Matematyka ubezpieczeń na życie

Elementy teorii przeżywalności
Zadanie 1.1 Zapisz
1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 80 lat
2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 30 lat
3. P-two, że noworodek dożyje wieku 50
4. P-two, że noworodek umrze między 20 a 50 rokiem życia
5. P-two, że noworodek umrze między 50 a 90 rokiem życia
6. P-two, że noworodek umrze między 20 a 50 rokiem życia pod warunkiem, że umrze między 10
a 50 rokiem życia
7. P-two, że noworodek umrze między 15 a 45 rokiem życia, o ile umrze przed 80-tką
8. P-two, że noworodek umrze między 10 a 20 rokiem życia pod warunkiem, że umrze między 15
a 25 rokiem życia
Zadanie 1.2 Przeczytaj
1.
F (50) − F (13)
F (60) − F (10)
2.
F (80) − F (20)
s(15)
3.
s(16) − s(26)
1 − s(20)
Zadanie 1.3 Zapisz symbolicznie
1. Prawdopodobieństwo, że 50-latek umrze w ciągu 5 lat
2. P-two, że 50-latek przeżyje co najmniej 10 lat
3. P-two, że 20-latek dożyje 80tki
4. P-two, że 30-latek nie dożyje 50tki
5. P-two, że 62-latek umrze w ciągu 40 lat
6. P-two, że 40-latek dożyje 90tki
7. P-two, że 20-latek umrze powyżej 50 roku życia
8. P-two, że 21-latek umrze przed 50tką
9. P-two, że noworodek dożyje wieku 56
10. P-two, że 53-latek dożyje co najmniej do 75 roku życia
11. P-two, że 53-latek umrze przed 75 rokiem życia
12. P-two, że 40-latek umrze przed 41 urodzinami
13. P-two, że 30-latek przeżyje rok
1
14. P-two, że noworodek umrze przed 40-tką
15. P-two, że 50-latek umrze w ciągu roku
16. P-two, że 4-latek dożyje 5-go roku życia
17. P-two, że 20-latek przeżyje 5 lat, ale umrze w ciągu następnych dwóch lat
18. P-two, że 50-latek przeżyje 10 lat, a następnie umrze w przeciągu 3 lat
19. P-two, że 30-latek przeżyje następnych 30 lat, ale nie przekroczy 80-tki
20. P-two, że 13-latek przeżyje 10 lat, ale umrze w ciągu roku
Zadanie 1.4 Zapisz na trzy sposoby (przy użyciu p, s, F )
1. P-two, że 60-latek przeżyje następnych 30 lat a następnie umrze w ciągu 3 lat
2. P-two, że 20-latek przeżyje 8 lat a następnie umrze w przeciągu 10 lat
3. P-two, że 16-latek przeżyje 60 lat a następnie umrze w ciągu roku
4. P-two, że 16-latek dożyje 60-tki a następnie umrze w ciągu roku
√
1
100 − x dla x ∈ [0, 100]. Oblicz
Zadanie 1.5 Funkcja przeżycia dana jest wzorem s(x) = 10
1. P-two, że noworodek umrze między 46 a 75 rokiem życia
2. P-two, że 20-latek nie dożyje 50-tki
3. P-two, że 46-latek nie przeżyje kolejnych pięciu lat
4. P-two, że 19-latek umrze przed 64 rokiem życia
5. P-two, że 46-latek dożyje wieku 75 lat
6. P-two, że 21-latek dożyje wieku 40 lat i umrze przed ukończeniem 57 roku życia.
Hipoteza jednostajnej umieralności w ciągu roku (UDD) (w książce Błaszczyszyna Rolskiego
(HU)). Zakładamy, że rozkład zgonów między całkowitymi liczbami lat jest równomierny. Zakładamy:
s(x + t) = (1 − t) · s(x) + t · s(x + 1)
gdzie t ∈ [0, 1) i x = 0, 1, 2....
Zadanie 1.6 Przy założeniu (UDD) wyznaczyć wzór na t qx oraz t px .
Zadanie 1.7 Zakładając (UDD) obliczyć prawdopodobieństwo, że siedemdziesięciolatek umrze między 70,5 a 71,5 rokiem życia, jeżeli q70 = 0, 04, q71 = 0, 05.
Zadanie 1.8 Niech qx = 0, 0559 oraz qx+1 = 0, 0602. Zakładając (UDD) obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe, że (x)-latek przeżyje 1,2 roku pod warunkiem, że dożyje x + 0, 5 roku.
Zadanie 1.9 Przyjmując założenie (UDD) wyznacz
0,5|0,3 qx+0,4 ,
gdy px = 0, 989, px+1 = 0, 986.
Zadanie 1.10 Niech px = 0, 989 oraz px+1 = 0, 987. Przyjmując założenie (UDD) oblicz
1.
