Materiały do zajęć - część 3

DRGANIA MECHANICZNE
materiały uzupełniające do ćwiczeń
Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych
studia inżynierskie
prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak
część 3 – drgania wymuszone siłą harmoniczną
drgania wymuszone siłą odśrodkową
drgania wymuszone kinematycznie
Poniższe materiały tylko dla studentów uczęszczających na zajęcia.
Zakaz rozpowszechniania i powielania bez zgody autora.
DRGANIA WYMUSZONE
Wymuszenie siłą harmoniczną, impulsową, poliharmoniczną, stochastyczną, dowolną.
Wymuszenie siłą odśrodkową. Wymuszenie kinematyczne.
Drgania oscylatora harmonicznego tłumionego wymuszonego siłą harmoniczną
k
Równanie ruchu: m ẍ (t)+c ẋ (t)+ k x (t)=P (t)
ẍ (t)+ 2 h ẋ (t)+ω 20 x (t)=
P (t )
m
F(t)
m
c
Dla P (t)= P0 sin ν t i h< ω0
rozwiązanie ma postać sumy rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (drgania swobodne
gasnące) i rozwiązania szczególnego równania pełnego (drgań ustalone)
x (t)=e−ht ( Acos ω t+ B sin ω t )+ Asin (ν t+ δ)
Podstawiając A sin( ν t +δ) do równania ruchu otrzymujemy układ równań z którego
wyznaczamy parametry A i δ :
A=
P0
1
2
2
m √(ω 0−ν )2 +4 h2 ν 2
δ=arctg
(
−2 h ν
2
2
ω0−ν
)
x(t)
Stałe A i B wyznaczamy z warunków początkowym ale z uwzględnieniem całej postaci
rozwiązania.
REZONANS HARMONICZNY, czyli widoczny w powyższym przykładzie wzrost amplitudy
drgań ustalonych przy wymuszeniu zbliżonym do częstości drgań własnych, jest najistotniejszym
zjawiskiem powodującym potrzebę analizy drgań układów mechanicznych.
WYKRESY AMPLITUDY DRGAŃ USTALONYCH dla ω0=1
Wymuszenie harmoniczne
(dla przemieszczenia)
Wymuszenie harmoniczne
(dla prędkości)
Wymuszenie harmoniczne
(dla przyspieszenia)
Przykład
Dobrać wartość współczynnika sztywności w modelu dzwonka elektrycznego tak, aby układ
zadziałał. Przyjmujemy przybliżenie, że elektromagnes działa na ciężarek siłą sinusoidalną o
częstotliwości 50Hz i amplitudzie 10N.
Dane: f =50Hz , P 0=10 N , L=50mm , m=5g , d =1mm
Pełne rozwiązanie drgań układu:
x (t)=e−ht ( Acos ω t+ B sin ω t )+ Asin (ν t+ δ)
gdzie amplituda drgań ustalonych układu
A=
P0
1
2
2
mL √( ω0−ν )2 + 4 h 2 ν 2
Z powodu braku tłumienia w układzie (h=0) mamy
P
1
x (t)=A cos ω0 t + B sin ω0 t+ Asin ν t
A= 0 2 2
mL ∣ω 0−ν ∣
Aby układ zadziałał amplituda drgań (przemieszczenie, ale równanie jest na kąt obrotu) ciężarka
musi być co najmniej równe szczelinie dzwonka, zatem
A L⩾d
P0
1
L⩾d
2
mL ∣ω0−ν 2∣
Następnie przekształcamy aby wydobyć niewiadomy współczynnik k
P0
m
1
⩾d
k
2
∣
−ν ∣
4m
co daje nam dwa warunki: k ⩽4
P0
P
+4 m ν 2 ∧ k ⩾4 m ν2 −4 0
d
d
i ostatecznie: k ⩽41973,92
N
m
DRGANIA WYMUSZONE SIŁĄ ODŚRODKOWĄ
Skrót teorii:
(m1 +m2 ) ẍ (t)+c ẋ (t)+ k x (t)=F b sin ν t
F b=m 2 e ν
2
2
ẍ (t)+ 2 h ẋ (t)+ω 0 x (t)=q sin ν t
2
q=
m2 e ν
m 1+ m 2
x (t)=e−ht ( Acos ω t+ B sin ω t )+ Asin (ν t+ δ)
A=q
1
√(ω −ν ) + 4 h 2 ν2
2
0
2 2
tg δ=
−2 h ν
2
2
ω0−ν
Występowanie zjawiska:
- wszelkie maszyny z elementami wirującymi
Przykład
Wyprowadzić równianie ruchu płaskiego modelu wyważarki do kół. Jak obliczyć położenie środka
ciężkości koła?
obr
]
Dane: k , c , m1, N [
min
Zakładamy koło na urządzenie – z ugięcia statycznego sprężyn
x st wyznaczamy masę koła:
m2=2 k
x st
g
Zamieniamy prędkość obrotową koła na częstość kołową:
ν=2 π
N
60
Równanie ruchu maszyny:
2
(m1 +m2 ) ẍ+ c ẋ + 2 k x=m2 e ν sin ν t
ẍ (t)+ 2 h ẋ (t)+ω 20 x (t)=
m2
e ν 2 sin ν t
m1 +m2
Ruch ustalony maszyny opisuje funkcja:
A=
x (t)=A sin(ν t +δ) , gdzie
m2
1
e ν2
2
2 2
m1 + m2
√(ω 0−ν ) +4 h2 ν2
tg δ=
−2 h ν
2
2
ω0−ν
Mierząc amplitudę drgań maszyny podczas jednostajnego ruchu obrotowego koła możemy obliczyć
wartość przesunięcia środka masy koła:
e= A
m 1+ m 2
m2 ν
2
√( ω −ν ) + 4 h
2
0
2 2
2
ν2
Widząc, że na skutek tłumienia przebieg drgań układu opóźniony jest w czasie względem
wymuszenia, możemy odszukać położenie kątowe koła, przy którym jest maksimum amplitudy
drgań a następnie cofając koło o kąt δ znaleźć dokładne położenie środka masy koła.
wymuszenie bezwładnościowe
(dla przemieszczenia)
DRGANIA WYMUSZONE KINEMATYCZNIE
Występowanie zjawiska:
– ruch pojazdu po nierównościach drogi
– wpływ drgań podłoża na pracę urządzeń mechanicznych
Wymuszenie kinematyczne
(dla przemieszczenia)
Wymuszenie kinematyczne
(dla prędkości)
Wymuszenie kinematyczne
(dla przyspieszenia)
Sebastian Korczak, 09.12.2011
aktualizacja: 19.04.2012
aktualizacja: 12.04.2013
aktualizacja: 11.05.2014
aktualizacja: 19.04.2015