Teoria gier, matematyka WPPT semestr zimowy 2008/2009 III lista

Teoria gier, matematyka WPPT
semestr zimowy 2008/2009
III lista zadań
1. Znajdź wszystkie równowagi w grze dwóch
graczy z X = Y = [0, ∞) oraz
1
funkcjami wypłat u1 (x, y) = ln xy + 2 − x, u2 (x, y) = −(2x − y)2 .
Wskazówka: Znajdź (różniczkując funkcje wypłaty) wszystkie równowagi
w strategiach niezrandomizowanych, a następnie pokaż (jak w przykładzie
Vieille’a (będzie na wykładzie)), że najlepszą odpowiedzią na dowolną
strategię gracza 2. jest zawsze strategia czysta.
2. Znajdź wszystkie równowagi w strategiach czystych w grze na kwadracie
jednostkowym (tzn. z X = Y = [0, 1]) z funkcjami wypłat u1 (x, y) =
2
xy 2 − x2 , u2 (x, y) = sin(2π(x + y)).
3. Zapisz funkcje wypłaty graczy dla odpowiednika gry z dwoma sprzedawcami z pierwszego wykładu, w którym plaża jest odcinkiem długości 4, a
sprzedawcy wybierają dokładne położenie swoich sklepów (czyli ich zbiorami strategii też jest odcinek [0, 4]; popyt na lody również zależy od
dokładnej odległości od sklepu, a nie tylko od tego, na którym odcinku
znajdują się sklep oraz potencjalni kupujący). Następnie pokaż, że jedyną
równowagą Nasha w strategiach czystych w tej grze jest postawienie obu
sklepów na środku plaży.
4. Pokaż, że równowagą w grze location game z wykładu jest para strategii
zrandomizowanych µ∗ = 13 δ[0] + 16 δ[ 13 ] + 16 δ[ 23 ] + 13 δ[1], σ ∗ = 12 δ[0] + 12 δ[1].
5. Załóżmy, że w grze o sumie zerowej (X, Y, u), X = Y = [0, 1], a funkcja u
jest ciągła i wklęsła (względem obu zmiennych). Udowodnij, ze gra posiada
równowagę w strategiach mieszanych, w której pierwszy gracz ma strategię
czystą, a drugi – skupioną w co najwyżej dwóch punktach przestrzeni Y .
6. (Oligopol Cournota) Rozważ grę, w której mamy n symetrycznych firm,
produkujących podobne produkty, rywalizujących między sobą na rynku.
Użyteczność i-tej firmy określona jest wzorem
ui (x1 , . . . , xn ) = xi (a − b
n
X
xk ) − cx2i ,
k=1
gdzie xi jest poziomem produkcji ustalonym przez gracza i (czyli jego strategią), natomiast a, b, c są pewnymi stałymi dodatnimi. Pierwszy człon
powyższej formuły jest zyskiem ze sprzedaży produktów, a drugi kosztem ich wytworzenia. Oczywiście w takim przypadku jednostkowa cena
P
produkowanego przez nich produktu jest równa p(x) = a − b nk=1 xk .
(a) Znajdź równowagę Nasha w tej grze.
(b) Pokaż, że cena p, jeśli gracze używają strategii w równowadze, maleje
wraz ze wzrostem n monotonicznie do zera.
(c) Załóż, że gracze umówili się, że każdy z nich będzie używał takiej
samej strategii, takiej że suma użyteczności graczy będzie największa
możliwa. Oblicz, jakich strategii będą używali przy takim założeniu.
(d) Pokaż, że cena p, jeśli gracze będą używać strategii z ostatniego podpunktu, wraz ze wzrostem n będzie dążyć do a2 .
7. (a) Pokaż, że jeśli gra dwumacierzowa posiada kilka równowag Nasha,
to dowolna kombinacja wypukła tych równowag (traktowanych jako
rozkłady prawdopodobieństwa na produkcie zbiorów strategii czystych graczy1 ) jest równowagą skorelowaną w tej grze.
(b) Rozważ grę dwumacierzową z macierzami wypłat
"
A=
4 1
5 0
#
"
,
B=
4 5
1 0
#
.
Znajdź dla niej wszystkie równowagi Nasha. Następnie pokaż (zapisując warunki na to, że rozkład prawdopodobieństwa jest równowagą
skorelowaną, i znajdując rozkład, który spełnia te warunki, a nie jest
kombinacją wypukłą równowag Nasha), że istnieją w niej równowagi
skorelowane, które nie są powyższej postaci.
Wskazówka: Załóż np., że dla tego rozkładu p11 > 0, a p22 = 0.
(c) Pokaż, że jeśli równowaga skorelowana jest miarą produktową (czyli
jeśli jest postaci pij = µi σj dla jakichś rozkładów prawdopodobieństwa na zbiorach strategii graczy µ i σ), to µ i σ są równowagą Nasha.
1
tzn. jeśli µ = (µ1 , . . . , µn ) i σ = (σ1 , . . . , σm ) są równowagą, rozważamy rozkład prawdopodobieństwa na produkcie pij = µi σj .