0,5|0,8 qx
2
2.
0,7|0,6 qx
3.
0,6 px+0,7
Zadanie 1.11 Niech qx = 0, 088 oraz px+1 = 0, 903. Przyjmując założenie (UDD) oblicz
1,5 qx+0,2 .
Zadanie 1.12 Przyjmując hipotezę jednostajnej umieralności obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba
w wieku 85 lat umrze między 85,5 a 86,5 rokiem życia wiedząc, że q85 = 0, 14921 oraz q86 = 0, 16029.
◦
Funkcja intensywności wymierania µ, wskaźnik przyszłej długości życia ex (przeciętne dalsze
trwanie życia) oraz przeciętne całkowite dalsze trwanie życia ex
F 0 (x)
(1 − s(x))0
−s(x)0
f (x)
=
=
=
= (− ln s(x))0
µx =
s(x)
s(x)
s(x)
s(x)
x+t
−
t px
◦
=e
ex = E(Tx ) =
Z∞
R
µy dy
x
t px dt
=
∞
X
t px dt
0
0
ex = E(Kx ) =
ω−x
Z
k+1 px =
k=0
ω−x−1
X
k+1 px
k=0
Zadanie 1.13 Przyszły czas życia noworodka ma rozkład wykładniczy z parametrem 0,01. Obliczyć:
1. Prawdopodobieństwo śmierci nie później niż w 45 roku życia
2. P-two dożycia 80 lat a kolejno śmierci w ciągu roku
3. P-two śmierci między 45 a 80 rokiem życia
Zadanie 1.14 Znaleźć lt , jeśli l0 = 1000 i µ = at.
Zadanie 1.15 Funkcja przeżycia dana jest wzorem s(x) =
1.
17 p19
2.
15|13 q36
1
10
√
100 − x dla x ∈ [0, 100]. Oblicz
3. f (36)
4. µ50
5. E(X)
Zadanie 1.16 Funkcja intensywności wymierania dana jest wzorem µx+t =
1
85−t
+
3
.
105−t
Oblicz
1. P (Tx > 20)
2.
30 px
Zadanie 1.17 Wiedząc, że dla danej populacji z wiekiem granicznym 100 funkcja intensywności
2
1
wymierania dana jest wzorem µx = 100−x
− 240−x
dla x ∈ (0, 100). Oblicz prawdopodobieństwo, że 40
letnia osoba umrze między 55 a 74 rokiem życia.
3
Zadanie 1.18 W populacji z wiekiem granicznym 110 funkcja natężenia wymierania populacji dana
2
dla x > 0. Wyznaczyć przeciętne trwanie życia 50-letniej osoby z tej populacji.
jest wzorem µx = 110−x
1
Zadanie 1.19 W populacji A intensywność zgonów jest dana wzorem µA
z = 100−x dla x < 100, a w
n
populacji B wzorem µB
x = 100−x dla x < 100, gdzie n jest parametrem. Wiadomo ponadto, że ludzie
z populacji A mają przed sobą przeciętnie o 10% więcej życia, niż ludzie z B w tym samym wieku.
Oblicz n.
Zadanie 1.20 Funkcja µx = 0, 01x opisuje natężenie zgonów. Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba
obecnie w wieku 45 lat umrze między 55 a 75 rokiem życia.
√
Zadanie 1.21 Wiadomo, że przeciętna liczba dożywających wieku x lx = 121 − x dla x ∈ [0, 121].
Obliczyć prawdopodobieństwo, że 21-latek dożyje wieku 40 lat i umrze przed ukończeniem 57 roku
życia.
Zadanie 1.22 Wyznaczyć prawdopodobieństwo przeżycia przez osobę 55-letnią co najmniej 10 lat,
jeśli analogiczne prawdopodobieństwo dla osoby 25-letniej wynosi 0,8 oraz intensywność zgonów opisuje funkcja µx = kx dla x > 0.
Zadanie 1.23 Intensywność zgonów opisuje funkcja µx+t = bex+t , gdzie b > 0. Dla jakiej wartości
parametru b prawdopodobieństwo tego, że 30 -latek przeżyje następnych 10 lat, po czym umrze w ciągu
kolejnych 5 lat, wynosi r, oraz prawdopodobieństwo 10 p30 = 5r.
x
. Obliczyć prawdopodobieństwo tego,
Zadanie 1.24 Intensywność zgonów opisuje funkcja µx = 100
że osoba w wieku 15 lat umrze między trzydziestym piątym a czterdziestym piątym rokiem życia.
Zadanie 1.25 Wyznacz prawdopodobieństwo przeżycia przez osobę (55) co najmniej 10 lat, jeżeli analogiczne prawdopodobieństwo (25) jest równe 0,8 oraz funkcja intensywności wymierania jest
postaci µx = kx dla x > 0.
