ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO
NR 394 PRACE KATEDRY EKONOMETRII I STATYSTYKI NR 15 2004
AGNIESZKA MAJEWSKA
Uniwersytet Szczeci ski
ZASTOSOWANIE METODY MONTE CARLO
DO WYCENY OPCJI
WST P
Opcje s instrumentami, które same w sobie nie maj adnej warto ci. To,
ile kosztuje dana opcja, zale y bowiem od waloru, na który została ona wystawiona i który podlega zmianom cen. Pocz tkowo w wycenie opcji posługiwano
si wył cznie intuicj . Jako pierwszy matematyk próbował zastosowa w 1900
roku Louis Bachelier. Jego rozwa ania nad warto ci opcji kontynuowali
w latach sze dziesi tych Case Sprenkle, James Boness oraz Paul Samuelson.
Ostateczn odpowied uzyskali w 1970 roku Fischer Black, Myron Scholes
i Robert Merton, dokonuj c przełomu w dziedzinie wyceny instrumentów pochodnych. Ewolucj modeli wyceny opcji przedstawiono na rysunku 1.
150
Agnieszka Majewska
1990
1964
1965
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1.
MODELE ANALITYCZNE
1c.
Prekursorzy modelu
Blacka-Scholesa
2.
MODELE NUMERYCZNE
Merton
Thorpe
Cox/Ross
Boyle
Merton
BECHELIER
Sprenkle
1990
Boness
Samuelson
BLACK-SCHOLES
Ingersoll
Black
Schwartz
Roll
Sharpe
Cox/Ross/Rubinstein
Rendleman/Bartter
1c.
Symulacje
Monte Carlo
Courtadon
Geske
Goldman/
Sosin/
Gatto
Geske
Whaley
Jarrow/Rudd
Garman/Kohlhagen
Grabbe
Ho/Lee
Hull/White
Hull/White Black/Derman/Toy
1b.
Modele
1a.
sko
czonej Modele
ró nicy dwumianowe
Scott
Wiggins
1a.
Uogólnienia modelu
Blacka-Scholesa
1b.
Rozszerzenia modelu
Blacka-Scholesa
Macmillan
Barone-Adesi/
Whaley
3.
MODELE
APROKSYMACJI
ANALITYCZNEJ
1964
1965
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
Rys.1. Drzewo genealogiczne modeli wyceny opcji
ródło: [9], s. 402.
1.
HISTORIA METOD MONTE CARLO
Historia metod Monte Carlo, których nazwa pochodzi od słynnego koła
ruletki w Monako si ga 1944 roku. Do ich powstania przyczyniły si prowadzone wówczas przez J. Prespera Eckerta i Johna W. Mauchly’ego prace nad
unowocze nieniem techniki budowania „maszyn licz cych”. Zajmowali si oni
konstrukcj maszyny o nazwie ENIAC (Electronic Numerical Integrator and
Computer), której przeznaczeniem było obliczanie tablic artyleryjskich na potrzeby armii ameryka skiej. Za prekursorów tych metod uwa a si jednak
J. von Neumanna i S.M. Ulama. J. von Neumann rozwijał metody Monte Carlo
bior c udział w projekcie maszyny MANIAC I (Mathematical Analyzer, Numerical Integrator and Computer) i jej nast pnej wersji – MANIAC II. Ju
w pierwszym stadium bada okazało si bowiem, e efektywno tych metod
jest zadowalaj ca tylko wówczas, gdy dysponuje si szybk maszyn cyfrow ,
wykonuj c miliony operacji na sekund . Mo liwe jest wtedy wykonanie du-
Zastosowanie metody Monte Carlo do wyceny opcji
151
ych prób statystycznych, gwarantuj cych zmniejszenie bł du redniokwadratowego otrzymanego rozwi zania do oczekiwanego poziomu. Głównym bod cem do tych prac było badania zachowania si neutronów w reaktorze atomowym. Z kolei Stanisław Ulam, polski matematyk pracuj c na tych maszynach,
szeroko rozpowszechniał i rozwijał metody Monte Carlo.
