Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A

Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu
Laboratorium
Rozkład normalny, niepewność
standardowa typu A
Instrukcja do ćwiczenia nr 1
Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery
Wrocław, listopad 2010 r.
Ćwiczenie laboratoryjne nr 1
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu
ROZKŁAD NORMALNY, NIEPEWNOŚĆ STANDARDOWA TYPU A
1. CEL ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest sporządzenie histogramu wartości wielkości mierzonych, a następnie
analityczne wyznaczenie parametrów funkcji Gaussa dla pojedynczego pomiaru i średniej oraz
graficzne przedstawienie wyników w raz z ich interpretacją.
2. POJEDYNCZY POMIAR [1,2,3]
Częstość
Na rysunkach 1 i 2 przedstawiono [1] histogram 100 i 1000 pomiarów tej samej wielkości
fizycznej. Po wykonaniu 1000 pomiarów histogram staje się dość gładki i regularny. Gdy ilość
pomiarów dąży do nieskończoności ich rozkład zbliża się do tzw. krzywej granicznej, która
przypomina swoim kształtem dzwon i jest symetryczna względem wartości prawdziwej X wielkości
mierzonej.
Częstość
Rys.1. Histogram przedstawiający 100 pomiarów pewnej wielkości fizycznej [1]
krzywa
graniczna
Wartość prawdziwa X
Rys.2. Histogram przedstawiający 1000 pomiarów wielkości fizycznej z rysunku 1 [1]
Taka sytuacja występuje jeżeli wynik pomiaru jest narażony na wpływ błędów przypadkowych , a
błędy systematyczne są zaniedbywalne. Błędy przypadkowe z równym prawdopodobieństwem
zaniżają i zawyżają otrzymane wartości. Jeżeli wszystkie błędy są przypadkowe to powinniśmy z
takim samym prawdopodobieństwem uzyskać tyle samo wyników poniżej jak i powyżej wartości
prawdziwej. Błędy systematyczne przesuwają wszystkie mierzone wartości w jednym kierunku i
powodują, że środek rozkładu oddala się od wartości prawdziwej.[1]
2
Krzywa graniczna nazywa się funkcją Gaussa i ma postać:
1
2 /2σ2
fX,σ (x) = σ√2π e−(x−X)
(1)
gdzie:
X – wartość prawdziwa (środek rozkładu)
σ – szerokość rozkładu
Pomiary, których rozkładem jest funkcja Gaussa są to pomiary, które mają rozkład normalny.
Funkcja fX,σ – nazywa się funkcją gęstości prawdopodobieństwa, a jej znaczenie przedstawia
rysunek 3.
f(x)
x
x
x
x+dx
a
b
b
f(x)dx= częstość pomiarów w
przedziale od x do x+dx
Rys.3. Interpretacja rozkładu granicznego
∫a f(x) - częstość pomiarów w przedziale od
x = a do x = b
Rozkład graniczny f(x) pomiarów pewnej wielkości fizycznej oznacza również prawdopodobieństwo
uzyskania wyniku pojedynczego pomiaru w przedziale a≤x≤b.
Co to jest wartość X ora z σ ?
Wartość średnia pomiarów przy nieskończonej ilości powtórzeń wyraża się równaniem:
+∞
x� = ∫−∞ xf(x)dx
(2)
Wstawiając do tego równania wartość f(x) z równania (1) otrzymamy:
+∞
+∞
1
x� = ∫−∞ xfX,σ (x)dx = σ√2π ∫−∞ x e
−
(x−X)2
2σ2
dx
(3)
Podstawiając y = x-X otrzymujemy dx=dy oraz
(y)2
2σ2
x� =
+∞
∫ (y
σ√2π −∞
x� =
+∞
−
�∫−∞ y e 2σ2 dy
σ√2π
1
i dalej
1
+ X) e
(y)2
−
dy
+
(4)
(y)2
+∞
−
∫−∞ X e 2σ2 dy�
(5)
0
x� =
(y)2
+∞ −
�X ∫−∞ e 2σ2
σ√2π
1
dy�
(6)
𝜎√2𝜋
�=𝑿
Stąd 𝒙
Wyn ika z tego , że wartość prawdziwa wielkości mierzonej dla nieskończonej liczby powtórzeń
równa się wartości średniej.
3
Odchylenie standardowe przy nieskończonej liczbie powtórzeń wyraża się równaniem:
+∞
σ2x = ∫−∞ (x − x�)2 fX,σ (x)dx
(7)
σ2x = σ2 .
(8)
Ponieważ X = x� oraz podstawiając x - X= y i y/σ = z , a następnie całkując przez części
otrzymamy:
Oznacza, że dla nieskończonej ilości pomiarów szerokość funkcji Gaussa jest równa odchyleniu
standardowemu.
Równania 2 i 7 oznaczają również to, że znając funkcję f(x) potrafimy obliczyć średnią x� oraz
odchylenie standardowe σx dla nieskończenie długiej serii pomiarów, czyli poznalibyśmy wartość
prawdziwą X.