Zadanie 1.26 Oczekiwane dalsze całkowite trwanie życia (x) wynosi 28,5. Znajdź prawdopodobieństwo px jeśli wiadomo, że ex+1 = 27, 7.
Zadanie 1.27 (*) Funkcja natężenia wymierania pewnej populacji z wiekiem granicznym 120 dana
jest wzorem

 2 ,
dla x ∈ (0, 30]
µx = 90−x
 1 ,
dla x ∈ (30, 120].
120−x
Obliczyć 10 p20 , 10 p30 , 20 p20 . Wyznaczyć przeciętne dalsze trwanie życia 50-letniej osoby z tej populacji
populacji oraz przeciętne dalsze trwanie życia 20 letniej osoby z tej populacji.
Prawa wymierania
• Prawo de Moivre’a (istnieje wiek ω oraz rozkład dalszego trwania życia jest jednostajny).
Dla x ∈ [0, ω)
1
ω−x
µx =
,
wtedy s(x) =
ω−x
w
• Prawo Gompertza (natężenie zgonów jest wykładnicze)
µx = Bcx
−B
x −1)
wtedy s(x) = e ln c (c
gdzie B > 0, x > 0, c > 1
4
◦
◦
Zadanie 1.28 Przy założeniach de Moivre’a wyznacz wzory na t px , t qx , ex , e0 , ex , e0 .
Zadanie 1.29 Oblicz 10 px jeśli wiadomo, że (x) pochodzi z populacji de Moivre’a o wieku granicznym
◦
ω oraz ex = 37.
Zadanie 1.30 W danej populacji śmiertelnością rządzi prawo de Moivre’a z wiekiem granicznym
ω. O wieku x wiadomo, że osoby w tym wieku umierają w ciągu doby dwa razy rzadziej niż osoby
dwukrotnie starsze. Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x dożyje wieku 2x.
Zadanie 1.31 Obliczyć p10 , p20 , p30 , p40 przyjmując, że rozkład trwania życia noworodka podlega prawu Gompertza z parametrami B = 0, 00026155, c = 1, 07826.
Zadanie 1.32 Niech µ20 = 0, 0056044 oraz µ30 = 0, 0132678 i rozkład trwania życia noworodka
podlega prawu Gompertza. Obliczyć 10 p25 .
Hipotezy interpolacyjne
• Jednostajna umieralność w ciągu roku (UDD) - patrz zadania 6-12
s(x + t) = (1 − t) · s(x) + t · s(x + 1)
• Stała intensywność wymieralności (CFM) Dla każdego t ∈ (0, 1)
s(x + t) = s(x)1−t · s(x + 1)t
wtedy µx+t = µx = µ.
• Hipoteza Balducciego (B) - Prawdopodobieństwo tego, że (x) umrze przed końcem n-tego roku,
pod warunkiem, że przeżyje część t tego roku, jest proporcjonalne do pozostałej części roku tj.
1 − t. Dla t ∈ (0, 1)
1
1
1
= (1 − t) ·
+t·
s(x + t)
s(x)
s(x + 1)
Zadanie 1.33 Wyznacz wzory na t px , t qx zakładając
1. (CFM)
2. (B)
Zadanie 1.34 Rozwiąż zadania 7-12 zakładając zamiast (UDD) odpowiednio (CFM), następnie (B).
Zadanie 1.35 Przyjmując założenie, że natężenie wymierania jest przedziałami stałe, wyznaczyć
0,5|0,3 qx+0,4 jeśli dane są px = 0, 989 oraz px+1 = 0, 986.
Zadanie 1.36 Dane jest qx = 0, 088 oraz px+1 = 0, 903. Oblicz
nym rozkładzie zgonów w ciągu roku.
1,5 qx+0,2
przy założeniu o jednostaj-
Zadanie 1.37 Przyjmując założenie o stałej intensywności wymierania wyznaczyć
są px oraz px+1 .
0,7|0,6 qx
jeśli dane
Zadanie 1.38 Przyjmując założenie o stałej intensywności wymierania wyznaczyć
są qx oraz 2 px .
0,4|0,8 qx
jeśli dane
Zadanie 1.39 Mając dane px = 0, 909 oraz px+1 = 0, 904 obliczyć prawdopodobieństwo 0,6 px+0,7
stosując hipotezę Balducciego oraz założenie o stałej intensywności wymierania w ciągu roku.
5
Zadanie 1.40 Znajdź µ65,25 jeśli rozkład obciętego czasu życia jest dany przez TTŻ-PL97k przy
założeniach
1. (UDD)
2. (CFM)
3. (B)
Zadanie 1.41 Wiedząc, że px = 0, 989, px+1 = 0, 987 obliczyć
ducciego i porównać wyniki. Wskazać większy.