Trudno ci techniczne zwi zane z wykorzystaniem metod Monte Carlo tak
naprawd przyczyniły si do ich ulepszenia. Pozwoliło to na zwi kszenie efektywno ci na tyle, e kr g mo liwych zastosowa obj ł wiele zada nauki i techniki. Najbardziej znacz ce udoskonalenia s zwi zane z wprowadzeniem do
oblicze prawdopodobie stw warunkowych i wag statystycznych uzyskanych
na podstawie informacji dotycz cych rozwi za równa sprz onych w sensie
okre lonym przez podstawowe funkcjonały zadania. Uwa a si , e rozkwit
metod Monte Carlo przypada na lata 70., gdy zacz ły by wykorzystywane
mi dzy innymi do:
− obliczania całek,
− rozwi zywania równa liniowych, ró niczkowych cz stkowych, całkowych,
− szacowania stałych matematycznych,
− generowania liczb losowych,
− zagadnie własnych,
− zagadnie modelowania cyfrowego.
2.
ZASTOSOWANIE METOD MONTE CARLO W FINANSACH
Pocz tek zastosowa metod Monte Carlo w dziedzinie finansów wi e si z opublikowaniem w 1977 roku pracy Phelima Boyle’a1, który zaproponował
wykorzystanie metody Monte Carlo do symulacji. Polegaj one na generowaniu
dowolnej liczby ci gów obserwacji zachowuj cych okre lone zało enia, takie
jak losowo , typ rozkładu, parametry rozkładu i korelacje mi dzy wygenerowanymi ci gami obserwacji. Stosowane s głównie do zarz dzania portfelem
ró nych instrumentów finansowych, do których mo na zaliczy akcje spółek
giełdowych, waluty, papiery warto ciowe o stałym dochodzie, instrumenty
1
Zob. [2], s. 323–338.
152
Agnieszka Majewska
pochodne. Ostatnio metody te znalazły równie zastosowanie w zarz dzaniu
portfelem kredytowym banków komercyjnych.
Zgodnie z rysunkiem 1, symulacje Monte Carlo nale do grupy metod
numerycznych wyceny opcji. Rozwa ane s one w sytuacji rynku doskonałego,
czyli wówczas, gdy na rynku finansowym:
− oprocentowanie depozytów i kredytów bankowych jest jednakowe,
− wysoko zaci gni tych kredytów jest nieograniczona,
− nie ma kosztów zawierania transakcji,
− wszystkie aktywa s doskonale podzielne,
− dopuszczalna jest krótka sprzeda aktywów.
W metodzie tej wykorzystywany jest fakt, e rozkład warto ci waloru w dniu
wyga ni cia opcji jest okre lony procesem decyduj cym o jego zmianach. Znaj c ten proces, przez wielokrotne symulacje uzyskuje si rozkład ko cowych
warto ci waloru bazowego, z którego mo na bezpo rednio wyprowadzi warto oczekiwan waloru w dniu wyga ni cia opcji. Z uwagi na deterministyczny charakter tej metody otrzymane liczby losowe nie s w rzeczywisto ci liczbami przypadkowymi, lecz mo na je dokładnie przewidzie , st d cz ste okre lenie ich jako liczb pseudolosowych.
3.
WYKORZYSTANIE SYMULACJI MONTE CARLO DO WYCENY OPCJI
Zastosowanie symulacji Monte Carlo do wyceny opcji w praktyce sprowadza si do wyznaczenia przyszłych cen waloru bazowego przy wykorzystaniu geometrycznego ruchu Browna, a nast pnie zastosowania ogólnych wzorów
na wycen opcji. Ruch Browna po raz pierwszy został zastosowany do modelowania stochastycznych procesów finansowych przez Norberta Wienera w
latach 1918–1923. Stał si przez to jednym z najwa niejszych modeli procesów
losowych. Poniewa mo e by traktowany jako granica procesu bł dzenia losowego, cz sto jest wykorzystywany w badaniach ekonomicznych do opisu
niepewno ci w czasie ci głym2. Przykład stochastycznego równania ró niczkowego, które mo e by stosowane mi dzy innymi do modelowania cen akcji,
stopy inflacji, poda y pieni dza, podał mi dzy innymi A.G. Malliaris (1990).
