Zadanie 1. Udowodnij, że RP ⊆ NP oraz NP ⊆ PP. Zadanie 2

ALP 520
Jesień 2010
Zestaw 3 (18 października)
Zadanie 1. Udowodnij, że RP ⊆ N P oraz N P ⊆ P P.
Zadanie 2. Udowodnij, że ZP P = RP ∩ co_RP.
Zadanie 3 (Redukcja błędu dla PP). Korzystając z nierówności Czebyszewa pokazać, jak
można zredukować efektywnie prawdopodobieństwo błędu dla algorytmów rozwiązujących problemy z klasy PP.
Jeśli a > 0, to Pr(|X − EX| ≥ a) ≤
V arX
.
a2
Zadanie 4. Niech T2 będzie drzewem binarnym gry (AND-OR) o wysokości 2. Udowodnij, że wartość oczekiwana liczby sprawdzonych liści dla algorytmu losowego omówionego na
wykładzie wynosi co najwyżej 3.
Zadanie 5. Niech T3 (h) będzie zrównoważonym drzewem ternarnym o ustalonym korzeniu
i wysokości h. Każdemu spośród n = 3h liści przypisana jest wartość 1 lub 0, natomiast
wierzchołki wewnętrzne drzewa przyjmują wartości występujące u większości ich bezpośrednich potomków. Problem obliczenia drzewa T3 (h) polega na wyznaczeniu wartości w korzeniu,
a miarą złożoności liczba odczytanych w tym celu wartości liści.
• Pokazać, że dowolny algorytm deterministyczny wymaga sprawdzenia wszystkich n liści
w najgorszym wypadku.
• Rozważyć rekurencyjny algorytm losowy Bh , który oblicza dwa poddrzewa korzenia wybrane losowo. Jeśli obliczone wartości są równe, to wartość ta jest odpowiedzią, w
przeciwnym wypadku algorytm oblicza trzecie poddrzewo. Pokazać, że wartość oczekiwana liczby sprawdzonym liści przez algorytm Bh wynosi o najwyżej n0.9 .
Zadanie 6. Pokazać, że jeśli w drzewie T2,k wszystkie bramki AN D i OR zastąpimy funkcją
N OR (0, 0 → 1, pozostałe 0), to wartości dla korzenia nie zmienią się.
(
)
5 6
Zadanie 7. Dana jest macierz gry
. Sprawdź czy ta gra ma punkt siodłowy, a
7 4
następnie wyznacz optymalne strategie mieszane dla obu graczu.
1