poziom Higher Arkusz 1 (bez użycia kalkulatora) – max 100 pkt

poziom Higher
Arkusz 1 (bez użycia kalkulatora) – max 100 pkt
Zadanie 1. (3 pkt)
Poniższy diagram przedstawia plan podłogi, na środku której znajduje się dywan. Oblicz pole
powierzchni podłogi nieprzykrytej dywanem.
Zadanie 2. (5 pkt)
a) Oblicz wartość wyrażenia 3a + ac dla a = 4 i c = −5.
b) Oblicz wartość wyrażenia 3p2 − 5 dla p = 2.
Zadanie 3. (8 pkt)
Kalkulator kosztuje 6,79 funta.
a) Oblicz cenę 28 takich kalkulatorów.
Pewna szkoła chce zakupić 570 kalkulatorów. Są sprzedawane w pudełkach po 50 sztuk.
b) Ile pudełek kalkulatorów powinna zakupić szkoła?
Szkoła postanowiła zwiększyć zamówienie na kalkulatory o 10%.
c) Podaj liczbę o 10% większą od 570.
Zadanie 4. (4 pkt)
Poniżej przedstawiono rzut z góry, z przodu i z boku pewnej bryły.
a) Naszkicuj tę bryłę.
Oto rysunek innej bryły złożonej z walca i stożka.
b) Narysuj rzut z przodu tej bryły.
Zadanie 5. (4 pkt)
Poniższy wykres obrazuje liczbę punktów uzyskanych przez sześciu uczniów z dwóch arkuszy
egzaminacyjnych.
W tabeli przedstawiono punkty zdobyte przez dwóch kolejnych uczniów.
uczeń A
uczeń B
liczba punktów z arkusza 1
20
50
liczba punktów z arkusza 2
20
35
a) Uzupełnij powyższy wykres, zaznaczając na nim informację o punktach uzyskanych przez
uczniów A i B.
b) Opisz zależność między liczbą punktów z arkusza 1 i arkusza 2.
c) Narysuj prostą, która najbardziej pasuje do układu punktów na wykresie.
Kolejny uczeń otrzymał 30 punktów z arkusza 2.
d) Korzystając z narysowanej w podpunkcie c) prostej, oszacuj liczbę punktów, które uzyskał
ten uczeń z arkusza 1.
Zadanie 6. (3 pkt)
Sposób naliczania opłaty (w funtach) za czas korzystania z łącza satelitarnego jest następujący:
Dodaj 3 do liczby godzin dostępu i pomnóż otrzymany wynik przez 1000.
Koszt zakupu n-godzinnego łącza kosztuje C funtów. Zapisz wzór, z którego można obliczać
C w zależności od n.
Zadanie 7. (8 pkt)
a) Przekształć wyrażenie p(p2 − 3p).
b) Rozłóż na czynniki wyrażenie y 2 + 5y.
c) Z wyrażenia 2x2 + 6xy wyłącz największy możliwy czynnik przed nawias.
d) Rozwiąż równanie x2 − 2x − 15 = 0.
Zadanie 8. (2 pkt)
Tony chce zebrać dane dotyczące liczby prac domowych zadawanych uczniom z jego klasy.
Wymyśl pytanie, które mógłby w tym celu zadać i zaprojektuj warianty odpowiedzi.
Zadanie 9. (4 pkt)
Oblicz objętość graniastosłupa trójkątnego przedstawionego na rysunku.
Zadanie 10. (4 pkt)
W układzie współrzędnych przedstawiono dwa trójkąty: trójkąt A i trójkąt B.
a) Znajdź obraz trójkąta B w symetrii względem prostej y = 2. Oznacz powstały trójkąt literą C.
b) Jakie pojedyncze przekształcenie płaszczyzny należy wykonać, aby obrazem trójkąta B
w tym przekształceniu był trójkąt A.