W finansowych modelach wyceny opcji do procesu Wienera stosuje si tak
2
Zob. [4]; [7]; [10], s. 23–25; [11].
Zastosowanie metody Monte Carlo do wyceny opcji
153
zwany lemat Ito3. Zakładaj c ci gło procesu, otrzymuje si nast puj cy wzór
symuluj cy przyszł warto waloru bazowego4:
ln S = ln S0 + µ −
σ2
2
⋅ t + σ ⋅ε t ,
(1)
gdzie:
S – przyszła cena instrumentu finansowego,
S0 – cena rzeczywista instrumentu bazowego,
µ – rednia arytmetyczna procesu, wyznaczona na podstawie danych rzeczywistych,
σ – odchylenie standardowe procesu, wyznaczona na podstawie danych
rzeczywistych,
t – przyrost czasu,
ε – proces stochastyczny, w którym kolejne zmienne s stochastyczne
o rozkładzie normalnym.
Po wyznaczeniu mo liwych cen waloru bazowego wyceny opcji dokonano wykorzystuj c model Blacka-Scholesa (1973). Cen opcji kupna (c) i sprzeda y
(p) w modelu tym wyznacza si według nast puj cych równa :
c = S ⋅ N ( d1 ) − X ⋅ e − rt N ( d 2 ) ,
(2)
p = X ⋅ e − rt N ( − d 2 ) − S ⋅ N ( − d1 ) ,
(3)
przy czym:
ln ( S X ) + ( r + σ 2 2) ⋅ t
d1 =
,
σ (t
d 2 = d1 − σ t ,
gdzie:
S – warto waloru bazowego w chwili t,
X – cena wykonania opcji,
r – krajowa stopa procentowa wolna od ryzyka,
T – okres wa no ci opcji,
3
4
Zob. ibidiem.
Zob. [7], s. 99.
154
Agnieszka Majewska
σ – zmienno ceny waloru bazowego,
N(di) – dystrybuanta standaryzowanej zmiennej o rozkładzie normalnym.
4.
BADANIE EMPIRYCZNE
Badanie empiryczne obj ło warranty notowane na Giełdzie Papierów
Warto ciowych w Warszawie. Nale one do instrumentów bardzo zbli onych
w swej istocie do opcji. Jak pisze J. Hull, s to „opcje powstaj ce w nieco inny
sposób”5, poniewa wystawcami mog by spółki lub instytucje finansowe.
Warrant, podobnie jak opcja, daje wi c jego posiadaczowi prawo, ale nie obowi zek, kupna lub sprzeda y le cego u jego podstaw papieru warto ciowego
po uprzednio ustalonej cenie i w okre lonym czasie. Inaczej mówi c, jest to
talon opcyjny w formie obiegowego papieru warto ciowego notowanego na
giełdzie. Ze wzgl du na fakt, e warto warrantów wyznaczana metod Monte
Carlo opiera si na symulacjach cen walorów bazowych, które niekiedy mog
znacznie odbiega od ich realizacji, ograniczono si do prezentacji wyników
dla siedmiu walorów, w ród których si znalazło:
− 5 warrantów kupna na akcje Agory, Budimexu, Bigu, Elektrimu oraz
kontraktu futures na WIG20,
− 2 warranty sprzeda y na akcje TP SA oraz indeks WIG20.
W rzeczywisto ci badanie przeprowadzone było dla 34 warrantów. Otrzymane
wyniki przedstawia tabela 1, w której dla ró nych pomiarów zmienno ci cen
walorów bazowych uj to wzgl dne bł dy wycen. W badaniu zastosowano trzy
metody szacowania zmienno ci:
a) klasyczna – za pomoc odchylenia standardowego (n = 180);
b) wykorzystanie procedury EWMA6, w której parametr wagowy λ został
przyj ty na czterech poziomach: 0,5; 0,7; 0,9 i 0,95;
c) wykorzystanie modeli ekonometrycznych:
− GARCH(1,1) – Agora, Big, Elektrim, Futures na WIG20, TP SA,
WIG20,
− ARCH(1) – Budimex.