0,5|0,8 qx
przy założeniu (UDD) i Bal◦
Zadanie 1.42 Zakładając, że natężenie śmiertelności jest stałe dla x ­ 60 oraz e60 = 25 obliczyć
p73 .
◦
Zadanie 1.43 Zakładając, że intensywność śmiertelności jest stała dla x ­ 50 oraz e50 = 40, obliczyć p60 .
Zadanie 1.44 Zakładając, że natężenie śmiertelności jest stałe dla x ­ 42 i e42 = 40 obliczyć
35 p52
Zadanie 1.45 Obliczyć qx jeśli wiadomo, że 0,3 qx obliczone przy założeniu (UDD) stanowi 0,9 wartości tego prawdopodobieństwa obliczonego przy założeniu hipotezy Balducciego.
Zadanie 1.46 Zakładając (UDD) oblicz P (T (30) > 10, 25) wiedząc, że
0, 0015.
10 p30
= 0.99 oraz q40 =
Zadanie 1.47 10000 osób urodzonych 1 września 1939 roku spotkało się 1 stycznia 1997 roku. Ile z
nich stawi się najprawdopodobniej na umówione spotkanie 1 września 2007 roku, jeśli jedyną przyczyną nieobecności może być śmierć? Zakładamy, że ich życia są niezależne oraz p57 = 0.9, 9 p58 = 0.4,
p67 = 0.85. Zakładamy (UDD).
Zadanie 1.48 Przyjąć (UDD) i obliczyć
417.
10|1,5 q30
wiedząc, że l30 = 523, l40 = 436, l41 = 427, l42 =
Zadanie 1.49 Wiedząc, że zachodzi (CFM) na podstawie TTŻ-PL97k znaleźć
Zadanie 1.50 Obliczyć
PL97k oraz
0,5 q56 , 2 p56,5
i
2| q56,5
0,5 q56
oraz µ58,75
zakładając, że prawo życia jest opisane przez TTŻ-
1. (UDD)
2. (CFM)
Zaobserwować niewielkie różnice wyników obliczonych przy różnych hipotezach.
Zadanie 1.51 Wiedząc µx+t = k dla t ∈ [0, 1] oraz, że 1 qx = 0, 6 1 qx obliczyć 3 qx+ 1
4
2
4
8
Zadanie 1.52 W populacji osób urodzonych 1 stycznia dla pewnego wieku x prawdopodobieństwo
qx = 0, 6. Podaj, dla którego dnia roku (1 rok=365 dni) nastąpi zrównanie prawdopodobieństwa
śmierci t qx , t ∈ [0, 1) wyznaczonego przy hipotezie Balducciego z prawdopodobieństwem przeżycia t px
wyznaczonym przy jednostajnym rozkładnie zgonów w x-tym roku.
◦
◦
Zadanie 1.53
• Wiedząc, że oczekiwane dalsze trwanie życia jest równe ex = 28, 5, ex+1 = 27, 7
wyznaczyć px przy założeniu (UDD).
◦
◦
• Znając px oraz ex+1 obliczyć ex przy założeniach (UDD) .
6
◦
◦
• Znając px oraz ex obliczyć ex+1 przy założeniach (UDD) .
Zadanie 1.54 Jaka jest oczekiwana liczba osób z populacji miliona trzydziestopięciolatków, które
umrą po ukończeniu 36 lat i 4 miesięcy życia przed ukończeniem 37 lat i 8 miesięcy? Przyjmujemy
1
roku. Dane są również
założenie Balducciego oraz, że jeden miesiąc to 12
q35 = 3 · 10−3 , q36 = 6 · 10−3 , q37 = 9 · 10−3 .
Podać najbliższą wartość.
Zadanie 1.55 Wiadomo, że dla pewnego x prawdopodobieństwo 0,6 qx obliczone przy założeniu hipotezy Balducciego jest równe 0,85. Obliczyć 0,6 px przy założeniu o stałej intensywności wymierania w
ciągu roku.
Zadanie 1.56 Oblicz prawdopodobieństwo
mo, że qx = 0, 0559 oraz 2 qx = 0, 0602.
0,3|0,8 qx
przy założeniu hipotezy Balducciego, jeśli wiado-
Zadanie 1.57 Obliczyć prawdopodobieństwo px , wiedząc, że prawdopodobieństwo 0,3 qx obliczone przy
założeniu hipotezy Balducciego jest o 14% większe niż prawdopodobieństwo 0,3 qx obliczone przy założeniu UDD.
Zadanie 1.58 Wiadomo, że dla pewnego wieku x prawdopodobieństwo 0,7 px obliczone przy założeniu
UDD jest równe prawdopodobieństwu 0,3 px obliczonemu przy założeniu hipotezy Balduciego. Oblicz
prawdopodobieństwo 0,5 px przy założeniu o stałym wymieraniu w ciągu roku.
