaga
Dla amerykańskiej opcji sprzedaży akcji można podać tylko oszacowanie wartości
teoretycznej P t :
P t + S t > C t + Xe −δT−t
P t > C t + Xe −δT−t − S t .
Jeśli S t < X − X e −δT−t , to wykonanie opcji amerykańskiej w momencie t < T daje w
momencie T wartość X − S t e δT−t > X, czyli więcej niż maksymalny zysk X, w przypadku
przetrzymania opcji do momentu T.
Wartość teoretyczna futures (dla pozycji długiej) w zależności od momentu t oraz ceny S
(przy X = 100, T = 1, dla δ = 0. 9 oraz dla δ = 0 :
150
100
t
50
0
-50
50
S
100
150
200
-100
f t = S − 100 exp−0. 91 − t
f t = S − 100
Wartość teoretyczna futures (dla pozycji długiej) w zależności od ceny S (przy
X = 100, T = 1, δ = 0. 9 dla t = 0. 25, t = 0. 5 t = 0. 75, t = 0. 95 :
150
100
50
0
20
40
60
80
100
S
120
140
160
180
200
-50
-100
Wartość teoretyczna futures (dla pozycji długiej) w zależności od momentu t (przy
X = 100, T = 1, δ = 0. 9, dla S = 75, 100, 125, 150 :
100
80
60
40
20
0
-20
0.2
0.4
t
0.6
0.8
1
Cena teoretyczna opcji call w zależności od momentu t oraz ceny S (przy X = 100, T = 1, dla
δ = 0. 3, σ = 0. 4 oraz dla δ = 0, σ = 0 :
100
0.8
0.6
t
500.4
0.2
0
50
S
100
150
200
Cena teoretyczna opcji call w zależności od ceny S (przy X = 100, T = 1, δ = 0. 3, σ = 0. 4 dla
t = 0. 25, t = 0. 5 t = 0. 75, t = 0. 95 :
120
100
80
60
40
20
0
20
40
60
80
100
S
120
140
160
180
200
Cena teoretyczna opcji call w zależności od momentu t (przy X = 100, T = 1, δ = 0. 3, σ = 0. 4
dla S = 75, 100, 125, 150 :
70
60
50
40
30
20
10
0
0.2
0.4
t
0.6
0.8
1