wyznaczanie stałej rydberga i stałej plancka z widma liniowego

Ć w i c z e n i e 31
WYZNACZANIE STAŁEJ RYDBERGA I STAŁEJ
PLANCKA Z WIDMA LINIOWEGO WODORU
31.1. Opis teoretyczny
Dostarczając energię do atomu można doprowadzić do jego wzbudzenia. Wzbudzony atom charakteryzuje się tym, że jego elektrony znajdują się na orbitach bardziej oddalonych od jądra niż w stanie podstawowym. Po pewnym czasie zwanym czasem wzbudzenia (rzędu 10-8 s) elektrony wracają
do któregoś ze stanów położonych bliżej jądra (np. do stanu podstawowego), czemu towarzyszy
emisja promieniowania elektromagnetycznego. Wybór danego przejścia, gdy istnieje kilka ich możliwości, następuje w sposób statystyczny. Właściwościami tego promieniowania zajmuje się dział
fizyki zwany spektroskopią.
Każdy pierwiastek, którego atomy przechodzą od stanu wzbudzonego do potencjalnie niższego
emituje energię promienistą w szczególny, właściwy tylko dla siebie, sposób. Rozkład tej energii
nazywany jest widmem liniowym.
Trudne zadanie wyjaśnienia ogromnego materiału doświadczalnego z zakresu spektroskopii oraz
badań nad kwantowymi właściwościami promieniowania podjął Niels Bohr wprowadzając trzy postulaty (postulaty Bohra):
I p o s t u l a t B o h r a (stacjonarnych stanów atomu) zakłada, że istnieje tzw. stacjonarne
stany atomu, w których elektron, wbrew regułom fizyki klasycznej, nie emituje promieniowania. W
stanie stacjonarnym elektrony poruszają się w atomie po pewnych orbitach i nie wysyłają fal elektromagnetycznych.
II p o s t u l a t B o h r a (stacjonarnych orbit kwantowych) podaje sposób obliczania orbit
elektronowych, odpowiadających stanom stacjonarnym. Zgodnie z tym postulatem elektron nie
może poruszać się w atomie po dowolnych orbitach, lecz tylko po takich, dla których moment pędu
elektronu L jest całkowitą wielokrotnością wielkości h („kreślonej” stałej Plancka):
h=
h
,
2π
gdzie h = 6,62•10-34 J s jest stałą Plancka
Ln = n h
n = 1, 2, 3, ...
(31.1)
Dla orbit kołowych
Ln = me vn rn
(31.2)
gdzie: me - masa elektronu, vn – wartość orbitalnej prędkości elektronu na n-tej orbicie, rn – promień n-tej orbity elektronowej.
Tak więc drugi postulat Bohra przyjmuje postać
me vn rn = n h
(31.3)
III p o s t u l a t B o h r a (częstotliwości) dotyczy energii emitowanej przez atom, który przechodząc ze stanu wzbudzonego o energii En do stanu o mniejszej energii Em wypromieniowuje foton. Energia fotonu E jest przy tym równa różnicy energii atomu w stanie początkowym i końcowym
E = En – Em
(31.4)
Jak wiadomo, energię fotonu E i częstotliwości emitowanego promieniowania ν łączy zależność
E= hν
(31.5)
En – Em = h ν
(31.6)
Trzeci postulat Bohra przyjmuje więc postać
W ujęciu klasycznym warunkiem ruchu elektronu wokół jądra jest równość siły odśrodkowej i siły
przyciągania elektrostatycznego:
v2
e2
me
=
r
4 π ε0 r 2
stąd energia kinetyczna elektronu:
v2
e2
Ek = me
=
2 8 π ε0 r
(31.7)
Z II postulatu Bohra (31.3) wynika, że pęd elektronu p e = m e v n =
nh
. Obliczając stąd energię
2 π rn
n2 h2
p2
kinetyczną E k =
=
. Z porównania ze wzorem (31.7) wynika, że
2 m e 8 π 2 rn2 m e
n2 ε0 h2
rn =
π e2 me
Potencjał pola elektrycznego wokół jądra wodoru wynosi V =
n = 1 , 2 , 3 ,....
(31.8)
e
. Energia potencjalna elek4 π ε0 r
e2
. Energię całkowitą elektronu ( E ) otrzymujemy dodając
4 π ε0 r
do niej energię kinetyczną wyrażoną wzorem (31.7) :
tronu w tym polu E p = V (-e) =
E = Ep + Ek =
e2
e2
e2
−
=−
8 π ε0 r 4 π ε0 r
8 π ε0 r
(31.9)
Podstawiając za r wyrażenie (31.8) otrzymujemy energię całkowitą elektronu w zależności od numeru orbity dozwolonej liczonej w kierunku od jądra atomu:
En = −
me e4
8 ε 02 h 2 n 2
(31.10)
Widzimy więc, że wprowadzenie drugiego postulatu Bohra spowodowało skwantowanie energii.