Zadanie 1.59 W populacji z nieprzekraczalnym wiekiem 100 funkcja natężenia wymierania jest dana
◦
1
. Obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba 60-letnia dożyje wieku 60 + e60 .
wzorem µ = 100+x
7
Ubezpieczenia
Zadanie 2.1 Zapisz jakiego rodzaju ubezpieczenia dotyczy podane oznaczenie.
1. A40
2. Ax
3. A20
4. Ax
1
5. A40:10|
1
6. A14:25|
1
7. Ax:n|
8. A140:10|
9. A114:25|
10. A1x:n|
1
11. A40:10|
1
12. A12:15|
1
13. Ax:n|
14. A12:15|
15. A55:20|
16. Ax:n|
17. A12:15|
18. A55:20|
19. Ax:n|
Zadanie 2.2 Zapisz odpowiednie oznaczenie
1. jednorazowa składka netto w bezterminowym ubezpieczeniu sześćdziesięciolatka płatnym 1 na
moment śmierci
2. JSN w bezterminowej polisie dla (x)-latka płatnej 1 na koniec roku śmierci
3. jednorazowa składka netto w dwudziestoletnim ubezpieczeniu na życie czterdziestolatka ze świadczeniem płatnym 1 na moment śmierci
4. jednorazową składkę netto w piętnastoletnim ubezpieczeniu na życie (55)-latka ze świadczeniem
płatnym 1 na koniec roku śmierci
5. jednorazowa składka netto w piętnastoletnim ubezpieczeniu na życie i dożycie płatnym w momencie śmierci z sumą ubezpieczenia 1 dla osoby w wieku 45 lat
8
6. jednorazowa składka netto dla ubezpieczenia pięćdziesięciolatka, któremu wystawiono dziesięcioletnią polisę na życie i dożycie gwarantującą wypłatę 1 w chwili śmierci lub dożycia 60 lat
Ax =
Z∞
t
v · fTx dt =
0
Z∞
v t · t px · µx+t dt
0
1
Ax:n| =
Zn
v t · t px · µx+t dt
0
1
Ax:n|
= v n n px
Ax:n| =
Zn
1
1
v t · t px · µx+t dt + v n n px = Ax:n| + Ax:n|
0
Ax =
∞
X
v k+1 · k px · qx+k
k=0
A1x:n|
=
n−1
X
v k+1 · k px · qx+k
k=0
Ax:n| =
n−1
X
1
v k+1 · k px · qx+k + v n n px = A1x:n| + Ax:n|
k=0
Zadanie 2.3 Obliczyć jednorazową składkę netto w bezterminowym ubezpieczeniu płatnym na moment śmierci, jeśli wiadomo, że ubezpieczony (x)-latek pochodził z populacji wykładniczej z parametrem µ = 0, 01. Wykonać obliczenia dla i = 5%.
Zadanie 2.4 Obliczyć jednorazową składkę netto w bezterminowym ubezpieczeniu na życie (x)-latka
płatnym w momencie śmierci z sumą ubezpieczenia 2000. Funkcja natężenia zgonów jest w danej
populacji stała i wynosi µ = 0, 06. Natężenie oprocentowania δ = 0, 05.
Zadanie 2.5 Wyznaczyć JSN w bezterminowym ubezpieczeniu na życie x-latka ze świadczeniem 10
płatnym w chwili śmierci. Funkcja natężenia zgonów jest w danej populacji stała i wynosi µ = 0, 04.
Natężenie oprocentowania δ = 0, 06.
Zadanie 2.6 Obliczyć JSN ubezpieczenia (x)-latka płaconego 5000 w momencie śmierci jeżeli wiadomo, że natężenie oprocentowania δ = 0, 1, zaś gęstość rozkładu zmiennej losowej Tx dana jest
wzorem


 t ,
dla 0 ¬ t ¬ 100
g(t) = 500

0,
dla t > 100.
Zadanie 2.7 Na osobę w wieku x wystawiono bezterminową polisę dającą wypłatę 480 w momencie
śmierci. Dalsze trwanie życia x-latka opisuje funkcja gęstości:


 t + 10 ,
dla 0 ¬ t ¬ 100
f (t) =  6000
0,
dla t > 100.
Wyznacz JSN przy natężeniu oprocentowania δ = 0, 2.
Zadanie 2.8 Mając dane z tablic d40 = 421, l40 = 94012, d41 = 460, d42 = 500 obliczyć A140:3| przy
1. i = 4%,
9
2. i = 12%.
Zadanie 2.9 Mając dane (z TTŻ-PL97m) l44 = 92087, l40 = 94012 oraz wiedząc, że A
1
= 0, 8
40:4|
obliczyć obowiązującą stopę procentową.