W tabeli prezentuj cej otrzymane wyniki nie uj to równie wi kszej liczby
okresów, poniewa w niektórych przypadkach ju od trzeciego uzyskiwane
5
6
Zob. [5], s. 215.
Zob. [6], s. 453–462.
Zastosowanie metody Monte Carlo do wyceny opcji
155
ceny teoretyczne osi gały warto ci ró ni ce si od giełdowych o kilka tysi cy
procent. Najmniejszy wzgl dny bł d oszacowa dla wycen poszczególnych
warrantów symulacjami Monte Carlo wahał si w granicach od 1,45 do 74,2%.
W wi kszo ci przypadków nie osi gn ł on nawet 10%. Nale y jednak zaznaczy , e tak niskie bł dy utrzymywały si z reguły tylko do drugiego okresu.
Ponadto bardzo cz sto si zdarzało, e oprócz bardzo dokładnych wycen pojawiały si wyniki diametralnie ró ni ce si od warto ci rzeczywistych.
Tabela 1
Numer okresu
I
II
I
II
I
II
I
II
I
I
II
I
II
Wzgl dne bł dy wycen symulacji Monte Carlo
AGOI054BDM
s(x)
λ = 0,5
λ = 0,7
λ = 0,9
λ = 0,95
119,11
21,92
101,10
169,71
4,53
106,09
30,36
93,02
141,04
15,13
BDXI032BDM
50,60
103,30
91,30
53,50
52,40
86,00
96,30
95,30
87,00
86,60
BIGI004BDM
5 269,24 1 135,18
238,80
172,65
20,08
6 958,29 1 389,98
282,84
205,10
14,66
ELEI004BDM
33,29
6,00
5,44
13,94
2,94
82,94
81,63
75,84
38,69
1,45
FW2L111BDM
147,04
64,68
13,71
19,31
3,40
TPSX011BRE
10,20
97,95
47,01
18,51
8,56
19,26
37,93
13,66
20,38
5,26
W20X150BRE
46,12
251,27
20,29
22,28
5,86
69,82
3 181,66
481,67
195,44
296,82
model
6,96
17,30
25,70
74,20
23,27
18,17
4,61
58,82
18,90
9,85
19,51
60,38
7,86
ródło: opracowanie własne.
Podsumowaniem przeprowadzonych symulacji s nast puj ce wnioski:
1. Metoda Monte Carlo eliminuje istnienie ogólnie rozumianych trendów
giełdowych, jakim podlegaj ceny walorów bazowych. W przypadku wyst pienia wyra nego trendu na giełdzie ceny akcji zachowuj si inaczej ni w przypadku geometrycznego ruchu Browna. Mo e to by powodem niewła ciwych
wycen.
156
Agnieszka Majewska
2. Teoria chaosu zakłada, e rynek „obdarzony jest pami ci ”, która ma
znaczny wpływ na przyszłe ceny walorów bazowych. Wprowadzenie losowo ci
do wycen poprzez symulacje prowadzi do wykluczenia tego zało enia7.
3. Najlepsze wyniki symulacji uzyskuje si na jeden, dwa okresy „do
przodu”.
4. Zmiana warto ci walorów bazowych nie ma tak wielkiego wpływu na
wycen warrantów i opcji, jak zmiana wariancji stop zwrotu z tego waloru.
5. Symulacje mogłyby obejmowa równie kształtowanie si stopy procentowej wolnej od ryzyka, ale w obecnej sytuacji gospodarczej zało enie, e
stopy procentowe b d zmienia si w dowolnym kierunku, ma charakter czysto teoretyczny.
