1 Elementy teorii przeżywalności

1
Elementy teorii przeżywalności
Zadanie 1 Zapisz
1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 80 lat
2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 30 lat
3. P-two, że noworodek dożyje wieku 50
4. P-two, że noworodek umrze między 20 a 50 rokiem życia
5. P-two, że noworodek umrze między 50 a 90 rokiem życia
6. P-two, że noworodek umrze między 20 a 50 rokiem życia pod warunkiem, że umrze między 10
a 50 rokiem życia
7. P-two, że noworodek umrze między 15 a 45 rokiem życia, o ile umrze przed 80-tką
8. P-two, że noworodek umrze między 10 a 20 rokiem życia pod warunkiem, że umrze między 15
a 25 rokiem życia
Zadanie 2 Przeczytaj
1.
F (50) − F (13)
F (60) − F (10)
2.
F (80) − F (20)
s(15)
3.
s(16) − s(26)
1 − s(20)
Zadanie 3 Zapisz symbolicznie
1. Prawdopodobieństwo, że 50-latek umrze w ciągu 5 lat
2. P-two, że 50-latek przeżyje co najmniej 10 lat
3. P-two, że 20-latek dożyje 80tki
4. P-two, że 30-latek nie dożyje 50tki
5. P-two, że 62-latek umrze w ciągu 40 lat
6. P-two, że 40-latek dożyje 90tki
7. P-two, że 20-latek umrze powyżej 50 roku życia
8. P-two, że 21-latek umrze przed 50tką
9. P-two, że noworodek dożyje wieku 56
10. P-two, że 53-latek dożyje co najmniej do 75 roku życia
11. P-two, że 53-latek umrze przed 75 rokiem życia
12. P-two, że 40-latek umrze przed 41 urodzinami
13. P-two, że 30-latek przeżyje rok
14. P-two, że noworodek umrze przed 40-tką
15. P-two, że 50-latek umrze w ciągu roku
16. P-two, że 4-latek dożyje 5-go roku życia
17. P-two, że 20-latek przeżyje 5 lat, ale umrze w ciągu następnych dwóch lat
18. P-two, że 50-latek przeżyje 10 lat, a następnie umrze w przeciągu 3 lat
19. P-two, że 30-latek przeżyje następnych 30 lat, ale nie przekroczy 80-tki
20. P-two, że 13-latek przeżyje 10 lat, ale umrze w ciągu roku
Zadanie 4 Zapisz na trzy sposoby (przy użyciu p, s, F )
1. P-two, że 60-latek przeżyje następnych 30 lat a następnie umrze w ciągu 3 lat
2. P-two, że 20-latek przeżyje 8 lat a następnie umrze w przeciągu 10 lat
3. P-two, że 16-latek przeżyje 60 lat a następnie umrze w ciągu roku
4. P-two, że 16-latek dożyje 60-tki a następnie umrze w ciągu roku
√
1
Zadanie 5 Funkcja przeżycia dana jest wzorem s(x) = 10
100 − x dla x ∈ [0, 100]. Oblicz
1. P-two, że noworodek umrze między 46 a 75 rokiem życia
2. P-two, że 20-latek nie dożyje 50-tki
3. P-two, że 46-latek nie przeżyje kolejnych pięciu lat
4. P-two, że 19-latek umrze przed 64 rokiem życia
5. P-two, że 46-latek dożyje wieku 75 lat
6. P-two, że 21-latek dożyje wieku 40 lat i umrze przed ukończeniem 57 roku życia.
Hipoteza jednostajnej umieralności w ciągu roku (UDD) (w książce Błaszczyszyna Rolskiego
(HU)). Zakładamy, że rozkład zgonów między całkowitymi liczbami lat jest równomierny. Zakładamy:
s(x + t) = (1 − t) · s(x) + t · s(x + 1)
gdzie t ∈ [0, 1) i x = 0, 1, 2....
Zadanie 6 Przy założeniu (UDD) wyznaczyć wzór na t qx oraz t px .
Zadanie 7 Zakładając (UDD) obliczyć prawdopodobieństwo, że siedemdziesięciolatek umrze między
70,5 a 71,5 rokiem życia, jeżeli q70 = 0, 04, q71 = 0, 05.
Zadanie 8 Niech qx = 0, 0559 oraz qx+1 = 0, 0602. Zakładając (UDD) obliczyć prawdopodobieństwo
warunkowe, że (x)-latek przeżyje 1,2 roku pod warunkiem, że dożyje x + 0, 5 roku.