Zadanie 2.10 Obliczyć jednorazową składkę netto w dwudziestoletnim ubezpieczeniu na życie czterdziestolatka z populacji de’Moivere’a z wiekiem granicznym ω = 100 ze świadczeniem 1500 płatnym
na koniec roku śmierci. Stopa procentowa i = 5%.
Zadanie 2.11 Obliczyć jednorazową składkę netto w piętnastoletnim ubezpieczeniu na życie (55)latka z populacji de’Moivere’a z wiekiem granicznym ω = 120 ze świadczeniem 1500 płatnym na
koniec roku śmierci. Stopa procentowa i = 5%.
Zadanie 2.12 Zakładając prawo de Moivere’a z wiekiem granicznym ω = 100. Obliczyć JSN w
dwudziestopięcioletnim ubezpieczeniu na życie płatnym w momencie śmierci z sumą ubezpieczenia 1
dla w wieku trzydziestu pięciu lat. Natężenie oprocentowania δ = 0, 06.
Zadanie 2.13 Rozważmy polisę 25-latka, z której wypłaca się świadczenie na moment śmierci. Do
wieku 50 lat suma ubezpieczenia jest równa 10000, gdy śmierć nastąpi między 50 a 67 rokiem życia
to świadczenie jest równe 5000, natomiast po 67 roku życia wypłacana jest kwota 3000. Obliczyć
JSN za tę polisę przyjmując, że ubezpieczony pochodzi z populacji de Moivre’a z wiekiem granicznym
ω = 100, zaś natężenie oprocentowania δ = 0, 02.
Zadanie 2.14 W populacji A funkcja natężenia wymierania jest stała i wynosi µ > 0. Dla (x)-latka
z populacji A JSN w bezterminowym ubezpieczeniu na życie wypłacającym 1000 w momencie śmierci
jest równa 429. Podaj JSN dla analogicznego ubezpieczenia dla (x)-latka w populacji B, w której
intensywność wymierania jest dwukrotnie wyższa przy założeniu, że natężenie oprocentowania jest o
połowę niższe.
Zadanie 2.15 (*) Bezterminowe ubezpieczenie na życie daje wypłatę 1 w momencie śmierci. Odchylenie standardowe wartości obecnej tej wypłaty jest równe JSN w tym ubezpieczeniu. Oblicz JSN,
jeśli wiadomo, że długość życia rozważanej populacji ma rozkład wykładniczy.
Zadanie 2.16 Obliczyć A30:10| przy i = 4%, gdy przyszły czas życia jest oparty na TTŻ-PL97m.
Zadanie 2.17 Zakładając prawo de’Moivere’a z wiekiem granicznym ω = 100 oblicz jednorazową
składkę netto w piętnastoletnim ubezpieczeniu na życie i dożycie płatnym w momencie śmierci z
sumą ubezpieczenia 1 dla osoby w wieku 45 lat. Natężenie oprocentowania δ = 0, 05.
Zadanie 2.18 Na pięćdziesięciolatka wystawiono dziesięcioletnią polisę na życie i dożycie gwarantującą wypłatę 10000zł w chwili śmierci lub dożycia 60 lat. Wyznacz jednorazową składkę netto dla
ubezpieczenia jeśli wiadomo, że ubezpieczony pochodzi z populacji de’Moivere’a z wiekiem granicznym
ω = 110 lat, zaś natężenie oprocentowania wynosi 0,05.
Zadanie 2.19 W 25-letnim ubezpieczeniu na życie i dożycie dla 45-latka z populacji de Moivre’az
wiekiem granicznym 105 lat świadczenie płatne jest na moment śmierci lub dożycia wieku 70 lat.
Suma ubezpieczenia jest równa 15000 w przypadku śmierci oraz 24000 w przypadku dożycia wieku
70 lat. Napisać wzór na wartość obecną tego świadczenia i obliczyć JSN za tę polisę przyjmując, że
natężenie oprocentowania δ = 0, 03.
10
Zadanie 2.20 Rozważmy dwudziestoletnie ubezpieczenie na życie i dożycie dla (x)-latka z populacji wykładniczej z parametrem µ = 0, 07. Świadczenie śmiertelne płatne jest na moment śmierci.
Jeśli śmierć nastąpi w ciągu pierwszych dziesięciu lat to suma ubezpieczenia jest równa 20000zł. Jeśli śmierć nastąpi w ciągu następnych 10 lat, to świadczenie wzrośnie do 25000zł, natomiast jeżeli
ubezpieczony dożyje wieku x + 20, to wówczas suma ubezpieczenia wynosi 30000zł. Natężenie oprocentowania δ = 0, 03. Napisz wzrór na wartość obecną tego świadczenia i oblicz JSN za tę polisę.
