Algebra liniowa B2. Lista 3 1. Niech F : R 100 → R7 be ` dzie

Algebra liniowa B2. Lista 3
1. Niech F : R100 → R7 bedzie przeksztalceniem liniowym. Jaki może być wymiar ker(F )? Jaki może być
‘
wymiar Im(F )? A jak bedzie dla F : R7 → R100 ?
‘
2. Z twierdzenia Bezout wywnioskuj, że jeśli wielomian stopnia ≤ 13 zeruje sie w 1, 2, 3, . . . , 14, to musi on
‘
być wielomianem zerowym. Używajac tw. o indeksie wywnioskuj stad, że dla dowolnych liczb a1 , a2 , . . . , a14
‘
‘
istnieje (jedyny) wielomian P stopnia ≤ 13 taki że P (1) = a1 , P (2) = a2 . . . , P (14) = a14 . [Zdefiniuj
odpowiednie przeksztalcenie liniowe z R13 [X] w R14 .]
3. Uzasadnij, że każda podprzestrzeń przestrzeni liniowej V jest (a) jadrem pewnego przeksztalcenia liniowego,
‘
którego dziedzina jest V ; (b) obrazem pewnego przeksztalcenia liniowego, którego przeciwdziedzina jest V .
‘
‘
4. Niech V = R[X], W = {P ∈ V : P (0) = 0}. Uzasadnij, że jeśli Q i S należa do tej samej warstwy W , to
‘
Q(0) = S(0). Czy jest też odwrotnie? Uzasadnij, że w każdej warstwie W jest dokladnie jeden wielomian
stopnia 0. Wyznacz dim(V /W ).
R0
5. Oblicz wymiary nastepujacych przestrzeni: {P ∈ R50 [X] : P (−X) = P (X)}, {P ∈ R10 [X] : −1 P (x)dx =
‘
‘
P100
P100
P50
P ′ (−7) = 0}, {(x , . . . , x100 )⊤ ∈ R100 : i=1 (−1)i xi = i=1 xi = i=1 x2i = 0}, {(x1 , . . . , x100 )⊤ ∈ R100 :
P100 2 P50 1
′′′
′′
′
i=1 xi =
i=1 x2i−1 = 0}, {P ∈ R3 [X] : XP (X) + P (X) = 0, P (−1) + P (0) = 0}.
6. Jeśli b1 , . . . , bn jest baza V , zaś F : V → W jest izomorfizmem, to F (b1 ), . . . , F (bn ) generuja W . Jak bardzo
‘
‘
potrafisz oslabić zalożenia tego twierdzenia?
7. Udowodnij lub obal:
a) Jeśli uklad wektorów v1 , . . . , vn ∈ V jest lz, a F : V → W jest przeksztalceniem liniowym, to uklad wektorów
F (v1 ), . . . , F (vn ) też jest lz.
b) (dla formalistów) Jeśli zbiór {v1 , . . . , vn } ⊆ V jest lz, a F : V → W jest przeksztalceniem liniowym, to zbiór
{F (v1 ), . . . , F (vn )} też jest lz.
c) Jeśli uklad wektorów v1 , . . . , vn ∈ V jest lnz, a F : V → W jest przeksztalceniem liniowym, to uklad
wektorów F (v1 ), . . . , F (vn ) też jest lnz.
8. Udowodnij, że jeśli W < V , zaś f : W → U jest przeksztalceniem liniowym, to istnieje przeksztalcenie liniowe
F : V → U , takie że f jest obcieciem F do W . Znajdź takie F dla V = R2 [X], W = {P ∈ R2 [X] : P (3) = 0},
‘
(X)
.
U = R1 [X], f (P ) = PX−3
9. Udowodnij, że jeśli F : V → W jest monomorfizmem, to istnieje przeksztalcenie liniowe G : W → V , takie że
G ◦ F = Id (Dlaczego nie wynika stad, że każdy monomorfizm
jest

 izomorfizmem?). Znajdź macierze dwóch
‘
1 −1
różnych takich G dla F : R2 → R3 zadanego macierza  2 0 .