Zadanie 11. (5 pkt)
a) Rozwiąż równanie 9 − 2x = 3(x + 2).
b) Zapisz wszystkie wartości całkowite y, spełniające nierówność −3 ≤ y < 2.
Zadanie 12. (5 pkt)
a) Oblicz 1 2 + 2 3 . Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
5
7
b) Oblicz 2 · 3 . Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
5
7
Zadanie 13. (2 pkt)
Wiedząc, że prosta BE jest równoległa do prostej
CD oraz |AE| = 6 cm, |ED| = 4 cm, |AB| = 4,5 cm,
|BE| = 4,8 cm, oblicz długość odcinka CD.
Zadanie 14. (3 pkt)
W tabeli podano kilka wyrażeń. Litery a, b, c i d oznaczają długości, natomiast π i 3 są wartościami nieposiadającymi miary. Zaznacz krzyżykiem wyrażenia, które mogą oznaczać pole
powierzchni.
π ab3
3d
3a2
π bc
ac + bd
π (a + b)
3(c + d)3
3π bc 2
Zadanie 15. (4 pkt)
Tarcza jest podzielona na kolorowe pola o różnej wielkości. Kiedy wprawimy ją w ruch, to po
jakimś czasie się zatrzyma i strzałka wskaże jeden z kolorów.
W poniższej tabelce podano prawdopodobieństwa, że strzałka wskaże kolor żółty i niebieski. Prawdopodobieństwo, że strzałka zatrzyma się na polu czerwonym, jest takie samo, jak
prawdopodobieństwo, że zatrzyma się na polu zielonym.
kolor
prawdopodobieństwo
czerwony
żółty
niebieski
zielony
x
0,35
0,15
x
a) Oblicz wartość x.
Sara zamierza uruchomić tarczę 400 razy.
b) Oszacuj, ile razy strzałka wskaże kolor niebieski.
Zadanie 16. (5 pkt)
Na okręgu o środku w punkcie O zaznaczono punkty A, B i C. Odcinki P A i P B są styczne do
okręgu. Kąt P OB ma miarę 50◦ .
a) Podaj miarę kąta BP O. Uzasadnij swoją odpowiedź.
b) Podaj miarę kąta ACB. Uzasadnij swoją odpowiedź.
Zadanie 17. (8 pkt)
Amy zamierza rozegrać jedną partię snookera i jedną partię billarda. Prawdopodobieństwo, że
wygra w snookera wynosi 3 , a że wygra w billarda − 1 .
4
3
a) Uzupełnij drzewko.
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że Amy wygra dokładnie jedną grę.
Zadanie 18. (4 pkt)
a) Zamień 5 na ułamek dziesiętny.
6
b) Wykaż, że 0, (36) = 4 .
11
Zadanie 19. (6 pkt)
p jest odwrotnie proporcjonalne do r . Jeśli p = 7, to r = 12.
a) Znajdź wartość p dla r = 3.
b) Znajdź wartość r dla p = 24.
Zadanie 20 (6 pkt)
1
3
a) Oblicz 810 , 81 2 , 81− 4 .
√
3
b) Rozwiąż równanie 4 n = 4 2 .
Zadanie 21. (3 pkt)
Promień podstawy naczynia w kształcie walca ma długość 4x cm. Naczynie jest wypełnione wodą do wysokości h cm. Do tego naczynia wrzucono kulę o promieniu długości 3x cm. Kula jest
całkowicie zanurzona. Przedstaw za pomocą x, o ile cm podniósł się poziom wody w naczyniu.
Przedstaw rozwiązanie w jak najprostszej postaci.
Zadanie 22. (4 pkt)
Czworokąt OP QR jest równoległobokiem, OP = 2a, OR = 2b, X jest środkiem odcinka P R.
a) Zapisz wektor P X za pomocą a i b.
b) Wykaż, że X jest środkiem odcinka OQ.