Zadanie 9 Przyjmując założenie (UDD) wyznacz
0,5|0,3 qx+0,4 ,
gdy px = 0, 989, px+1 = 0, 986.
Zadanie 10 Niech px = 0, 989 oraz px+1 = 0, 987. Przyjmując założenie (UDD) oblicz
1.
0,5|0,8 qx
2.
0,7|0,6 qx
3.
0,6 px+0,7
Zadanie 11 Niech qx = 0, 088 oraz px+1 = 0, 903. Przyjmując założenie (UDD) oblicz
1,5 qx+0,2 .
Zadanie 12 Przyjmując hipotezę jednostajnej umieralności obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba
w wieku 85 lat umrze między 85,5 a 86,5 rokiem życia wiedząc, że q85 = 0, 14921 oraz q86 = 0, 16029.
◦
Funkcja intensywności wymierania µ, wskaźnik przyszłej długości życia ex (przeciętne dalsze
trwanie życia) oraz przeciętne całkowite dalsze trwanie życia ex
µx =
f (x)
F 0 (x)
(1 − s(x))0
−s(x)0
=
=
=
= (− ln s(x))0
s(x)
s(x)
s(x)
s(x)
x+t
−
t px = e
◦
ex = E(Tx ) =
Z∞
R
µy dy
x
t px dt
=
0
ex = E(Kx ) =
∞
X
ω−x
Z
t px dt
0
k+1 px
=
k=0
ω−x−1
X
k+1 px
k=0
Zadanie 13 Przyszły czas życia noworodka ma rozkład wykładniczy z parametrem 0,01. Obliczyć:
1. Prawdopodobieństwo śmierci nie później niż w 45 roku życia
2. P-two dożycia 80 lat a kolejno śmierci w ciągu roku
3. P-two śmierci między 45 a 80 rokiem życia
Zadanie 14 Znaleźć lt , jeśli l0 = 1000 i µ = at.
Zadanie 15 Funkcja przeżycia dana jest wzorem s(x) =
1.
17 p19
2.
15|13 q36
1
10
√
100 − x dla x ∈ [0, 100]. Oblicz
3. f (36)
4. µ50
5. E(X)
Zadanie 16 Funkcja intensywności wymierania dana jest wzorem µx+t =
1
85−t
+
3
.
105−t
Oblicz
1. P (Tx > 20)
2.
30 px
Zadanie 17 Wiedząc, że dla danej populacji z wiekiem granicznym 100 funkcja intensywności wy2
1
mierania dana jest wzorem µx = 100−x
− 240−x
dla x ∈ (0, 100). Oblicz prawdopodobieństwo, że 40
letnia osoba umrze między 55 a 74 rokiem życia.
Zadanie 18 W populacji z wiekiem granicznym 110 funkcja natężenia wymierania populacji dana
2
jest wzorem µx = 110−x
dla x > 0. Wyznaczyć przeciętne trwanie życia 50-letniej osoby z tej populacji.
1
Zadanie 19 W populacji A intensywność zgonów jest dana wzorem µA
z = 100−x dla x < 100, a w
n
populacji B wzorem µB
x = 100−x dla x < 100, gdzie n jest parametrem. Wiadomo ponadto, że ludzie
z populacji A mają przed sobą przeciętnie o 10% więcej życia, niż ludzie z B w tym samym wieku.
Oblicz n.
Zadanie 20 Funkcja µx = 0, 01x opisuje natężenie zgonów. Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba
obecnie w wieku 45 lat umrze między 55 a 75 rokiem życia.
√
Zadanie 21 Wiadomo, że przeciętna liczba dożywających wieku x lx = 121 − x dla x ∈ [0, 121].
Obliczyć prawdopodobieństwo, że 21-latek dożyje wieku 40 lat i umrze przed ukończeniem 57 roku
życia.
Zadanie 22 Wyznaczyć prawdopodobieństwo przeżycia przez osobę 55-letnią co najmniej 10 lat, jeśli
analogiczne prawdopodobieństwo dla osoby 25-letniej wynosi 0,8 oraz intensywność zgonów opisuje
funkcja µx = kx dla x > 0.