Energia elektronu może przyjmować tylko wartości dyskretne określone naturalną liczbą n nazywaną główną liczbą kwantową. Określa ona liczbę porządkową poziomu energetycznego lub numer
stacjonarnej orbity elektronu.
Jak wynika ze wzoru (31.10), wraz ze zwiększaniem głównej liczby kwantowej n (czyli w miarę
wzrostu promienia dozwolonej orbity) energia elektronu w atomie rośnie (maleje przy tym jej bezwzględna wartość). Maksymalna energia elektronu w atomie jest równa zeru. Odpowiada to n = ∞ ,
czyli oderwaniu elektronu od jądra (jonizacji atomu). Stan odpowiadający n = 1, w którym elektron
znajduje się najbliżej jądra, nazywamy stanem podstawowym atomu. Stany odpowiadające wszystkim pozostałym wartościom n > 1 noszą nazwę stanów wzbudzonych.
Zgodnie z trzecim postulatem Bohra (31.6) przejściu elektronu z orbity wyższej o energii En na niższą o energii Ek (n > k) wypromieniowany foton będzie miał energię
hν = E n − E k
Z czego po uwzględnieniu zależności (31.10) oraz tego, że ν =
c
otrzymujemy wzór na długość
λ
wypromieniowanej fali:
me e4  1
1
=−
− 2
2
3
2

λ
n 
8 ε0 h c k
1
Współczynnik
(31.11)
me e4
nazywamy stałą Rydberga dla atomu wodoru i oznaczamy RH.
8 ε 02 h 3 c
Znając stałą Rydberga można wyznaczyć stałą Plancka:
h=3
me e4
8 ε 02 h 3 c R H
(31.12)
Należy jednak zwrócić uwagę na fakt, że stała Plancka jest stałą fizyczną uniwersalną (tzn. zachowuje swoją wartość we wszystkich zjawiskach kwantowo-mechanicznych). Natomiast stała Rydberga jest stała tylko dla zjawisk zachodzących wewnątrz atomu wodoru.
W ćwiczeniu atomy wodoru są wzbudzane wyładowaniami elektrycznymi w objętości. Widzialne
linie widmowe należą do tzw. serii Balmera odkrytej doświadczalnie w 1885r powstałą podczas
przejść elektronów z wyższych orbit na orbitę drugą:
1
1
= RH  2 − 2 
λ
n 
2
1
Są to cztery linie:
H α czerwona
odpowiadająca przejściu 3 → 2
H β niebieska
odpowiadająca przejściu 4 → 2
H γ fioletowa
odpowiadająca przejściu 5 → 2
H δ fioletowa
odpowiadająca przejściu 6 → 2
(31.13)
31.2. Opis układu pomiarowego
Źródłami światła w tym ćwiczeniu są gazy świecące (hel i wodór) w rurkach Geislera. Wzbudzenie
atomów gazów uzyskuje się poprzez przyłożenie do elektrod rurek Geislera wysokiego napięcia z
induktora Ruhmkorffa. W związku z tym nie wolno dotykać przewodów połączonych z wtórnym
uzwojeniem induktora w czasie jego pracy.
Widmo promieniowania badanego gazu zawartego w rurce pada na szczelinę wejściową monochromatora Hilgera. Monochromatorem nazywamy przyrząd, który wycina promieniowanie monochromatyczne z padającego na szczelinę wejściową światła. W związku z tym w okularze nie będziemy obserwowali jednocześnie całego widma, tylko jego poszczególne fragmenty. Wybór fragmentu widma, który chcemy obserwować, dokonywany jest za pomocą śruby z podziałką. Przekręcając ją możemy zobaczyć w okularze całe badane widmo leżące w obszarze widzialnym.
Chcąc wykonać analizę widmową świecącego wodoru, musimy dokładnie wyznaczyć długości fal
poszczególnych linii. Aby to zrobić, należy najpierw wyznaczyć dla stosowanego spektrometru
(bądź monochromatora) krzywą aparaturową, zwaną krzywą dyspersji, używając pierwiastka o znanym widmie. W ćwiczeniu jest nim hel posiadający wiele widzialnych prążków. Krzywa dyspersji
jest zależnością rzeczywistej długości fali od odczytanego z aparatury położenia linii. Obie te wielkości nie są sobie równe z powodu nieidealności ustawienia i wyskalowania pryzmatu pomiarowego.
31.3. Przebieg pomiarów
A. Wykreślenie krzywej dyspersji
1. Zaznajomić się z przeznaczeniem i działaniem poszczególnych części układu pomiarowego.
2. Ustawić naprzeciwko szczeliny wejściowej monochromatora rurkę Geislera z helem.
3. Włączyć induktor Ruhmkorffa. Gaz w rurce powinien się zaświecić.
4. Zaznajomić się z układem linii widmowych i ich intensywnością patrząc w okular i obracając
śrubę . Ustawić rurkę tak, aby w polu okularu otrzymać najjaśniejszy obraz linii.
