Zasada ”1% Risk„ ”1% Risk„ Rule

Zasada ”1% Risk„
Ochrona kapitału czy ograniczanie zysku?
”1% Risk„ Rule
Protecting capital or limiting profit?
Opracował
Adam Marszałek
Koło Naukowe Matematyków
Politechniki Krakowskiej
Opiekun naukowy
dr Jan Pudełko
Instytut Matematyki
Politechniki Krakowskiej
Abstract
The „1% Risk” rule is a popular investment strategy, recommended most often to novice investors
in the monetary market (Forex). The purpose of this work is to provide a mathematical analysis of
this rule. We ask, if the 1% level of the risk is always optimal and if not then then how to calculate
such an optimal level for different strategies.
First, we present how monetary market works and explain how the „1% Risk” rule is used. In the
main part of the paper we introduce our optimization criteria: propability of bankrupcy and probability
of success. The objective function is proposed and then used to find the optimum level of risk.
Finally, our results are applied to the analysis of two investment styles: scalping and midterm
trading.
Streszczenie
W pracy zajmujemy się analizą matematyczną jednej ze strategii zarządzania kapitałem inwestycyjnym, a mianowicie zasadą „1% Risk”. Zasadę tę poleca się m.in. początkującym inwestorom na
rynku walutowym (Forex) przy budowaniu ich strategii inwestycyjnej. Naszym celem jest wyznaczenie
stałej wartości ryzyka, która przy danych założeniach dotyczących konkretnej strategii inwestowania
będzie optymalna. Otrzymana wartość zastąpi wartość 1 procenta w omawianej zasadzie.
Na wstępie przybliżymy nieco rynek walutowy. W głównej części pracy wyprowadzimy kryteria
optymalizacyjne, jakimi są tu: prawdopodobieństwa bankructwa i prawdopodobieństwa sukcesu. Następnie przy użyciu tych kryteriów zaproponujemy funkcję celu, z której wyznaczymy optymalny
poziom ryzyka.
Na zakończenie zaprezentujemy otrzymane wyniki na przykładzie dwóch stylów inwestowania:
skalpowaniu i handlu średnioterminowego.
1. Zasada”1%Risk„ na rynku Forex
1.1. Co to jest Forex? Podstawowe wiadomości
Forex to potoczna nazwa największego rynku na świecie - rynku wymiany walut (Foreign
Exchange - FX) z dziennymi obrotami sięgającymi obecnie 2 bln dolarów. Jak sama nazwa
wskazuje, na tym rynku handluje się pieniędzmi. Forex jest rynkiem OTC (Over The Counter),
co oznacza, że nie ma jednego miejsca na świecie gdzie dokonuje się wszystkich operacji na tym
rynku, a handel parami walut odbywa się za pośrednictwem telefonów, Internetu i globalnej
sieci banków.
źródło: www.forex.nawigator.biz
Weźmy parę walutową EUR/USD. Pierwszą walutę w parze nazywamy walutą bazową, drugą zaś
walutą kwotowaną. Kurs tej pary mówi nam ile dolarów amerykańskich możemy kupić za jedno euro.
Kupując parę walutową zajmujemy na rynku pozycję długą (long), dla pary EUR/USD oznacza
to, że kupujemy euro. Natomiast sprzedając zajmujemy pozycję krótką (short), dla pary EUR/USD
oznacza to, że kupujemy dolara. Każdą pozycję zamykamy poprzez pozycję odwrotną. Transakcją
będziemy nazywać zajęcie jakiejkolwiek pozycji na rynku.
Podstawową jednostką na rynku Forex jest Lot. Jest to minimalna ilość danej waluty, którą
możemy wykupić na danej platformie i typie konta. Zazwyczaj dla kont mini jest to 10 000 jednostek,
a dla kont standardowych 100 000 jednostek. Spora część brokerów umożliwia grę na mini lotach
(0.1 lota), a także mikro lotach (0.01 lota).
Mogłoby wydawać się, że z powodu ograniczenia co do minimalnej wielkości transakcji rynek Forex
jest tylko dla ludzi z dużą gotówką. Nic bardziej mylnego. Narzędziem pozwalającym kontrolować
dużą pozycję przy pomocy małej sumy pieniędzy jest dźwignia (leverage). Jest to relacja pomiędzy
kapitałem o stałym oprocentowaniu pożyczonym przez firmę brokerską (kredyt), a wartością zainwestowanego kapitału (depozyt).
Dużym ułatwieniem w handlu na rynku Forex jest możliwość otwierania pozycji z limitami. Występują dwa rodzaje limitów:
— limit Stop-Loss (SL) służący do automatycznego zamykania pozycji przy określonych stratach,
gdy kurs pójdzie nie po naszej myśli.
— limit Take-Profit (T P ) służący do automatycznego zamykania pozycji przy określonym zysku,
zapobiega przed stratą już osiągniętego zysku.
