Zadanie 1. Stosując metodę Simpsona wyznaczyć

Matematyka Stosowana i Metody Numeryczne cz.2 : październik 2015
1
Zadanie 1. Stosując metodę Simpsona wyznaczyć wartość całki
Z3
(x2 − 3x)dx
−2
Zastosować optymalny podział obszaru całkowania. Naszkicować interpretację graficzną rozwiązania.
Zadanie 2. Stosując trójpunktową kwadraturę Gaussa wyznaczyć wartość całki
Z2
(x2 + x − 5) dx
−1
Przyjmij jeden podprzedział. Powtórz obliczenia dla kwadratury dwupuntkowej. Dlaczego
otrzymane wyniki są zgodne z rozwiązaniem analitycznym? Oblicz błąd względny.
Zadanie 3. Wyprowadzić wzór różnicowy do obliczenia pierwszej i drugiej pochodnej w
punkcie i (patrz rysunek)
i
1
2h
h
i+1
i+2
Powtórz te obliczenia dla punktów i+1, a następnie dla i+2.
Zadanie 4. Rozwiąż poniższy problem początkowy:
dx
= 3t2
dt
metodą Eulera, Rungego-Kutty II i Rungego-Kutty IV dla t = 1.2, jeśli x(t = 1) = 2. Przyjąć
krok h = 0.1.
Zadanie 5. Rozwiązać poniższy problem początkowy:
dy
= 2x + y
dx
metodą predyktor-korektor n = 3 dla x = 1.5, jesli y(x = 1) = 2. Przyjąć krok h = 0.1.
Zadanie 6. Rozwiązać metodą różnicową poniższy problem brzegowy
y ′′ (x) + 2y(x) − 3x = 0,
x ∈ [−1, 2],
y(−1) = 1, y(2) = 2,
przyjąć h = 1
Matematyka Stosowana i Metody Numeryczne cz.2 : październik 2015
2
Zadanie 7. Utworzyć układ równań algebraicznych w celu rozwiązywania poniższej belki
Metodą Różnic Skończonych. Przyjąć EI=1 kNm2 oraz h=0.25 m
10 kN/m
1m
UWAGA:
d4 v(x) py (x)
=
,
dx4
EI
M (x) = −EI
d2 v(x)
,
dx2
T (x) = −EI
d3 v(x)
dx3
Zadanie 8. Dla poniższej macierzy obliczyć maksymalną wartość własną i odpowiadający
jej wektor własny wykonując dwie pierwsze iteracje:


2 −1
0
−1
4 −2
0 −2
2
przyjmując wektor startowy x(0) = [1, 0, 0]T
Zadanie 9. Znaleźć wartość własną najbliższą wartości 5 dla macierzy A:


5 −1 1
 −1
6 2 
1
2 2
przyjmując wektor startowy x(0) = [0, 0, 1]T wykonać dwa kroki iteracyjne
Zadanie 10. Znaleźć najbliższą 0 (zeru) wartość własną i odpowiadający jej wektor własny
dla macierzy A:
4 −3
−2
5
przyjmując wektor startowy x(0) = [1, 0]T wykonać dwa kroki iteracyjne. Sprawdzić zbieżność
rozwiązania.
Zadanie 11. Wyznaczyć trzy niezmienniki tensora, którego reprezentantem jest macierz


4
2 −1
T =  −1
3
2 
−2 −2
4
Uwaga: I1 = trT,
I2 =
1
2
h
i
(trT)2 − tr(T2 ) ,
I3 = det(T)
Matematyka Stosowana i Metody Numeryczne cz.2 : październik 2015
Zadanie 12. W układzie współrzędnych ”A”

1
σ = 0
3
3
dany jest tensor σ o składowych

0 3
2 0
0 1
Układ współrzędnych ”B” powstaje przez obrót układu współrzędnych ”A” o kąt 30◦ wokół
osi ”y” . Obliczyć składowe tensora σ w układzie ”B”.