5. Ustawić ostrość obrazu widocznego w okularze za pomocą śruby.
6. Nastawić śrubę na położenie skrajne długofalowe tzn. na 700 nm.
7. Przekręcając bardzo wolno śrubę, za jej pomocą ustawić naprzeciwko ostrza widocznego w
okularze najintensywniejsze linie. Położenie S tych linii odczytywane z podziałki na śrubie zapisać w tabeli 31.1, śrubę kręcić w kierunku krótkofalowym aż do 410 nm.
8. Powtórzyć czynności z punktu 7 przy kręceniu śruby w kierunku przeciwnym. Wyniki pomiarów wpisać do tabeli 31.1. Podane są w niej tablicowe wartości długości fal λ widma helu.
9. Wyłączyć induktor Ruhmkorffa.
T a b e l a 31.1.
Wyniki pomiarów widma liniowego He do wykreślenia krzywej dyspersji
Nr linii
1
2
3
4
5
6
7
λ [µm]
667,8
587,56
501,5
492,1
471,3
447,1
438,8
barwa
czerwony
żółty
zielony
zielony
niebieski
fioletowy
fioletowy
S
(od siebie)
S
(do siebie)
S
B. Wyznaczenie długości fali w widmie wodoru
1.
Ustawić rurkę napełnioną wodorem naprzeciwko szczeliny monochromatora.
2.
Włączyć induktor Ruhmkorffa.
3.
Obserwować kolejność i intensywność linii Hα, Hβ, Hχ (wzór 31.13) w okularze podczas przekręcania śruby .
U w a g a: Obserwowane w zakresie widmo wodoru jest bardzo bogate w prążki. W przeważającej
większości jest to jednak widmo cząsteczki wodoru (H2), a nie atomu (H), którego dotyczy teoria Bohra. Lnie atomowe łatwo można jednak rozpoznać po tym, że są wyraźnie wizualnie
ostrzejsze.
4.
Ustawić ostrość obrazu za pomocą śruby okularu.
5.
Zmierzyć położenie linii wodoru z serii Balmera. Odczytywać wyniki pomiarów dwukrotnie
przy obracaniu śruby w obu kierunkach. Oszacować błąd odczytu długości fali na śrubie ∆S popełniany przy pomiarze położenia każdego z prążków. Wyniki zapisać w sposób analogiczny
jak w części A.
6.
Wyłączyć induktor Ruhmkorffa.
31.4. Opracowanie wyników pomiarów.
1. Wyliczyć wartości średnie S z pomiarów dokonanych na widmie helu i wodoru.
2. Na podstawie danych z tabeli 31.1. wykreślić zależność wartości tablicowych długości fali λ
widma helu od wartości ustalonych w eksperymencie S . Jest to tzw. krzywa dyspersji.
3. Wyznaczyć na podstawie krzywej dyspersji długości fal dla linii wodoru Hα, Hβ, Hγ (λα, λβ, λγ).
4. W oparciu o wzór (31.13) wyznaczyć stałą Rydberga
RH =
dla każdej linii wodoru.
1
1
1
λ 2 − 2
n 
2
Wynikowa wartość RH to średnia arytmetyczna powyższych trzech rezultatów.
5. Uzyskaną wartość średnią podstawić do zależności (31.12) w celu wyznaczenia wartości stałej Plancka.
6. Z uwagi na precyzyjne wyznaczenie położenia wybranych linii spektralnych można przyjąć,
∆λ ∆S
że błąd względny
=
Na podstawie wzoru (31.13) obliczyć graniczny błąd względny
λ
S
∆λ
wyznaczenia stałej Rydberga biorąc największą spośród trzech wartości
:
λ
∆R H ∆λ
.
=
RH
λ
∆h
. Stosując wzór na błąd graniczny do (31.12),
h
otrzymamy wyrażenie na błąd względny stałej Plancka
7. Wyliczyć graniczny błąd względny
∆h 1 ∆R H
=
h 3 RH
31.5. Pytania kontrolne
1. Omówić rodzaje widma i podać warunki ich powstawania.
2. Sformułować postulaty Bohra.
3. Jakie znasz serie widmowe wodoru?
4. W jakim celu wykreślamy krzywą dyspersji monochromatora?
5. Omówić zasadę działania monochromatora.
6. Przedstawić metody wzbudzenia atomów.
Literatura
[1] Jeżewski M.: Fizyka. PWN, Warszawa 1970.
[2] Struczkow A.: Zagadnienia fizyki współczesnej. PWN, Warszawa 1979.
[3] Szczeniowski S.: Fizyka doświadczalna, cz.IV. Optyka. PWN, Warszawa 1967.
[4] Szczeniowski S.: Fizyka doświadczalna, cz.V. Fizyka atomowa. PWN, Warszawa 1969.