W rzeczywistości dysponujemy skończoną liczbą pomiarów: x1, x2,..., xN. Jak określić zatem
najlepsze przybliżenie wartości prawdziwej X oraz szerokości rozkładu σ?
Jeżeli wyniki pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu fX,σ(x) to możemy określić
prawdopodobieństwo otrzymania wyniku w pobliżu x1, mieszczącego się w przedziale dx1. Wynosi
ono [1]:
1
P(x w przedziale od x1 do x1+dx1)= σ√2π e
(x −X)2
− 1 2
2σ
dx1
(9)
Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku w pobliżu x2 wynosi:
1
P(x w przedziale od x2 do x2+dx2)= σ√2π
(x −X)2
− 2 2
e 2σ dx
2
(10)
dxN
(11)
Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku w pobliżu xN wynosi:
1
P(x w przedziale od xN do xN+dxN)= σ√2π
�x −X�
− N
e 2σ2
2
Prawdopodobieństwo, że otrzymamy cały zbiór N wartości jest iloczynem poszczególnych
prawdopodobieństw i wyraża się równaniem:
PX,σ(x1,…,xN)= P(x1)P(x2)…P(xN).
(12)
Można zatem napisać, że :
1
2 /2σ2
PX,σ(x1,…,xN)~ σN e− ∑(xi −X)
(13)
Za najlepsze przybliżenie X iσ przyjmujemy takie , które daje największe prawdopodobieństwo
wynikające z równania (13).
Równanie to osiąga maksimum gdy ∑(xi − X)2 /2σ2 ma wartość minimalną. Po obliczeniu
pochodnej po X i przyrównaniu jej do 0 otrzymamy:
1
2σ2
�∑N
i=1 xi − NX� = 0
(14)
i dalej
X=
∑N
i=1 xi
N
(15)
4
Oznacza to, że najlepszym przybliżeniem wartości prawdziwej X jest średnia z N pomiarów.
W celu znalezienia najlepszego przybliżenia
σ należy dokonać operacji pochodnej równania
13
względem σ i przyrównania ją do zera,. Po obliczeniach otrzymamy:
1
σ = �N−1 ∑N
� )2
i=1(xi − x
(16)
Szerokość rozkładu określa, zatem odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru.
Podsumowując, jeżeli dysponujemy zbiorem N mierzonych wartości x1, x2,…xN najlepszym
przybliżeniem wartości prawdziwej jest średnia wyników, a najlepszym przybliżeniem
szerokości rozkładu Gaussa jest odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru.
Obliczmy dalej jakie jest prawdopodobieństwo, że wynik pojedynczego pomiaru leży w przedziale
jednego odchylenia standardowego σ od wartości prawdziwej X jeżeli rozkładem granicznym jest
funkcja Gaussa fX,σ (x). Prawdopodobieństwo to wyraża równanie:
X+σ
X+σ
1
2 /2σ2
P(w promieniu σ) = ∫X−σ fX,σ (x) = σ√2π ∫X−σ e−(x−X)
dx
(17)
Graficzną interpretację całki z równania (17) pokazuje rysunek 4.
f(x)
x
X-σ
X+σ
X
Rys.4. Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku pomiaru w przedziale X±σ
Podstawiając z = (x-X)/σ otrzymamy dz = dx/σ oraz:
P(w promieniu σ) = =
1
1
∫ e−z
√2π −1
2 /2
dz
(18)
Ogólnie prawdopodobieństwa znalezienia się pojedynczego wyniku pomiaru w promieniu tσ, gdzie t
jest dowolną liczbą stała przedstawia równanie:
P(w promieniu tσ) =
1
t
∫ e−z
√2π −t
2 /2
dz ,
(19)
którego interpretację przedstawia rysunek 5.
f(x)
X-tσ
X
X+tσ
x
Rys.5. Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku pomiaru w przedziale X±σ
5
Całka w równaniu (19) nazywa się funkcją błędu i nie można ją obliczyć arytmetyczne. Graficzne
jej rozwiązanie jej przedstawia rysunek 6 oraz zamieszczona po nim tabela.
P
100%
95,4%
99,7%
68%
50%
0,67 1
t
P,%
0
0
0,25
20
2
0,5
38
0,75
55
4
3
1
68
1,25
79
1,5
87
t
1,75
2
92 95,4
2,5
3
3,5
4
98,8 99,7 99,95 99,99
Rys.6. Rozwiązanie równania (19) [1]
Z rysunku 6 wynika, że prawdopodobieństwo uzyskania wyniku pojedynczego pomiaru w przedziale
o promieniu σ wynosi 68% a o promieniu 3σ wynosi 99,7%. Inaczej mówiąc, jeżeli wykonamy na
przykład 10 pomiarów pewnej wielkości fizycznej i obliczymy wartość średnią i odchylenie
standardowe, a następnie wykonamy 11 pomiar to możemy stwierdzić z prawdopodobieństwem
równym 68%, że znajdzie się on w przedziale wartość średnia ± σ albo z prawdopodobieństwem
99,7%, że znajdzie się on w przedziale wartość średnia ± 3σ.
