Algebra liniowa B2. Lista 13 Wszystko dzieje sie ` w

Algebra liniowa B2. Lista 13
1.
2.
3.
4.
Wszystko dzieje sie w skończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej/unitarnej V , chyba że treść zadania
‘
mówi inaczej. Kwadratowa macierz rzeczywista/zespolona A jest ortogonalna/unitarna, jeśli A−1 = A∗ .
Forma hermitowska na V to póltoraliniowe Φ: V × V → C spelniajace Φ(v, w) = Φ(w, v).
‘
Sprawdź, że podane na wykladzie dwie definicje iloczynu skalarnego na kompleksyfikacji rzeczywistej przestrzeni euklidesowej sa zgodne.
‘
Uzasadnij, że jeśli B, C sa ortonormalnymi bazami V , to macierz mB
C (Id) jest ortogonalna / unitarna.
‘
Wyznacz postać kanoniczna i baze ortonormalna w której jest ona przyjmowana dla ortogonalnych przek‘
‘
‘
sztalceń Rn zadanych w bazie standardowej macierzami:



 
√ 
√ 

1 1
1
1
1 1 1
1
3
1
−√ 6
1
1
−√ 2
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1




1 
3
6  ; 21 
1
2 ;
 ; 12 
 ; 12  √1
4
√
√
√1
1 −1 1 −1
−1 1 −1 1
6 − 6
2
2 − 2
0
1 −1 −1 1
−1 1 1 −1
Wyznacz ortonormalna baze wektorów wlasnych i macierz w tej
zadanego
 bazie przeksztalcenia unitarnego,

‘
‘
4 + 3i
4i
−6 − 2i
cos a − sin a
w pewnej bazie ortonormalnej macierza:
4 − 3i −2 − 6i  .
; 91  −4i
‘
sin a cos a
6 + 2i −2 − 6i
1
5. Uzupelnij uklad (1, −1, i, 0)⊤, (−1, 0, i, −i)⊤ do ortogonalnej bazy C4 .
6. Niech v = x + iy ∈ VC bedzie wektorem wlasnym FC odpowiadajacym nierzeczywistej wartości wlasnej.
‘
‘
Udowodnij, że (a) v, v sa lnz; (b) x, y sa lnz; (c) LinC (v, v) ∩ V = LinR (x, y).
‘
‘
7. Uzasadnij, że jeśli ortogonalne przeksztalcenie R6 ma rzeczywista wartość wlasna, to ma też przynajmniej
‘
‘
dwa liniowo niezależne wektory wlasne.
8. Czy jest przeksztalceniem ortogonalnym (a) przeksztalcenie odwrotne do ortogonalnego? (b) suma dwóch
przeksztalceń ortogonalnych? (c) zlożenie dwóch przeksztalceń ortogonalnych?
9. Uzasadnij, że jeśli Q jest niezerowa symetryczna forma dwuliniowa na zespolonej przestrzeni liniowej, to
‘
‘
‘
‘
istnieje wektor v taki że Q(v, v) = −1. Pokaż na przykladzie, że stwierdzenie to nie zawsze jest prawdziwe
jeśli Q jest forma hermitowska.
‘
‘
10. Niech U bedzie macierza unitarna. Uzasadnij, że wszystkie wyrazy U 100 sa co do modulu nie wieksze niż 1.
‘
‘
‘
‘
‘
11. Uzasadnij, że jeśli kvk = kwk, to istnieje przeksztalcenie ortogonalne/unitarne F , takie że F (v) = w.
12. A, B to kwadratowe macierze zespolone. Ā to macierz której wyrazy sa liczbami sprzeżonymi do odpowied‘
‘
nich wyrazów macierzy A. Czy AB = B̄ Ā, czy może AB = ĀB̄? Czemu jest równe (AB)∗ ? Uzasadnij wzór
(A∗ )−1 = (A−1 )∗ .
13. Które przeksztalcenia ortogonalne sa samosprzeżone?
‘
‘
14. Udowodnij, że (a) (T ∗ )∗ = T ; (b) (T + S)∗ = T ∗ + S ∗ ; (c) (αT )∗ = αT ∗ ; (d) ker(T ∗ ) = Im(T )⊥ ; (e)
Im(T ∗ ) = ker(T )⊥ .
15. Zalóżmy, że v, w ∈ Lin({v1 , . . . , vk }), oraz że hv, vi i = hw, vi i dla i = 1, 2, . . . , k. Wykaż, że v = w.
16. Niech v1 , . . . , vk , w1 , . . . , wk spelniaja, dla dowolnych i, j ∈ {1, 2, . . . , k}, warunek hvi , vj i = hwi , wj i.
‘
Udowodnij, że istnieje przeksztalcenie ortogonalne/unitarne U , takie że U (vi ) = wi dla i ∈ {1, 2, . . . , k}.
17. (V jest rzeczywista. “Odbicie” oznacza symetrie wzledem warstwy podprzestrzeni kowymiaru 1, czyli
‘
‘
wzgledem hiperplaszczyzny niekoniecznie przechodzacej przez 0.)
‘
‘
a) Z twierdzenia o postaci kanonicznej przeksztalceń ortogonalnych V wywnioskuj, że każde takie przeksztalcenie jest zlożeniem co najwyżej dim V odbić.
b) Uzasadnij, że każda translacja jest zlożeniem 2 odbić.
c) Uzasadnij, że dowolna izometria V jest zlożeniem co najwyżej dim V + 2 odbić;
d) Uzasadnij zupelnie inna metoda, że tak naprawde w punkcie c) wystarczy dim V + 1 odbić.
‘
‘
‘
18. Udowodnij, że dla dowolnych a, b, c ∈ R zachodzi
p
p
p
p
(2a + b)2 + (2b + c)2 + (2c + a)2 + (a + b + c)2 ≤ 2(a2 + b2 ) + 2(b2 + c2 ) + 2(c2 + a2 ).
19. Udowodnij, że jeśli U : V → V jest unitarne, to dla dowolnego v ∈ V zachodzi limn→∞
gdzie P jest rzutem ortogonalnym na podprzestrzeń {w ∈ V : U w = w}.
20. Przetlumacz teorie form kwadratowych na przypadek form hermitowskich.
‘
1
n
Pn−1
k=0
U k v = P v,