‘
1 1
10. Czy jest prawda, że dla dowolnych skończenie wymiarowych podprzestrzeni U, V, W dowolnej przestrzeni
‘
liniowej zachodzi wzór (udowodnij lub podaj kontrprzyklad):
dim(U + V + W ) = dim(U ) + dim(V ) + dim(W ) − dim(U ∩ V ) − dim(V ∩ W ) − dim(W ∩ U ) + dim(U ∩ V ∩ W )
11. Niech V = {(x, y, z)⊤ ∈ R3 : x + 2y + z = 0}, W = {(x, y, z)⊤ ∈ R3 : x = y3 = − z7 }. Wykaż, że (a)
odwzorowanie V × W ∋ (v, w) 7→ v + w ∈ R3 nie jest izomorfizmem; (b) V × W ≃ R3 .
12. Niech W, U < V . Uzasadnij, że jeśli W ∩ U = {0}, to odzorowanie W × U → W + U zadane wzorem
(w, u) 7→ w + u jest izomorfizmem liniowym.
13. Niech F : V → W bedzie funkcja. Udowodnij, że F jest liniowa ⇐⇒ F < V × W .
‘
‘
14. Niech V = R3 , zaś W niech bedzie prosta w R3 zadana równaniem x = y3 = −z.
‘
‘
‘
a) Sprawdź, czy wektory v1 + W , v2 + W sa lnz w V /W , dla (i) v1 = (1, 2, 3)⊤ , v2 = (4, 5, 6)⊤ ; (ii) v1 =
‘
(2, 6, −2)⊤ , v2 = (0, 1, 2)⊤ ; (iii) v1 = (−1, 0, 2)⊤, v2 = (0, 3, 1)⊤ ; (iv) v1 = (0, 0, 1)⊤ , v2 = (0, 1, 0)⊤ .
b) Wskaż baze B przestrzeni V /W i oblicz [v1 ]B , [v2 ]B dla wszystkich powyższych v1 , v2 .
‘
c) Niech p : V → V /W bedzie naturalnym rzutowaniem (zadanym przez p(v) = v + W ). Sprawdź, że p|W ⊥
‘
jest izomorfizmem liniowym. Czy potrafisz uzasadnić, że to samo bedzie prawda dla dowolnej prostej W
‘
‘
przechodzacej przez 0 w V = R3 ? [W ⊥ = {v ∈ V : ∀w ∈ W, hv, wi = 0}]
‘
15. Zalóżmy, że v, w ∈ R3 sa lnz. Jaki warunek musi spelniać jednowymiarowa podprzestrzeń W < R3 , aby
‘
v + W, w + W byly lz w przestrzeni ilorazowej R3 /W ? Rozważ przyklad v = (1, 1, 0)⊤ , w = (0, 1, 1)⊤ .
16. Uzasadnij, że jeśli W < V , (b1 , . . . , bk ) jest baza W zaś (b1 , . . . , bk , bk+1 , . . . , bn ) baza V , to (bk+1 +W, . . . , bn +
‘
‘
W ) jest baza V /W .
‘
17. Podaj przyklad przestrzeni liniowej (nieskończenie wymiarowej) V i przeksztalcenia liniowego F : V → V ,
które (a) jest epimorfizmem, ale nie jest monomorfizmem; (b) jest monomorfizmem, ale nie jest epimorfizmem. [Wsk. Można użyć jako V na przyklad przestrzeni ciagów o wyrazach rzeczywistych]
R1
R‘2
2
2
18. Oblicz wymiar przestrzeni {P ∈ R100 [X] : −1 e−x P (x)dx = −2 e−x P (x)dx = 0}. Co potrafisz powiedzieć
R1
R2
R 100
2
2
2
o wymiarze przestrzeni {P ∈ R100 [X] : −1 e−x P (x)dx = −2 e−x P (x)dx = . . . = −100 e−x P (x)dx = 0}?
19. Niech dla i = 0, . . . , n funkcja fi : Vi → Vi+1 bedzie przeksztalceniem liniowym,P
przy czym ker(fi+1 ) = Im(fi )
‘
n
(dla i = 0, . . . , n − 1). Zalóżmy ponadto, że V0 = Vn+1 = {0}. Udowodnij, że i=1 (−1)i dim(Vi ) = 0.
20. Niech F : V → W bedzie przeksztalceniem liniowym, U podprzestrzenia ker(F ), zaś p : V → V /U odw‘
‘
zorowaniem ilorazowym (p(v) = v + U ). Uzasadnij, że istnieje jedyne odwzorowanie liniowe f : V /U → W ,
takie że f ◦ p = F .