Arkusz 2 (z użyciem kalkulatora) – max 100 pkt
Zadanie 1. (3 pkt)
a) Oblicz z użyciem kalkulatora
kalkulatorze.
15,6 .
3,3 · 1,6
Zapisz wszystkie cyfry po przecinku widoczne na
b) Powyżej wyznaczoną wartość podaj z dokładnością do trzech cyfr znaczących.
Zadanie 2. (2 pkt)
Sally ma na myśli pewną liczbę. Dodaje do niej 11, wynik mnoży przez 3 i otrzymuje 60. Podaj
liczbę, o jakiej myśli Sally.
Zadanie 3. (3 pkt)
Proste P R i SV są równoległe. Podaj miarę kąta x. Uzasadnij swoją odpowiedź.
Zadanie 4. (2 pkt)
Iran gra partię szachów z kolegą. Gra może się zakończyć jego wygraną, przegraną lub remisem.
Prawdopodobieństwo, że Iran wygra wynosi 0,3, a że zremisuje – 0,25. Oblicz prawdopodobieństwo, że Iran przegra partię szachów.
Zadanie 5. (5 pkt)
Długość boku trójkąta równobocznego wynosi x + 5 cm.
a) Zapisz wyrażenie przedstawiające obwód tego trójkąta. Przedstaw
je w jak najprostszej postaci.
Załóżmy, że obwód powyższego trójkąta równobocznego wynosi
22,5 cm.
b) Oblicz x.
Zadanie 6. (3 pkt)
Michael kupił 3 kartony mleka. Zapłacił 4,20 funta. Jaka byłaby cena 7 kartonów mleka?
Zadanie 7. (4 pkt)
Andy sprzedaje płyty CD po 8,80 funta plus 17,5% podatku VAT. Pewien klient kupił 650 płyt.
Ile zapłacił?
Zadanie 8. (2 pkt)
Rysunek przedstawia koło o średnicy 3,6 m. Oblicz jego obwód.
Podaj wynik z dokładnością do 1 dm2 .
Zadanie 9. (2 pkt)
Zamień 3,25 m3 na cm3 .
Zadanie 10. (3 pkt)
Rozwiąż równanie 4(y + 3) = 6.
Zadanie 11. (4 pkt)
Figura ABCD jest rombem o boku długości 7 cm. Przekątna BD rombu ma długość 6 cm. Za pomocą linijki i cyrkla skonstruuj ten romb.
Odcinek AB został już narysowany.
Zadanie 12. (3 pkt)
Pociąg jedzie z prędkością 180 km/h. Graham twierdzi, że 180 km/h to to samo, co 50 m/s.
Wykaż, że Graham ma rację.
Zadanie 13. (4 pkt)
Równanie x3 + 10x = 51 ma rozwiązanie będące liczbą z przedziału (2; 3). Spróbuj znaleźć
rozwiązanie tego równania. Podaj rozwiązanie z dokładnością do części dziesiętnych. Zapisz
wszystkie obliczenia.
Zadanie 14. (7 pkt)
Trzech chłopców podzieliło między siebie 48 funtów w stosunku 5 : 4 : 3. Daniel otrzymał
najmniejszą część.
a) Ile pieniędzy otrzymał Daniel?
W zeszłym roku Daniel miał 1,24 cm wzrostu. Jego wzrost zwiększył się w ciągu roku o 9,5%.
b) Jakiego wzrostu jest obecnie Daniel? Wynik zaokrąglij.
Zadanie 15. (7 pkt)
Prosta SP jest styczna do okręgu o środku w punkcie O. Punkt Q leży na tym okręgu, a punkty
O, Q, P są współliniowe. Ponadto |OP | = 26 cm, |T P | = 24 cm.
a) Uzasadnij, że kąt OT P jest kątem prostym.
b) Oblicz długość promienia okręgu.
c) Oblicz pole koła ograniczonego tym okręgiem. Podaj odpowiedź z dokładnością do trzech
cyfr znaczących.