3. ROZKŁAD GAUSSA DLA ŚREDNIEJ [1,2,3]
Zakładamy, że wykonujemy wielokrotnie serię N pomiarów tej samej wielkości fizycznej ,
tzn. otrzymamy zbiory wyników pomiarów:
{x11, x12, x13,…,x1N}
{x21, x22, x23,…,x2N}
{x31, x32, x33,…,x3N}
……………………………….
{xM1, xM2, xM3,…,xMN}
Każda seria opisana jest przez rozkład normalny o wartości prawdziwej X i szerokości rozkładu σ.
Obliczymy ile wynosi średnia x�oraz odchylenie standardowe sredniej σx� .
Średnia z tak przeprowadzonych pomiarów wyraża się równaniem:
x� =
x�1 +x�2 +x�3 +⋯+x�N
N
=
NX
N
=X
(20)
w którym: x� i – srednia dla i-tej serii pomiarowej.
Odchylenie standardowe średniej σx� ,zgodnie z regułą kwadratowego przenoszenia błędów, wyraża
się ogólnym równaniem:
∂x
2
∂x
2
∂x
σx� = ��∂x σx11 � + �∂x σx12 � + ⋯ + �∂x
11
12
1N
2
σx1N �
(21)
6
w którym: σx1i – odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru.
Po przekształceniach otrzymamy:
2
1
2
1
1
σx� = ��N σx11 � + �N σx12 � + ⋯ + �N σx1N �
2
(22)
Ponieważ szerokości rozkładów są takie same: σx11 = σx12 = σx13 =…= σx1N = σ to otrzymamy:
2
1
2
1
1
2
σx� = ��N σ� + �N σ� + ⋯ + �N σ�
(23)
i dalej:
1
2
σx� = �N �N σ� =
σ
(24)
√N
Oznacza to, że w wyniku wielokrotnego powtarzania pomiaru wartości średniej podlegają
σ
rozkładowi normalnemu z wartością prawdziwą X i szerokością rozkładu
, w którymσ
√N
wyznaczone jest równaniem (17).
Równanie Gaussa dla średniej ma zatem postać:
1
fX,σ (x) = σ√2π e
−(x−X)2 /2�
σ 2
�
√N
(25)
Interpretację którego przedstawia rysunek 7 dla N=10 [1]
Rys.7. Funkcje Gaussa dla pojedynczego pomiaru i średniej z 10 pomiarów [1]
Jeżeli zatem wielokrotnie obliczymy średnią z 10 pomiarów do średniej opisane będą przez
𝛔
rozkład normalny wokół X z szerokością 𝛔𝐱� = . Albo i inaczej jeżeli znamy rozkład
√𝐍
średniej i następnie jednokrotnie wyznaczymy średnią na podstawie N pomiarów to możemy z
68% prawdopodobieństwem stwierdzić, że średnia znajduje się w przedziale X±𝛔𝐱� .
4. NIEPEWNOŚĆ STANDARDOWA TYPU A uA
Jeżeli wyniki pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu to niepewność standardowa tupu
A jest odchyleniem standardowe średniej i wyznacza je równanie:
uA =
σ
√N
1
= �N(N−1) ∑N
� )2
i=1(xi − x
W którym: N- liczba pomiarów, xi – pojedynczy pomiar,
(26)
x�- wartość średnia N pomiarów
7
5. SPOSÓB REALIZACJI ĆWICZENIA
1. Zmierzyć za pomocą stopera 30 razy czas wyłączenia świecącej lampy za pomocą, stopera
2. Narysować histogram otrzymanych wyników pomiarowych przyjmując przedział na osi
czasu δt= 0,2 s.
3. Policzyć średnią oraz odchylenie standardowe średniej oraz pojedynczego pomiaru.
4. Narysować funkcję Gaussa dla pojedynczego pomiaru i średniej oraz przedstawić
analitycznie równanie Gaussa
5. Zaznaczyć obszar wewnątrz którego znajduje się 95% wszystkich wyników
dla
pojedynczego pomiaru i średniej i zapisać poprawnie wynik.
6. PRZYKŁADOWE PYTANIA SPRAWDZAJĄCE
1. Równanie Gaussa dla pojedynczego pomiaru i znaczenie wielkości wchodzących w skład
tego równania
2. Narysować przykładową funkcje Gaussa i zaznaczyć częstość pomiarów w przedziale <a b>
3. Interpretacja fizyczna równania Gaussa
4. Różnica miedzy krzywą Gaussa dla pojedynczego pomiaru i średniej
5. Interpretacja fizyczna równania Gaussa dla średniej
6. Co oznacza odchylenie standardowe σ, 2σ, 3σ dla pojedynczego pomiaru
7. Co to jest niepewność standardowa typu A
7. LITERATURA
1. John.R. Taylor: Wstęp do analizy błędu pomiarowego, PWN, Warszawa 1999
2. Danuta Turzeniecka: Ocena niepewności wyniku pomiaru, Wydawnictwo Politechniki
Poznańskiej 1977
3. Jerzy Arendarski: Niepewność pomiarów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 2006
Data wykonania instrukcji:
18.10.2010
8