Zadanie 2.21 Osoba pięćdziesięcioletnia z populacji de’Moivere’a z ω = 100 zakupiła bezterminowe świadczenie na życie płatne w momencie śmierci. Jeśli ubezpieczony umrze przed ukończeniem
sześćdziesiątego roku życia, to suma ubezpieczenia jest równa 10000 − 10t2 , gdzie t jest czasem jaki
upłynął od momentu podpisania umowy. Jeśli umrze później, to suma ubezpieczenia jest równa 9000.
Napisać wzór na wartość obecną świadczenia i obliczyć JSN przyjmując δ = 0, 095.
Zadanie 2.22 Zapisz jakiego rodzaju ubezpieczenia dotyczy podane oznaczenie.
1.
m| Ax
2.
m| Ax
3.
m|n Ax
4.
m|n Ax
5. (I A)x
6. (IA)x
7. (IA)1x:n|
8. (I A)1x:n|
9. (IA)x
10. (IA)1x:n|
11. (DA)1x:n|
12. (D A)1x:n|
13. (DA)1x:n|
m|n Ax =
m+n−1
X
v k+1 · k px · qx+k
k=m
Z∞
(I A)x =
t · v t · t px · µx+t dt
0
(I A)x =
Z∞
[t + 1] · v t · t px · µx+t dt
0
(IA)x =
∞
X
(k + 1)v k+1 · k px · qx+k
k=0
11
(I
A)1x:n|
Zn
=
t · v t · t px · µx+t dt
0
n−1
X
(k + 1)v k+1 · k px · qx+k
(IA)1x:n| =
k=0
(D A)x =
Z∞
(n − [t]) · v t · t px · µx+t dt
0
(DA)1x:n| =
n−1
X
(n − k)v k+1 · k px · qx+k
k=0
Zadanie 2.23 Wiadomo, że A1x:20| = 0, 3. Wyznaczyć JSN (DA)1x:20| jeśli (IA)1x:20| = 0, 8(DA)1x:20| .
Zadanie 2.24 Mając dane (DA)1x:10| = 1, 2362 ze świadczeniem płatnym na koniec roku śmierci oraz
A1x:10| = 0, 221, v = 0, 95, qx = 0, 0241, qx+1 = 0, 0504, 10 qx = 0, 2946 wyznaczyć (DA)1x+1:10| .
Zadanie 2.25 Dla ubezpieczenia dziesięcioletniego kredytu zawarto dziesięcioletnie ubezpieczenie na
życie. Wyznacz JSN, jeśli świadczenie jest płatne na moment śmierci, suma ubezpieczenia maleje
1
jednostajnie wraz z upływem czasu od 1000 do 0 oraz δ = 0, 04, µx+1 = 50
dla 0 < t ¬ 10.
Zadanie 2.26 Na (x)-latka wystawiono polisę, która po 15 latach odroczenia daje trzydziestoletnie
ubezpieczenie na życie ze świadczeniem 100 płatnym na koniec roku śmierci. Wyznacz JSN za tę
polisę, jeżeli µx+t = 0, 06 dla t > 0 oraz natężenie oprocentowania wynosi 0,09.
Zadanie 2.27 W 10 letnim ubezpieczeniu na życie (x) ze świadczeniem płatnym na moment śmierci
suma ubezpieczenia rośnie jednostajnie wraz z upływem czasu od 1000zł do 5000zł. Wyznaczyć JSN,
jeżeli wiadomo, że funkcja natężenia zgonów w danej populacji jest stała i wynosi µ = 0, 04, zaś
δ = 0, 06.
Zadanie 2.28 Osoba (40)-letnia z populacji de Moivere’a z wiekiem ω = 120 zakupiła bezterminowe
ubezpieczenie na życie. Suma ubezpieczenia płatna na moment śmierci jest równa 100(3 + t), gdzie t
jest czasem jaki upłynął od podpisania na nią umowy. Obliczyć JSN jeśli δ = 0, 05.
Zadanie 2.29 W bezterminowym ubezpieczeniu na życie 40-latka z populacji de Moivre’a z wiekiem
granicznym 115 lat świadczenie śmiertelne płatne na koniec roku śmierci jest równe 10000 w ciągu
pierwszych 25 lat i rośnie o 5000 w każdą 25-tą rocznicę podpisania umowy. Napisać wzór na na wartość obecną tego świadczenia i obliczyć JSN za tę polisę, jeśli wiadomo, że natężenie oprocentowania
δ = 0, 05
i
Ax = Ax
δ
i
1
(U DD)
Ax:n| = A1x:n|
δ
i
(U DD)
(IA)1x:n| = (IA)1x:n|
δ
Rekurencja
Ax = vqx + vpx · Ax+1
(U DD)
Rekurencja
(IA)x = vqx + vpx (Ax+1 + (IA)x+1 )
12
Funkcje komutacyjne Dx = v x lx ,
Cx = v x+1 dx ,
Mx =
w−x−1
P
Cx+k .
