MES - Zad. 2. Belka

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
PRZYKŁAD 2. Belka o zmiennym przekroju z obciążeniem trójkątnym.
Sporządzić wykres sił przekrojowych M α , Tα oraz linii ugięcia.
po = 10 kN/m
P= 60 kN=po l
2EI 0
EI 0 = 30MN ⋅ m 2
MA
M = 36kNm =
= 0,1p o l 2
L = 12,0m
VA
VB
x
I(x) = I 0 ( 2 − )
l
Przed dokonaniem dyskretyzacji rozważymy dwa zagadnienia:
- budowa macierzy sztywności elementu;
- budowa wektora obciążeń elementu uwzględniającego wpływ obciążeń międzywęzłowych.
1. Macierz sztywności elementu belkowego k e z zależności Q e = k e ⋅ q e
Ta
k11
k12
k13
k14
va
Ma
k 21
k 22
k 23
k 24
ϕa
Tb
k 31
k 32
k 33
k 34
vb
Mb
k 41
k 42
k 43
k 44
ϕb
qe
Qe
Macierz
sztywności
elementu
belkowego określimy w lokalnym układzie
współrzędnych x, y, z korzystając z
poznanych
wcześniej
wzorów
transformacyjnych klasycznej metody
przemieszczeń. W zadaniu układ globalny
i lokalny nie są obrócone względem siebie.
Dwa węzły ( a i b ), każdy po dwa stopnie
swobody w węzłach (v i ϕ). Wektor
przemieszczeń węzłowych elementu qe jest
czteroskładnikowy. Odpowiadający mu
wektor obciążeń węzłowych elementu Qe
jest również 4-składnikowy. Macierz
sztywności elementu ke jest 4 × 4 = 16
składnikowa.
ke
Ze wzorów transformacyjnych metody przemieszczeń dla pręta obustronnie utwierdzonego:
2 EI
2 EI
υ −υa
v −v
(2ϕ a + ϕ b − 3 b
)
(2ϕ b + ϕ a − 3 b a )
l
l
l
l
∑M
b
Ta
b
= 0 ⇒Ta =
2 EI
v −v
(3ϕ a 3ϕ b − 6 b a )
2
l
l
Tb = − Ta
1
vb
6 EI v a
(
2
+
ϕ
−
2
+ϕb )
a
l
l
l2
v
2 EI v a
Ma =
(3 + 2ϕ a − 3 b + ϕ b )
l
l
l
v
v
6 EI
Tb = − 2 (2 a + ϕ a − 2 b + ϕ b )
l
l
l
v
v
2 EI
Mb =
(3 a + ϕ a − 3 b + 2ϕ b )
l
l
l
Ta =
Ta
Ma
Tb
Mb
12
l3
6
l2
k e = EI
- 12
l3
6
l2
6
l2
4
l
-6
l2
2
l
12 EI
l3
6EI
2
= l
- 12EI
l3
6EI
l2
- 12
l3
-6
l2
12
l3
-6
l2
6EI
l2
4EI
l
- 6EI
l2
2EI
l
-12EI
l3
- 6EI
l2
12EI
l3
- 6EI
l2
6EI
l2
2EI
l
- 6EI
l2
4EI
l
va
ϕa
vb
ϕb
6
l2
2
l
-6
l2
4
l
2. Redukcja obciążeń międzywęzłowych do węzłów - wektor obciążeń Q e0
Dyskretyzacji podlegają także: sposób podparcia jak i obciążenia. W przypadku obciążenia
międzywęzłowego ciągłego należy zastąpić jego działanie zastępczymi obciążeniami skupionymi
działającymi w węzłach tak, aby praca obciążenia zastępczego δLQ była równa pracy obciążenia ciągłego Lp
Poszukiwany wektor zastępczych
sił węzłowych elementu:
 Ta0 
 0
M
Q e0 =  0a 
 Tb 
 0
M b 
Możemy wtedy wektor elementarnych sił węzłowych
w
0
Q e = k e ⋅ q e rozdzielić na dwa wektory Q e i Q e wtedy
Q e0 + Q ew = k e q e . gdzie: Q ew - wektor sił węzłowych w
0
przypadku, gdy Q e =0
Praca obciążenia zastępczego
0
0
0
0
T
0
na wirtualnym stanie przemieszczeń węzłów ⇒ LQ = δv a Ta + δϕ a M a + δvb Tb + δϕ b M b = δq e Qe .
(1 × 4) ⋅ ( 4 × 1)
pdx
Praca ciągłego obciążenia międzywęzłowego na
wirtualnej linii ugięcia Lp :
b
Lp =
∫ δv( x) p( x)dx
a
Do jej obliczenia potrzebna jest znajomość linii
ugięcia belki v(x ) .
Przyjmując x= ξ l możemy zapisać linię ugięcia
b
T
M
o
a
v(ξ ) = a 0 + a1ξ + a 2ξ 2 + a3ξ 3 . Jest to ścisły wzór
Tbo
o
a
EI, l
b
M
o
b
w postaci wielomianu 3-go stopnia na linie ugięcia
(EI v IV = 0 ), gdy siły i momenty działają tylko na
końcach.