Zadanie 16. (9 pkt)
Tabela przedstawia informacje o liczbie godzin spędzanych przed telewizorem przez 120 dzieci w ostatnim tygodniu.
liczba godzin
liczba wskazań
0<h≤2
10
2<h≤4
20
4<h≤6
25
6<h≤8
40
8 < h ≤ 10
15
10 < h ≤ 12
10
a) Jaka jest najczęstsza liczba godzin, którą dzieci spędziły przed telewizorem w ostatnim
tygodniu?
b) Uzupełnij tabelkę:
liczba godzin
liczba wskazań
0<h≤2
10
0<h≤4
0<h≤6
0<h≤8
0 < h ≤ 10
0 < h ≤ 12
c) Narysuj wykres przedstawiający dane z tabeli z podpunktu b).
d) Na podstawie wykresu oszacuj liczbę dzieci, które w ostatnim tygodniu oglądały telewizję
krócej niż 5 godzin.
Zadanie 17. (4 pkt)
Miasto B znajduje się 4,5 km na zachód w linii prostej od miasta C. Miasto A znajduje się
2,4 km na północ w linii prostej od miasta B.
a) Oblicz miarę kąta x z dokładnością do trzech cyfr znaczących.
b) Podaj azymut miasta C względem miasta A. Wynik zapisz z dokładnością do trzech cyfr
znaczących.
Zadanie 18. (5 pkt)
a) Uprość wyrażenie a4 · a5 .
b) Uprość wyrażenie 4xy 3 · 3x2 y.
c) Rozłóż na czynniki wyrażenie p2 − 16q 2 .
Zadanie 19.
(3 pkt)
Rozwiąż układ równań
3x − 2y = 3
x + 4y = 8
Zadanie 20. (3 pkt)
Wyznacz t ze wzoru D = 5t + π t + 5w .
Zadanie 21. (3 pkt)
Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB| = 9 cm, |BC| = 15 cm i kąt ABC ma miarę 110◦ . Oblicz
pole powierzchni tego trójkąta. Zapisz odpowiedź z dokładnością do trzech cyfr znaczących.
Zadanie 22. (3 pkt)
W dwóch pudełkach znajdują się kolorowe klocki. W pudełku A są 2 klocki czerwone, 3 niebieskie i 1 żółty, a w pudełku B są 3 niebieskie, 2 żółte i 1 zielony. Janet wylosowała jeden klocek
z pudełka A i jeden z pudełka B. Oblicz prawdopodobieństwo, że oba wylosowane klocki są
tego samego koloru.
Zadanie 23. (3 pkt)
1 stycznia 2004 roku obraz miał wartość 600 funtów. Przewiduje się, że cena obrazu będzie rosnąć R% rocznie. Wartość obrazu w funtach po n latach wyraża się wzorem: V = 600 · (1, 055)n .
a) Zapisz wartość R.
b) Oblicz za pomocą kalkulatora przewidywaną wartość obrazu po 15 latach (licząc od 1 stycznia 2004 roku).
Zadanie 24. (4 pkt)
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y = f (x).
a) Naszkicuj wykres funkcji y = f (x + 3).
b) Naszkicuj wykres funkcji y = −f (x) + 1.
Zadanie 25. (4 pkt)
Czas jednego wahnięcia wahadła o długości l jest dany wzorem
T = 2π gl , gdzie g oznacza przyspieszenie ziemskie.
Długość wahadła wynosi 30 cm z dokładnością do dwóch cyfr znaczących. Przybliżenie ziemskie wynosi 9,8 z dokładnością do dwóch cyfr znaczących. Oblicz T . Wynik przedstaw z dokładnością do trzech cyfr znaczących.
Zadanie 26. (5 pkt)
Uprość wyrażenia. Przedstaw je w najprostszej postaci:
5
a) 2x3y
b)
x2 −4x
x2 − 6x + 8