Zadanie 23 Intensywność zgonów opisuje funkcja µx+t = bex+t , gdzie b > 0. Dla jakiej wartości
parametru b prawdopodobieństwo tego, że 30 -latek przeżyje następnych 10 lat, po czym umrze w
ciągu kolejnych 5 lat, wynosi r, oraz prawdopodobieństwo 10 p30 = 5r.
x
Zadanie 24 Intensywność zgonów opisuje funkcja µx = 100
. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że
osoba w wieku 15 lat umrze między trzydziestym piątym a czterdziestym piątym rokiem życia.
Zadanie 25 Wyznacz prawdopodobieństwo przeżycia przez osobę (55) co najmniej 10 lat, jeżeli analogiczne prawdopodobieństwo (25) jest równe 0,8 oraz funkcja intensywności wymierania jest postaci
µx = kx dla x > 0.
Zadanie 26 Oczekiwane dalsze całkowite trwanie życia (x) wynosi 28,5. Znajdź prawdopodobieństwo
px jeśli wiadomo, że ex+1 = 27, 7.
Zadanie 27 (*) Funkcja natężenia wymierania pewnej populacji z wiekiem granicznym 120 dana
jest wzorem

 2 ,
dla x ∈ (0, 30]
µx = 90−x
 1 ,
dla x ∈ (30, 120].
120−x
Obliczyć 10 p20 , 10 p30 , 20 p20 . Wyznaczyć przeciętne dalsze trwanie życia 50-letniej osoby z tej populacji
populacji oraz przeciętne dalsze trwanie życia 20 letniej osoby z tej populacji.
Prawa wymierania
• Prawo de Moivre’a (istnieje wiek ω oraz rozkład dalszego trwania życia jest jednostajny).
Dla x ∈ [0, ω)
1
ω−x
µx =
,
wtedy s(x) =
ω−x
w
• Prawo Gompertza (natężenie zgonów jest wykładnicze)
µx = Bcx
−B
x −1)
wtedy s(x) = e ln c (c
gdzie B > 0, x > 0, c > 1
◦
◦
Zadanie 28 Przy założeniach de Moivre’a wyznacz wzory na t px , t qx , ex , e0 , ex , e0 .
Zadanie 29 Oblicz
◦
ω oraz ex = 37.
10 px
jeśli wiadomo, że (x) pochodzi z populacji de Moivre’a o wieku granicznym
Zadanie 30 W danej populacji śmiertelnością rządzi prawo de Moivre’a z wiekiem granicznym ω. O
wieku x wiadomo, że osoby w tym wieku umierają w ciągu doby dwa razy rzadziej niż osoby dwukrotnie
starsze. Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x dożyje wieku 2x.
Zadanie 31 Obliczyć p10 , p20 , p30 , p40 przyjmując, że rozkład trwania życia noworodka podlega prawu
Gompertza z parametrami B = 0, 00026155, c = 1, 07826.
Zadanie 32 Niech µ20 = 0, 0056044 oraz µ30 = 0, 0132678 i rozkład trwania życia noworodka podlega
prawu Gompertza. Obliczyć 10 p25 .
Hipotezy interpolacyjne
• Jednostajna umieralność w ciągu roku (UDD) - patrz zadania 6-12
s(x + t) = (1 − t) · s(x) + t · s(x + 1)
• Stała intensywność wymieralności (CFM) Dla każdego t ∈ (0, 1)
s(x + t) = s(x)1−t · s(x + 1)t
wtedy µx+t = µx = µ.
• Hipoteza Balducciego (B) - Prawdopodobieństwo tego, że (x) umrze przed końcem n-tego roku,
pod warunkiem, że przeżyje część t tego roku, jest proporcjonalne do pozostałej części roku tj.
1 − t. Dla t ∈ (0, 1)
1
1
1
= (1 − t) ·
+t·
s(x + t)
s(x)
s(x + 1)
wtedy
1−t qx+t
= (1 − t)qx .
Zadanie 33 Wyznacz wzory na t px , t qx zakładając
1. (CFM)
2. (B)
Zadanie 34 Rozwiąż zadania 7-12 zakładając zamiast (UDD) odpowiednio (CFM), następnie (B).
Zadanie 35 Przyjmując założenie, że natężenie wymierania jest przedziałami stałe, wyznaczyć 0,5|0,3 qx+0,4
jeśli dane są px = 0, 989 oraz px+1 = 0, 986.
Zadanie 36 Dane jest qx = 0, 088 oraz px+1 = 0, 903. Oblicz
rozkładzie zgonów w ciągu roku.
1,5 qx+0,2
przy założeniu o jednostajnym
Zadanie 37 Przyjmując założenie o stałej intensywności wymierania wyznaczyć
są px oraz px+1 .