2
Stałe ai wyznaczamy z warunków brzegowych uwzględniając, że ϕ =
dv dv
=
:
dx ldξ
v(0) = va ⇒ ab = va ,
2) v' ( 0) = lϕa ⇒ a1 = lϕa
3) v' (1) = lϕa + 2a 2 + 3a 3 = lϕb
4) v(1) = va + lϕa + a 2 + a 3 = vb
1)
Rozwiązując układ równań złożony z równań 3) i 4) otrzymamy:
a 2 = −3va − 2lϕa + 3vb − lϕ b ,
a 3 = 2va + lϕa − 2vb + lϕb
Po podstawieniu i uporządkowaniu:
v(ξ ) = (1 − 3ξ 2 + 2ξ 3 )v a + (ξ − 2ξ 2 + ξ 3 )lϕ a + (3ξ 2 − 2ξ 3 )vb + ( −ξ 2 + ξ 3 )lϕ b
Wprowadzając oznaczenie Ni , i=1,...,4 - funkcje aproksymujące (tzw. funkcja kształtu) możemy
macierzowo zapisać:
v(ξ ) = N
{ ⋅q
{e
(1x4) (1x4)
,
gdzie N=[N1 N2 N3 N4] jest macierzą funkcji kształtu (macierz aproksymująca).
Poszczególne funkcje kształtu określają linię
ugięcia
belki
wywołaną
jednostkowym
przemieszczeniem
przy
przemieszczeniach
równych zeru, np. N2
to v(x ) , gdy
ϕ a = 1 i v a = vb = ϕ b = 0 .
1
∫
T
Lp= ( Nδqe ) p (ξ )ldξ
0
Przez analogię ze wzorem LQ = δ ⋅ q eT ⋅ Qe0
możemy zapisać, że
Lp= δ
1
qeT ∫ N T pldξ
0
1
Qeo = l ∫ N T pdξ
0
W przypadku obciążenia zmiennego liniowo:
p(ξ ) = (1 − ξ )p a + ξp b
]
[
]
[
∫ [( − ξ
]
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
2
∫ (1 − 3 ξ ) [(1 − ξ ) p a + ξ p b ] ld ξ
0
Qe
[
1
2
3
∫ ( ξ − 2 ξ + ξ ) l [(1 − ξ ) p a + ξ p b ] ld ξ
2
3
∫ ( 3 ξ − 2 ξ ) [(1 − ξ ) p a + ξ p b ] ld ξ
2
3
∫ ( − ξ + ξ ) l [(1 − ξ ) p a + ξ p b ] ld ξ
2
3
4
3
4
∫ (1 − ξ − 3ξ + 5ξ − 2ξ )pa + (ξ − 3ξ + 2ξ )pb ldξ
1
2
2
3
4
2
3
4
∫ ( ξ − 3ξ + 3ξ − ξ ) p a + ( ξ − 2 ξ + ξ ) p b l d ξ
2
3
4
3
4
∫ ( 3 ξ − 5 ξ + 2 ξ ) p a + ( 3 ξ − 2 ξ ) p b ld ξ
2
+ 2ξ3 − ξ4 )p a + (−ξ3 + ξ 4 )p b
] l dξ
2
3
Wykorzystując zapisy:
1
1
1
∫ 1d ξ = ξ / 0 = 1
1
1
1
2 1
∫ ξdξ = 2 ξ /0 = 2
0
0
otrzymamy:
Q
1
1
1
2
3 1
∫ ξ dξ = 3 ξ /0 = 3
0
1
1
3
∫ ξ dξ = 4
0
1
4
∫ ξ dξ = 5
0
gdy pa = pb = q = const to Q0
0
q
l
(7 p
20
a
+ 3p
l2
(3p
60
a
+ 2p
b
)
l
(3 p
20
a
+ 7p
b
)
2
− l
60
(2 p
a
b
+ 3p
)
b
ql 2
12
ql 2
12
Q0
ql
2
ql
2
ql
2
ql2
12
ql
2
−
)
ql2
12
Wektor Q 0e można traktować jako siły przeciwne (ujemne) do reakcji w dodatkowo wprowadzonych więzach
eliminujących przemieszczenia (pręt obustronnie utwierdzony).
1
p0
2
1
p0
2
p0
x
1
b
M 0a
x
a
2
b
T a0
y
51
Q 10
p 0 ll
120
8 ll
39
T b0
y
21
Q02
3ll
p 0 ll
120
9
− 7l
− 2 ll
3. Podział na dwa elementy – dyskretyzacja.
E I 1 = 1, 7 5 E I 0
EI 2 = 1, 25 EI 0
X
1
1
Y
l1 = 6 m
2
2
l 2 = 6m
3
r1
r2
1
r3
1
2
r4
r6
2
r5
3
Kr=R
Wektor sił węzłowych R rozdzielamy na dwa wektory tzn. R = R 0 + Q 0 , gdzie R 0 - globalny wektor sił
0
węzłowych wynikający z obciążenia przyłożonego bezpośrednio do węzłów konstrukcji; Q - wektor sił
węzłowych konstrukcji wynikających z obciążenia międzywęzłowego.