PODSUMOWANIE
W ród metod numerycznych do wyceny instrumentów pochodnych mog
by stosowane symulacje Monte Carlo. Otrzymane wyniki wskazuj , e mog
by one prowadzone tylko na jeden, dwa okresy „do przodu”. W wi kszo ci
przypadków ju od trzeciego uzyskiwano ceny teoretyczne nawet o kilka tysi cy procent ró ni ce si od giełdowych. Ograniczeniem metody Monte Carlo
jest równie nieuwzgl dnianie ogólnie rozumianych trendów giełdowych, jakim
podlegaj ceny walorów bazowych. W przypadku wyst pienia wyra nego trendu na giełdzie ceny akcji zachowuj si inaczej ni w przypadku geometrycznego ruchu Browna. Mo e to by powodem niewła ciwych wycen. Przeprowadzone symulacje potwierdziły, e jednym z najwa niejszych parametrów przy
wycenie jest zmienno . Zmiana warto ci walorów bazowych nie miała bowiem tak wielkiego wpływu na wycen warrantów, jak zmiana wariancji stóp
zwrotu z tego waloru.
LITERATURA
1.
Black F., Scholes M.: The Pricing of Options and Corporate Liabilities. „Journal of
Political Economy” 1973, No. 81.
7
Zob. [8], s. 83–104; [13].
Zastosowanie metody Monte Carlo do wyceny opcji
2.
157
Boyle P.P.: Options: A Monte Carlo Approach. „Journal of Financial Economics”
1977, No. 4.
3.
Brandt S.: Analiza danych. Metody statystyczne i obliczeniowe. PWN, Warszawa
1999.
4.
Gajek L., Kałuszka M.: Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. WNT, Warszawa 2000.
5.
Hull J.: Kontrakty terminowe i opcje. WIG-Press, Warszawa 1997.
6.
Metody ekonometryczne i statystyczne w analizie rynku kapitałowego. Red.
K. Jajuga. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław 2000.
7.
Majewska A., Majewski S.: Porównanie zmienno ci kursów euro szacowanych na
podstawie danych historycznych oraz z u yciem procedury EWMA. W: Rynek kapitałowy. Skuteczne inwestowanie. Cz. I, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu
Szczeci skiego, Szczecin 2002.
8.
Peters E.E.: Teoria chaosu a rynki kapitałowe. WIG-Press, Warszawa 1997.
9.
Smithson Ch.W., Smith C.W., Wilford D.S.: Zarz ! dzanie ryzykiem finansowym.
Dom Wydawniczy ABC, Kraków 2000.
10. Syczewska E.: Analiza relacji długookresowych: estymacja i weryfikacja. Monografie i Opracowania nr 462. SGH, Warszawa 2002.
11. Weron A., Weron R.: In ynieria finansowa. WNT, Warszawa 1998.
12. Weron A., Wojakowski Ł.J.: Metody numeryczne w modelowaniu finansowym –
metoda Monte Carlo. „Rynek Terminowy” 1999, nr 4.
13. Zwolankowska M.: Fraktalna geometria polskiego rynku akcji. Wydawnictwo
Naukowe Uniwersytetu Szczeci skiego, Szczecin 2001.
THE INTRODUCTION TO USING MONTE CARLO METHOD IN THE
VALUATION OF OPTIONS
Summary
The Monte Carlo Method is one of numerical methods, which is used to value
derivatives. It provides approximate solutions to a variety of mathematical problems by
performing statistical sampling experiments on a computer. The article shows how
Monte Carlo simulations can be used in the valuation of options. It is a new technique
158
Agnieszka Majewska
based on the randomisation of derivatives’ prices. To put Monte Carlo simulations in the
valuation of options in practice resolves into calculation of the future prices of underlying assets by using geometric Brown’s motion, and subsequently using general options
pricing models. The empirical data for the analysis were warrants quoted on the Warsaw
Stock Exchange, because they belong to instruments that are very similar in their nature
to options. The results show that Monte Carlo simulations in the valuation of options can
be used for only one or two periods ahead.
Translated by Agnieszka Majewska