stefan turnau: profesor zofia krygowska jako matematyk

STEFAN TURNAU: PROFESOR ZOFIA KRYGOWSKA JAKO MATEMATYK
Chciałbym w tym wystąpieniu podkreślić jeden z aspektów osobowości Profesor Zofii
Krygowskiej: aspekt bycia matematykiem.
Większość dydaktyków matematyki po zakończeniu studiów prawdopodobnie nigdy
nie angażuje się w czytanie zaawansowanych tekstów matematycznych czy – tym bardziej –
rozwiązywanie problemów matematycznych o trudności znacznie przewyższającej problemy,
jakie dajemy uczniom. Są i tacy, którzy w jakimś momencie swojej kariery zawodowych
matematyków zdecydowali się przenieść ciężar zainteresowań i wysiłku umysłowego na
problemy szkoły. Rzadko się zdarza, by dostatecznie pogłębili oni swą wiedzę o procesach
nauczania i uczenia się matematyki, a ich dawna czy kontynuowana aktywność
matematyczna pozostaje w całkowitej izolacji od roli dydaktyka matematyki.
Profesor Krygowska nie była żadnym z tych przypadków. Od szkoły średniej przez całe
życie oddawała się pasji matematyka. Może to brzmieć dziwnie dla osób, które znały Jej
ogromne intelektualne i emocjonalne zaangażowanie w problemy myślenia i uczenia się
matematyki przez dzieci. Oczywiście, byłoby dla Niej raczej niemożliwe równoległe
kultywowanie obydwu dziedzin twórczości. Było to możliwe i ogromnie wydajne dlatego, że
zainteresowania matematyczne i twórczość Profesor Krygowskiej były w pełni zintegrowane
z zainteresowaniami i twórczością w dziedzinie nauczania matematyki. Prawdziwym celem
nie był dla niej nigdy wynik matematyczny jako taki; były to zawsze zagadnienia dotyczące
dzieci, uczniów i szkoły. Taki cel sprawiał, że interesowały Ją przede wszystkim
matematyczne problemy tak czy inaczej związane ze szkołą, zaś po każdym dokonaniu w
zakresie matematyki następowała refleksja i analiza przebytej drogi.
Oto kilka przykładów.
Dysertacja doktorska Zofii Krygowskiej „O granicach ścisłości w nauczaniu geometrii
elementarnej” była wynikiem, z jednej strony, głębokich studiów nad podstawami geometrii,
a z drugiej – refleksją nad doświadczeniem uczennicy, a potem nauczycielki.
Zanim zaangażowała się jako autor nowej serii podręczników geometrii, stworzyła i
do końca zbadała oryginalny system aksjomatów, dowodząc jego równoważności z
systemem Hilberta. I oczywiście kompozycja tego systemu była umotywowana przede
wszystkim celami dydaktycznymi. Działo się to w okresie tzw. pierwszej fali reform, której
idee czerpano m.in. z psychologii Piageta i nowego ujęcia matematyki Nicolas Bourbaki. By w
pełni zrozumieć te idee i wdrożyć je w zupełnie nowym ujęciu geometrii, podjęła trud
studiowania prac Piageta i Bourbaki w francuskich oryginałach.
Zwykła była rozwiązywać trudne matematyczne problemy, notować wszystkie etapy
swej pracy i analizować cały proces w celu lepszego zrozumienia myślenia uczniów, ich
trudności, zagubienia, błędów itp. Gdy relacjonowała swoje doświadczenie, zawsze
pokazywała wszystkie popełnione przez siebie błędy, ścieżki, które porzuciła, i inne przejawy
kluczenia. Odbieraliśmy to jak pasjonującą opowieść o niezwykłej przygodzie. Pokażę tu
przykład zachowanego w rękopisie i referowanego przez Profesor Krygowską na seminarium
procesu rozwiązywania następującego problemu:
Ile można zbudować trójkątów różnobocznych, których długości boków są liczbami
naturalnymi 1, 2, 3, ..., n?
Będę tu korzystać z oddanej niedawno do publikacji monografii Marianny Ciosek, w
której rozumowanie Profesor Krygowskiej zostało dokładnie zanalizowane.
Droga do rozwiązania składa się z czterech etapów, które zaprezentuję w dużym
skrócie.
Etap I to badanie szczególnego przypadku n = 10. Najpierw trzeba ustalić system
wypisywania „dobrych” trójek. Wybór pada na dobieranie ich tak, by spełniały dwa warunki:
a<b<c
c<a+b
Teraz trójki są wypisywane w grupach: dla każdego a i kolejnych b dobieramy
wszystkie c mniejsze od a + b.
3, 4, 5; 3, 5, 6; 3, 6, 7; 3, 7, 8; 3, 8, 9; 3, 9, 10;
3, 4, 6; 3, 5, 7; 3, 6, 8; 3, 7, 9; 3, 8, 10
4, 5, 6;...
itd.
Etap II. Po wypisaniu i policzeniu wszystkich „dobrych” trójek rozwiązujący przygląda
się całemu zestawieniu dla dostrzeżenia jakichś jego interesujących własności. Zauważa
podwójną szczególną rolę liczby 5:
– liczba wierszy rośnie wraz z a, dopóki a jest mniejsze od 5, potem maleje,
– dla ustalonego a aż do 5 liczba wierszy wynosi a–1, powyżej 5 już nie.
Szukając powodów tej regularności, rozwiązujący dochodzi do wniosku, że dla a > 5
każda trójka taka, że a < b < c spełnia też warunek c < a + b, a co za tym idzie, liczba tych
5
trójek wynosi ( ) .
3
Etap III. Teraz następuje uogólnienie poczynionych obserwacji. Rozwiązujący
odgaduje, że dla dowolnego n rolę 5 będzie spełniać część całkowita k liczby n/2, a liczba
nk
„dobrych” trójek dla a większego od k wyniesie (
) . Następnie stawia sobie pytanie o
3
liczbę trójek dla a ustalonego i niewiększego od k. Szuka odpowiedzi przez wypisywanie
trójek według wzorca przyjętego w badanym przykładzie n = 10 i obserwując to zestawienie
dochodzi do wzoru:
k
3
(a  1)(n  a)