4
k 11
k 21
k
k
k
k
31
41
51
61
k12
k 22
k13
k 23
k 32
k 42
k 52
k 62
k
k
k 14
k 24
k 34
33
k 15
k 25
k 35
k
k 44
k 54
k 64
43
k 53
k 63
45
k 55
k 65
k 16
k 26
k 36
k 46
k 56
k 66
X
r1
r2
r3
r4
Va
Ma
60 kN
=
+
0
r5
r6
Q0
Vaa
36 kNm
Macierze sztywności elementów w układzie globalnym są następujące:
k1
EI 0
0,
0972
0,
2917
-0,
0972
0,
2917
r1
0,
-0, 0,
2917 0972 2917
1,
-0,
0,
1667 2917 5833
-0, 0,
0,
2917 0972 2917
0,
-0,
1,
5833 2917 1667
r2
r3
r1
r2
r3
r4
w.a (1)
k2
EI 0
w.b ( 2)
r4
0,
0694
0,
2083
-0,
0694
0,
2083
0,
-0, 0,
2083 0694 2083
0,
-0,
0,
8333 2083 4167
-0, 0,
-0,
2083 0694 2083
0,
-0,
0,
4167 2083 8333
r1
r2
r3
r1
w.a (3)
r2
r3
r4
w.b ( 4)
r4
Na bokach macierzy zapisane są globalne numery stopni swobody konstrukcji ri (i = 1,...,6) odpowiadające
stopniom swobody elementu. Opisują one sposób połączenia elementów oraz sposób rozmieszczenia
poszczególnych składników macierzy przy agregacji globalnej macierzy sztywności konstrukcji.
W programach komputerowych numery te są przechowywane w tzw. tablicy alokacji, której poszczególne
kolumny tzw. wektory alokacji dotyczą jednego elementu.
Wektor alokacji elementu 1 i 2 :
i1 = Va
1
ϕa
2
Vb ϕb
3
element 1
4
i2 =
Va
ϕa
3
4
Vb ϕb
5
6
element 2
Z wektorów alokacji wynika zgodność przemieszczeń węzłów wspólnych np.:
vbe =1 = v ae = 2 = r3 i ϕ be =1 = ϕ ae = 2 = r4
5
Agregacji macierzy sztywności – jak poprzednio z równań równowagi
r1
r2
r3
r5
r4
Ze
k1
K=
Ze
ra
r2
+
k1
3 4
2
k1 2
r3
k1 +
43
k 22 1
k 14 4 +
k 22 2
r4
V 21 = r 3
ϕ 11 = r 2
1
=
0 0
0 0
r6
M 12
ϕ 12 = r 4
P = p0l
M 22
= r4
2
0
0
0
0
-0,
2083
0,
0694
-0,
2083
0
4167
-0,
2083
0
8333
V 32 = r5
V 22 = r3
ϕ 22
2
T 21
0,
2917
0,
5833
-0,
-0, 0,
0834 0694 2083
0,
0,
-0, 2,
2917 5833 0834 000
-0,
-0,
0694 2083
0,
0,
2083 4167
r5
k2
V 11 = r1
0, 0,
-0,
0972 2917 0972
0,
1,
-0,
2917 1667 2917
-0, -0,
0,
0972 2917 1667
r1
k 13 3 +
k 12 2
ra
1
r6
2
EI0
ϕ 32 = r6
3
T 22
R − nie 3(r3 ) : T21 + T22 = P ⇒
p0 l
+
120
1
1
1
1
T21 = k 31
r1 + k 32
r2 + k 33
r3 + k 34
r4 − T210
EI 0 ( −0,0972r1 − 0,2917 r2 + 0,0972r3 − 0,2917 r4 ) − 39
p0 l
=P
120
T22 = k11r3 + k12 r4 + k12 r5 + k14 r6 − T220
+ EI 0 (0,0694r3 + 0,2083r4 − 0,0694r5 + 0,2083r6 ) − 21
R − nie 3(r3 ) :
EI 0 ( −0,0972r1 − 0,2917 r2 + 0,1667 r3 − 0,0834r4 − 0,0694r5 + 0,2083r6 ) =
p0 l + (39
p0 l
pl
+ 21 0 )
120
120
6
1
p0
2
1
p0
2
p0
226,6
139,2
36,26
139,1
1
2
40,94
85,94
19,19
85,94
34,19
40,94
19,19
34,2
226,6
36,26
Tα [kN]
Mα [kNm]
139,2
Podział na cztery elementy
1,875EIo
1,625EIo
1
1
Y
3m
2
2
r1
1,375EIo 1,125EIo
3
3m
3
4
4
X
5
1
r5
r6
3
r8
r7
4
r9
r10
5
4
86,3
41,7
60,4
2
1
3m
3m
232,3
r2
r3
r4
29,6
37,1
18,3
13,6
64,0
36,0
Tα [kN]
Mα [kNm]
137,7
Podział na osiem elementów
Podobnie jak wyżej, lecz uzyska się jeszcze bardziej dokładne wyniki.
7