sprawdzian z geometrii

www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
SPRAWDZIAN Z GEOMETRII
Z ADANIE 1 (1 PKT )
Na rysunku proste BC i DE sa˛ równoległe oraz | AC | = a, |CE| = a + 3, | BC | = 3, | DE| = 8.
Wobec tego
D
B
A
3
a
8
C
a+3
E
A) a = 2, 5
B) a = 3, 6
C) a = 4, 5
D) a = 1, 8
Z ADANIE 2 (1 PKT )
Proste BD i AC sa˛ równoległe. Długość odcinków DO, OC, OA przedstawione sa˛ na rysunku. Wobec tego długość odcinka BO wynosi
B
4
O
D
A) 1,6
2
5
B) 10
C
A
C) 2,5
D)
5
8
Z ADANIE 3 (1 PKT )
√
Obrazem trójkata
˛ ABC w podobieństwie o skali 3 jest trójkat
˛ A1 B1 C1 . Pole trójkata
˛ A1 B1 C1
2
wynosi 4 cm . Zatem pole√trójkata
˛ ABC jest równe
√
4
2
2
B) 4 3 cm
C) 34 3 cm2
D) 34 cm2
A) 3 cm
Z ADANIE 4 (1 PKT )
Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD. Przedłużenia ramion przecinaja˛ si˛e w punkcie O. Jeśli | AB| = 30, |CD | = 25, | AC | = | BD | = 6, to
A) BO = 36
B) BO = 30
C) BO = 9, 5
D) BO = 24
1
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 5 (4 PKT )
Wyznacz współrz˛edne środka jednokładności, w której obrazem okr˛egu o równaniu ( x −
16)2 + y2 = 4 jest okrag
˛ o równaniu ( x − 6)2 + (y − 4)2 = 16, a skala tej jednokładności jest
liczba˛ ujemna.˛
Z ADANIE 6 (4 PKT )
Dane sa˛ punkty A = (2, 1), B = (4, 1), S1 = (−22, 1) i S2 = (8, 1). Odcinek CD jest obrazem
odcinka AB w jednokładności o skali dodatniej i środku S1 , jak i w jednokładności o skali
ujemnej i środku S2 . Oblicz współrz˛edne punktów C i D.
Z ADANIE 7 (4 PKT )
Końcami odcinka sa˛ punkty o współrz˛ednych A = (−1, −2) oraz B = (3, 6). Odcinek CD
jest obrazem odcinka AB zarówno w jednokładności o dodatniej skali i środku S1 = (−5, 2),
jak i w jednokładności o ujemnej skali i środku S2 = (3, 2). Oblicz współrz˛edne końców
odcinka CD oraz skal˛e jednokładności o środku S2 .
Z ADANIE 8 (4 PKT )
Odcinek AB, gdzie A = (0, −4), B = (0, 6), jest przeciwprostokatn
˛ a˛ trójkata
˛ prostokatnego
˛
ABC. Wierzchołek C o ujemnej odci˛etej należy do prostej k o równaniu y = − x.
a) Oblicz współrz˛edne wierzchołka C.
b) Obrazem trójkata
˛ ABC w jednokładności o środku S i skali k, k < 0, jest trójkat
˛ A0 B0 C 0 ,
1
1
0
którego pole wynosi 5. Wiedzac
˛ dodatkowo, że C = (6 2 , −3 2 ), oblicz skal˛e jednokładności i współrz˛edne punktu S.
Z ADANIE 9 (4 PKT )
→
→
W trójkacie
˛
ABC dane sa:˛ A = (−1, 3), AB = [5, −4] oraz BC = [2, 6]. Trójkat
˛ MNP jest
obrazem trójkata
˛ ABC w jednokładności o środku w punkcie O = (0, 0) i skali k = − 21 .
Wyznacz współrz˛edne wierzchołków B, C, M, N, P.
Z ADANIE 10 (4 PKT )
Wykaż, że istnieja˛ dokładnie dwie liczby naturalne n takie, że trójkat
˛ o bokach n, n + 2, n + 3
jest rozwartokatny.
˛
2
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 11 (4 PKT )
Oblicz pole
trójkata
˛ ABC przedstawionego na rysunku, jeśli wiadomo, że | BC | = 10 oraz
√ √
sin 15◦ =
2( 3−1)
.
4
B
135o
A
C
30o
O
Z ADANIE 12 (4 PKT )
√
W trójkacie
˛
ABC, w którym | AC | = 5, | BC | = 4 2 i | AB| = 7 na boku AB wybrano taki
punkt D, że | AD | = 2. Oblicz sinus kata
˛ ADC.
Z ADANIE 13 (4 PKT )
Przez wierzchołek C prostokata
˛ ABCD poprowadzono prosta,˛ która przeci˛eła proste AB i
| AB|
| AD |
AD w punktach K i L odpowiednio. Wykaż, że | AK | + | AL| = 1.
L
D
A
C
K
B
Z ADANIE 14 (4 PKT )
Krótsza przekatna
˛
równoległoboku tworzy bokami katy
˛ α i β. Oblicz stosunek długości boków tego równoległoboku.
3
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 15 (4 PKT )
√
√
Wiedzac,
˛ że α = 30◦ , |OD | = 3, |OC | = 6 3, | AB| = 5 oraz AD k BC, oblicz pole i
obwód trapezu ABCD przedstawionego na rysunku.
C
D
O
α
B
A
Z ADANIE 16 (4 PKT )
W trójkacie
˛ ABC środkowa AD jest prostopadła do boku AC. Kat
˛ BAC ma miar˛e 120◦ . Wykaż, że | AB| = 2| AC |.
4