2
a 1
Teraz następuje sprawdzenie wzorów dla n = 10 i n = 9, po czym, w wyniku
dodawania liczby trójek przed i za środkowym a, pojawiają się wzory:
k
k
3
dla n = 2k
(a  1)(n  a)  ( )

3
2
a /1
k
k 1
3
dla n = 2k + 1
(a  1)(n  a)  (
)

3
2
a /1
i komentarz Smutne, że nie mam jednego ładnego wzoru.
Etap IV to zakończone sukcesem próby wyeliminowania z wzorów symbolu ∑.
Ostateczna postać tych wzorów to:
2
5
dla n =2k
x  k (k  1)(k  )
3
4
2
1
dla n = 2k+1 x  k (k  1)(k  )
3
4
Marianna Ciosek uznała to postępowanie za wzorcowy model badania
matematycznego, rozpoczynającego się rozważenia szczególnego przypadku po to, by
poczynione na nim obserwacje uogólnić. Empiria przeplata się tu z dedukcją: rozwiązujący
bada szczególny przypadek, cały czas starając się robić to w sposób dający się potem
uogólnić, a próbne uogólnienie weryfikuje w szczególnych przypadkach.
Profesor Krygowska, także na podstawie podobnych własnych doświadczeń, głęboko
wierzyła w to, co w systematycznym badaniu udowodniła Marianna Ciosek, że myślenie
wykształconego matematyka i myślenie ucznia różnią się mniej, niż się powszechnie sądzi.
Okazuje się mianowicie, że nawet problemy dostępne dla uczniów gimnazjum nie są wcale
„dziecinnie łatwe” dla matematyka. Podobnie jak uczeń, matematyk często zaczyna od
jednego lub kilku szczególnych przypadków. Podobnie jak uczeń, matematyk nieraz kluczy
różnymi ścieżkami, zanim trafi na właściwą. Rozwiązanie matematyka wcale nie zawsze jest
matematycznie eleganckie; rozwiązania uczniów bywają ładniejsze. Wreszcie sukces
matematyka, tak jak ucznia, w dużej mierze zależy od emocjonalnej i intelektualnej postawy
wobec problemu.
Inny aspekt matematycznego umysłu Profesor Krygowskiej ujawnił jej wykład na
sympozjum zatytułowanym „Matematyka dla wszystkich”, jakie w ramach
Międzynarodowego Kongresu Matematycznego odbyło się w Warszawie w roku 1983.
Wykład był zatytułowany „Elementy aktywności matematycznej, które powinny odgrywać
istotną rolę w kształceniu matematycznym dla wszystkich”. Trzeba być aktywnym i
jednocześnie refleksyjnym matematykiem, by umieć wydobyć na światło to, co stanowi
istotne lecz ukryte składniki aktywności matematycznej. Profesor Krygowska wymieniła je:
analogia, schematyzowanie. definiowanie, dedukowanie i redukowanie, kodowanie,
algorytmizowanie. Idea, że prawdziwe kształcenie matematyczne (albo – według jej
sformułowania – kształcenie przez matematykę) powinno zawierać elementy rozwijające
matematyczną twórczość pojawiła się niedługo przez tym wykładem. W polskich programach
szkolnych tego okresu nie było nawet ich śladów; zaczęły się pojawiać w zreformowanych
programach z lat 1990., ale rzadko przenikają do praktyki szkolnej.
Mocno utkwiła w mojej pamięci pełna pasji reakcja Profesor Krygowskiej na głosy, że
matematyka abstrakcyjna jest zbyt trudna dla większości uczniów i że należy przejść na
nauczanie bardziej konkretne, przekazywanie wiedzy quasi-empirycznej lub intuicyjnej.
Zwołała wtedy: „NIE ZMIĘKCZAJCIE MATEMATYKI!”. Mając pełną świadomość trudności
uczniów, popierając zmianę tradycyjnego wyobrażenia o tym, co znaczy uczyć się
matematyki i umieć ją, na coś bardziej sensownego dla przeciętnego ucznia – często słyszę to
zawołanie „nie zmiękczajcie matematyki”. Widzę teraz dwa, w pewnym sensie przeciwne,
znaczenia „zmiękczania” matematyki. Jedno to powierzchowny formalizm: zredukowanie
matematyki do gotowych procedur symbolicznych i sztywnych schematów rozwiązywania
typowych zadań. A drugie to przesunięcie nauczania w stronę dziedziny quasieksperymentalnej i pseudo-intuicyjnej. Oba te kierunki mają na celu uczynić matematykę
dostępniejszą dla wszystkich uczniów. I oba odciągają ten przedmiot od nauki, którą
uważamy za uniwersalnie użyteczną. Profesor Zofia Krygowska, matematyk i pedagog, bez
wątpienia sprzeciwiłaby się obydwu.