21. Niech V, W < U , dim(U ) < ∞. Uzasadnij, że funkcja V /(V ∩W ) → (V +W )/W dana wzorem v+V ∩W 7→ v+
W jest dobrze określonym izomorfizmem. Wywnioskuj wzór dim(V +W )+dim(V ∩W ) = dim(V )+dim(W ).
22. Zalóżmy, że U, W < V i dim(U ) + dim(W ) > dim(V ). Udowodnij, że dim(U ∩ W ) > 0. Czy jest prawda, że
‘
każda warstwa W niepusto przecina sie z U ?
‘
Algebra liniowa 2B
Wyklad: środy, 10-12, A; czwartki 10-12, HS; Jan Dymara ([email protected]),
konsultacje: czwartek 7:15-8, piatek 11:15-12 + na zamówienie, pokój 301.
‘
Ćwiczenia: wtorki 8-10, s. EM, Tomasz Elsner; s. 601, Ewa Damek
Konwersatorium: poniedzialki, 11-12, s. 606, Światoslaw Roman Gal
Lista zadań. Na wykladzie w tygodniu n studenci beda otrzymywać liste zadań nr n (lista bedzie też
‘ ‘
‘
‘
dostepna pod adresem http://www.math.uni.wroc.pl/∼dymara/GalS13/mat.html). Na liście beda proste
‘
‘ ‘
zadania za 0,1 pkt. (nad pierwsza kreska), poważniejsze zadania za 0,2 pkt. (miedzy kreskami) oraz trud‘
‘
‘
niejsze zadania za 0,3 pkt. Wybrane zadania z tej listy beda omawiane na ćwiczeniach w tygodniu n + 1 –
‘ ‘
przed tymi ćwiczeniami student powinien rozwiazać wszystkie zadania za 0,1 pkt. i wiekszość zadań za 0,2
‘
‘
pkt. W razie problemów należy szukać pomocy na konsultacjach lub w tutorni.
Zadania domowe. W ramach zadania domowego student musi rozwiazać pisemnie zadania o lacznej
‘
‘
wartości ≥ 1 pkt. (jeśli zadanie ma wiecej niż 2 niezależne podpunkty, wystarczy rozwiazać 2 podpunkty).
‘
‘
Zadanie domowe z listy nr n zbierane jest na poczatku ćwiczeń w tygodniu n + 1. W naglówku zadania
‘
domowego należy zawsze umieścić: imie i nazwisko, numery wybranych zadań, laczna wartość punktowa
‘
‘
‘
‘
wybranych zadań. Ocena za zadanie domowe jest liczba 0 lub 1. Student otrzymuje 1 pkt. za zadanie domowe,
‘
jeśli laczna wartość poprawnie rozwiazanych zadań jest ≥ 1 pkt. W przypadku wykrytej nieuczciwości
‘
‘
zwiazanej z zadaniem domowym ocena może wynieść −1 pkt.
‘
Kolokwia. Trzy dwugodzinne kolokwia odbeda sie w czwartki zamiast wykladu. Kolokwium odbywajace
‘ ‘ ‘
‘
sie w czwartek obejmie material do listy omawianej dwa dni wcześniej na ćwiczeniach wlacznie. Terminy
‘
‘
kolokwiów: 21.III, 25.IV, 23.V.
Zaliczenie. Do zdobycia jest 3 × 30 (kolokwia) +15 × 1 (zadania domowe) = 105 pkt. Progi na poszczególne
oceny: 5 – 80 pkt.; 4,5 – 70 pkt.; 4 – 60 pkt.; 3,5 – 50 pkt.; 3 – 40 pkt.
Prowadzacy ćwiczenia ma prawo podnieść ocene o 0,5 pkt. na podstawie caloksztaltu pracy studenta (u‘
‘
wzgledniajac w szczególności aktywność na ćwiczeniach, systematyczność pracy, czynione postepy w nauce
‘
‘
‘
oraz odleglość od progu na wyższa ocene).
‘
‘
Nieobecności.
a) wykladowcy: 3.IV, 4.IV, 1.V, 2.V, 9.V, 30.V, 5.VI, 6.VI nie bedzie wykladu.
‘
b) studenta: w przypadku usprawiedliwionej nieobecności na kolokwium należy niezwlocznie skontaktować
sie z prowadzacym ćwiczenia w celu ustalenia sposobu uzyskania zaliczenia. W przypadku planowanej
‘
‘
nieobecności na ćwiczeniach zadanie domowe można zostawić przed ćwiczeniami na portierni (na pólce
prowadzacego ćwiczenia).
‘