Jednostką, w której wyrażana jest zmiana kursu pary walutowej jest pips. Jeden pips w zależności
od pary i jej kursu to drugie lub czwarte miejsce po przecinku. Limity SL i T P także wyrażane są
w pipsach.
Dla przykładu dla pary EUR/USD i dźwigni 100 : 1 za 100 dolarów możemy wejść w pozycję
na 10 000 euro. Dla tej pary 1 pips to 0.0001. Kupując euro z limitem SL = 20 oznacza, że pozycja
zamknie się gdy kurs spadnie o 0.002, natomiast z limitem T P = 30 oznacza, że pozycja zamknie się
gdy kurs wzrośnie o 0.003.
1.2. Zasada ”1% Risk„ oraz kilka przydatnych wzorów
Zasada”1% Risk„ jest strategią określającą zasady zarządzania kapitałem inwestycyjnym. Polega
ona na dobieraniu takiej wielkości transakcji aby maksymalna strata jaką dopuszczamy stanowiła 1%
aktualnego stanu konta.
Dopuszczalną stratę najłatwiej możemy określić poprzez ustalenie poziomu SL. Wtedy wielkość
transakcji jaką powinniśmy otworzyć aby strata ta była równa R procent stanu konta możemy
2
wyliczyć ze wzoru (1), natomiast z wzoru (2) możemy wyliczyć zysk/stratę jaką poniesiemy jeśli
kurs zmieni sie o ustaloną ilość pipsów.
P =
R·K
,
SL · D · Lot
Z = P · Lot · P ips · D ,
gdzie:
P - wielkość pozycji (w lotach),
R - procent (1% ⇒ R = 0.01),
K - stan konta,
SL - limit Stop-Loss (w pipsach),
D - dokładność kwotowania (dla EUR/USD ⇒ D
(1)
(2)
Lot - wielkość 1 lota (np. Lot = 10 000),
Z - zysk/strata,
P ips - zmiana kursu (w pipsach),
= 0.0001).
2. Analiza matematyczna zasady „1% Risk”
W tej części referatu postaramy się odpowiedzieć na pytanie postawione w tytule referatu, a mianowicie czy zawsze 1% się opłaca. W tym celu będziemy dążyć do wyznaczenia optymalnego parametru
R dla z góry ustalonych pozostałych parametrów systemu transakcyjnego.
2.1. Budowa modelu
Niech K0 ­ 0 oznacza kapitał początkowy. Załóżmy, że w rozważanym systemie transakcyjnym
ustalone są stałe poziomy limitów SL i T P . Oznacza to, że w każdej transakcji zarabiamy dokładnie
T P pipsów lub tracimy dokładnie SL pipsów.
Stan konta po jednej transakcji wyraża się wzorem
K1 = K0 ± Z.
Korzystając z wzorów (1) i (2) otrzymujemy

TP

 K0 (1 + R ·
) , gdy transakcja była zyskowna,
SL
K1 =

 K (1 − R · SL ) , gdy transakcja była stratna.
0
SL
Niech teraz X1 , X2 , . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie
dwupunktowym takim, że
P (Xi = a) = s, P (Xi = −1) = 1 − s, i = 1, 2, . . . , n ,
(3)
gdzie:
P
a = TSL
, s - skuteczność systemu wyznaczona z transakcji historycznych.
Wówczas stan konta po n transakcjach wyraża się wzorem
Kn = K 0
n
Y
(1 + R · Xi ) .
i=1
2.2. Prawdopodobieństwo bankructwa
Pierwszym z dwóch kryteriów ze względu na które będziemy optymalizować parametr R jest
prawdopodobieństwo bankructwa w ciągu n transakcji. Za bankructwo uznajemy sytuację, w której
stan naszego konta spada poniżej z góry ustalonej kwoty. Kwotę tą oznaczmy przez Kb ∈ (0, K0 ).
Liczbę transakcji, po których zbankrutujemy możemy opisać za pomocą zmiennej losowej
τ = inf {t > 0 : Kt ∈ (0, Kb )} ,
3
natomiast prawdopodobieństwo osiągnięcia bankructwa podczas n transakcji możemy zapisać jako
P (τ ¬ n).
Aby obliczyć prawdopodobieństwo zbankrutowania po n-tej transakcji przedstawimy proces Kn
w nieco innej postaci
Kn = K0 (1 + a · R)p (1 − R)q ,
gdzie:
p + q = n, p - liczba zyskownych transakcji, q - liczba stratnych transakcji.
Zauważmy, że aby osiągnąć bankructwo po n-tej transakcji musi zajść
Kn = K0 (1 + a · R)p (1 − R)n−p ¬ Kb ,
(4)
wyznaczając p z nierówności (4) dostajemy
p¬
Kb
) − n ln (1 − R)
ln ( K
0
ln (1 + a · R) − ln (1 − R)
.
Oznacza to, że aby zbankrutować po n-tej transakcji możemy mieć co najwyżej p transakcji
zyskownych, a wiec stąd wniosek, że prawdopodobieństwo bankructwa podczas n transakcji jest
równoważne temu, że w n próbach otrzymamy co najwyżej p sukcesów.