0,7|0,6 qx
jeśli dane
Zadanie 38 Przyjmując założenie o stałej intensywności wymierania wyznaczyć
są qx oraz 2 px .
0,4|0,8 qx
jeśli dane
Zadanie 39 Mając dane px = 0, 909 oraz px+1 = 0, 904 obliczyć prawdopodobieństwo 0,6 px+0,7 stosując hipotezę Balducciego oraz założenie o stałej intensywności wymierania w ciągu roku.
Zadanie 40 Znajdź µ65,25 jeśli rozkład obciętego czasu życia jest dany przez TTŻ-PL97k przy założeniach
1. (UDD)
2. (CFM)
3. (B)
Zadanie 41 Wiedząc, że px = 0, 989, px+1 = 0, 987 obliczyć
ciego i porównać wyniki. Wskazać większy.
0,5|0,8 qx
przy założeniu (UDD) i Balduc◦
Zadanie 42 Zakładając, że natężenie śmiertelności jest stałe dla x ­ 60 oraz e60 = 25 obliczyć p73 .
◦
Zadanie 43 Zakładając, że intensywność śmiertelności jest stała dla x ­ 50 oraz e50 = 40, obliczyć
p60 .
Zadanie 44 Zakładając, że natężenie śmiertelności jest stałe dla x ­ 42 i e42 = 40 obliczyć
35 p52
Zadanie 45 Obliczyć qx jeśli wiadomo, że 0,3 qx obliczone przy założeniu (UDD) stanowi 0,9 wartości
tego prawdopodobieństwa obliczonego przy założeniu hipotezy Balducciego.
Zadanie 46 Zakładając (UDD) oblicz P (T (30) > 10, 25) wiedząc, że 10 p30 = 0.99 oraz q40 = 0, 0015.
Zadanie 47 10000 osób urodzonych 1 września 1939 roku spotkało się 1 stycznia 1997 roku. Ile z nich
stawi się najprawdopodobniej na umówione spotkanie 1 września 2007 roku, jeśli jedyną przyczyną
nieobecności może być śmierć? Zakładamy, że ich życia są niezależne oraz p57 = 0.9, 9 p58 = 0.4,
p67 = 0.85. Zakładamy (UDD).
Zadanie 48 Przyjąć (UDD) i obliczyć
10|1,5 q30
wiedząc, że l30 = 523, l40 = 436, l41 = 427, l42 = 417.
Zadanie 49 Wiedząc, że zachodzi (CFM) na podstawie TTŻ-PL97k znaleźć
Zadanie 50 Obliczyć
oraz
0,5 q56 , 2 p56,5
0,5 q56
oraz µ58,75
i 2| q56,5 zakładając, że prawo życia jest opisane przez TTŻ-PL97k
1. (UDD)
2. (CFM)
Zaobserwować niewielkie różnice wyników obliczonych przy różnych hipotezach.
Zadanie 51 Wiedząc µx+t = k dla t ∈ [0, 1] oraz, że 1 qx = 0, 6 1 qx obliczyć 3 qx+ 1
4
2
4
8
Zadanie 52 W populacji osób urodzonych 1 stycznia dla pewnego wieku x prawdopodobieństwo qx =
0, 6. Podaj, dla którego dnia roku (1 rok=365 dni) nastąpi zrównanie prawdopodobieństwa śmierci
t qx , t ∈ [0, 1) wyznaczonego przy hipotezie Balducciego z prawdopodobieństwem przeżycia t px wyznaczonym przy jednostajnym rozkładnie zgonów w x-tym roku.
◦
◦
Zadanie 53
• Wiedząc, że oczekiwane dalsze trwanie życia jest równe ex = 28, 5, ex+1 = 27, 7
wyznaczyć px przy założeniu (UDD).
◦
◦
• Znając px oraz ex+1 obliczyć ex przy założeniach (UDD) .
◦
◦
• Znając px oraz ex obliczyć ex+1 przy założeniach (UDD) .
Zadanie 54 Jaka jest oczekiwana liczba osób z populacji miliona trzydziestopięciolatków, które umrą
po ukończeniu 36 lat i 4 miesięcy życia przed ukończeniem 37 lat i 8 miesięcy? Przyjmujemy założenie
1
roku. Dane są również
Balducciego oraz, że jeden miesiąc to 12
q35 = 3 · 10−3 , q36 = 6 · 10−3 , q37 = 9 · 10−3 .
Podać najbliższą wartość.