Korzystając z faktu, że prawdopodobieństwo zdarzenia, że w n próbach otrzymamy dokładnie p
sukcesów i n − p porażek opisuje rozkład dwumianowy, otrzymujemy wzór na prawdopodobieństwo
bankructwa podczas n transakcji w postaci
P (τ ¬ n) =
p
X
i=0
$
gdzie: p =
n!
si (1 − s)n−i ,
i!(n − i)!
%
Kb
ln ( K
) − n ln (1 − R)
0
ln (1 + a · R) − ln (1 − R)
.
2.3. Prawdopodobieństwo sukcesu
Drugim kryterium optymalizacyjnym będzie prawdopodobieństwo sukcesu. Sukcesem będziemy
nazywać sytuację, w której zarobimy z góry ustaloną kwotę. Oznaczmy ją przez Ks ∈ (0, ∞).
Liczbę transakcji, po których osiągniemy sukces możemy opisać za pomocą zmiennej losowej
η = inf {t > 0 : Kt ­ K0 + Ks } ,
natomiast prawdopodobieństwo osiągnięcia sukcesu podczas n transakcji zapiszemy jako
P (η ¬ n).
W celu wyznaczenia prawdopodobieństwa sukcesu w ciągu n transakcji przeprowadzamy analogiczne rozumowanie jak w przypadku prawdopodobieństwa bankructwa. Po którym otrzymujemy
P (η ¬ n) =
n
X
i=p
&
gdzie: p =
n!
si (1 − s)n−i ,
i!(n − i)!
s
ln ( K0K+K
) − n ln (1 − R)
0
ln (1 + a · R) − ln (1 − R)
4
'
.
2.4. Optymalna wartość parametru R
Aby wyznaczyć optymalną wartość parametru R chcielibyśmy zminimalizować prawdopodobieństwo
bankructwa jednocześnie maksymalizując prawdopodobieństwo sukcesu.
W tym celu konstruujemy funkcję celu postaci
F (R) = P (τ ¬ n) − P (η ¬ n) .
Wówczas optymalna wartość parametru R wyraża się wzorem
R̂ = arg min F (R) .
R∈(0,1)
2.5. Kilka faktów matematycznych
Rozpatrzmy przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ). Wprowadźmy filtrację (Ft )t∈T oraz rodzinę
zmiennych losowych (Xt )t∈T adaptowaną do tej filtracji o rozkładzie (3). Wówczas proces Kn można
zapisać w poniższej postaci
Kn = V0 +
n
X
Vk · Xk = Kn−1 + Vn · Xn ,
k=1
gdzie: V0 = K0 , Vn = R · Kn−1 ,
oraz następujące stwierdzenia są prawdziwe.
1. Zmienne losowe τ i η zdefinowane w paragrafach 2.2 i 2.3 są momentami stopu.
2. Ciąg zmiennych losowych (Vn )∞
n=0 jest ciągiem prognozowalnym (strategią).
3. Jeżeli EX = EXi dla i = 1, . . . , n to proces Kn jest
— martyngałem, gdy EX = 0,
— nadmartyngałem, gdy EX ­ 0,
— podmartyngałem, gdy EX ¬ 0,
4. EKn = K0 (1 + R · EX)n .
3. Przykłady
3.1. Scalping
Scalping (skalpowanie) - polega na zawieraniu wielu transakcji na krótki czas w celu uzyskania
profitu rzędu kilku punktów.
Ustalmy następujące parametry:
okres handlu - 1 miesiąc,
n = 100, a = 0.25,
s = 0.85, K = 1000,
Kb = 300, Ks = 100.
Optymalna wartość parametru R (wyznaczona
za pomocą Prostego Algorytmu Genetycznego)
R̂ ∈ (0.0499, 0.0510)
Prawdopodobieństwo bankructwa
5
Prawdopodobieństwo sukcesu
Funkcja celu
3.2. Midterm trading
Midterm trading - inaczej handel średnioterminowy. Od kilku dni do kilku tygodni, zwykle transakcja
na rynku nie jest otwarta dłużej niż 2 miesiące.
Ustalmy następujące parametry:
okres handlu - 1 rok,
n = 100, a = 3,
s = 0.35, K = 10000,
Kb = 3000, Ks = 10000.
Optymalna wartość parametru R (wyznaczona
za pomocą Prostego Algorytmu Genetycznego)
R̂ ∈ (0.0397, 0.0415)
Prawdopodobieństwo bankructwa
Prawdopodobieństwo sukcesu
Funkcja celu
Literatura
[1] Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel - „Wstęp do teorii prawdopodobieństwa” - wydanie II, SCRIPT,
Warszawa 2001.
[2] Piotr Surdel - „Forex - Podstawy Giełdy Walutowej” - wydanie I, Internetowe Wydawnictwo Złote Myśli.
6