k=0
Ax =
Mx
Dx
Mx+m
Dx
Dx+n
1
=
Ax:n|
Dx
Mx − Mx+n
A1x:n| =
Dx
Mx − Mx+n + Dx+n
Ax:n| =
Dx
m| Ax
=
Zadanie 2.30 Obliczyć JSN dla 15-letniego ubezpieczenia (45)-latka na życie i dożycie wypłacającego
1 w chwili śmierci lub dożycia 60 lat mając dane v = 0, 9, D45 = 15664, 31, M45 = 5937, 8375,
M60 = 3948, 3771, 15 p45 = 0, 75. Zakładamy (UDD)
Zadanie 2.31 Rozwiąż Zadanie 2.16 używając funkcji komutacyjnych.
Zadanie 2.32 Wypłata 10000zł na koniec 20 roku, gdy (x)-latek żyje. Zwrot JSN na koniec roku
śmierci w wysokości π jeśli umarł przed upływem tego czasu. Wyrazić π przez funkcje komutacyjne.
Zadanie 2.33 W dwudziestoletnim ubezpieczeniu na życie (x)-latka świadczenie jest płatne na moment śmierci. Suma ubezpieczenia rośnie jednostajnie z upływem czasu od 1000 do 7000. Wyznaczyć
JSN jeśli wiadomo, że natężenie zgonów w danej populacji jest stałe i wynosi µ = 0, 04 a natężenie
oprocentowania δ = 0, 06.
Zadanie 2.34 Zapisać za pomocą funkcji komutacyjnych JSN dla polisy dla 40-latka, z której wypłaca się 2C na koniec roku śmierci do wieku 65 lat, natomiast C, gdy śmierć nastąpiła po 65 roku
życia.
Zadanie 2.35 Oblicz JSN za bezterminowe ubezpieczenie na życie (41)-latka gwarantujące wypłatę
1 na koniec roku śmierci, jeśli wiadomo, że analogiczna składka dla osoby rok młodszej jest o 3%
tańsza, i = 4%. Ponadto dane są wartości funkcji komutacyjnych D40 = 19528, D41 = 18744.
Zadanie 2.36 Obliczyć JSN dla 15-letniego ubezpieczenia 45-latka na życie i dożycie wypłacającego
1 w chwili śmierci lub dożycia 60 lat, jeśli dane są v = 0, 9, 15 p45 = 0, 79, D45 = 15664, 31, M45 =
5937, 8375, M60 = 3948, 3771. Zakładamy UDD.
Zadanie 2.37 Wyznaczyć JSN w bezterminowym ubezpieczeniu 25 latka ze świadczeniem 10000 płatnym na koniec roku śmierci mając dane (IA)24 = 0, 6461, (IA)25 = 0, 6818, q24 = 0, 0018 oraz
δ = 0, 9.
Zadanie 2.38 Wyznaczyć A77 mając dane A76 = 0, 8, D76 = 400, D77 = 360 oraz i = 3%.
◦
Zadanie 2.39 W populacji de Moivr’a z wiekiem granicznym ω mamy e32 = 34. Obliczyć A3 2 przyjmując, że i = 2%.
Zadanie 2.40 Przeczytaj zadanie 2.20. Oblicz roczną składkę netto za opisaną w nim polisę, płaconą
w stałej wysokości w formie renty dyskretnej z góry przez cały okres ważności polisy. Oblicz rezerwę
składek netto po 10 latach, przy założeniu, że ubezpieczony żyje.
13
3
Renty
Zadanie 3.1 Napisz czym są poniższe oznaczenia
1. aT (x)|
2. ax
3. a20
4. aT (x)∧n|
5. ax:n|
6. a40:5|
7.
m| ax
8.
15| a20
ax =
Z∞
v t t px dt
0
1 − Ax
δ
ax =
Zn
ax:n| =
v t t px dt
0
1 − Ax:n|
ax:n| =
δ
m| ax = ax − ax:n|
m| ax
=
Ax:m| − Ax
δ
m| ax = v · m px · ax+m
m
Zadanie 3.2 Oblicz JSN renty dożywotniej ciągłej dla dwudziestolatka z populacji de Moivre’a z
ω = 110 i δ = 0, 03.
Zadanie 3.3 Oblicz JSN renty dożywotniej ciągłej dla (40) z populacji z rozkładem wykładniczym
dla µ = 0, 08 i δ = 0, 04.
Zadanie 3.4 Znając JSN w bezterminowym ubezpieczeniu płatnym 1 w chwili śmierci dla 60 latka
oraz JSN dożywotniej renty ciągłej dla tej osoby wyznaczyć i.
Zadanie 3.5 Znając JSN w bezterminowym ubezpieczeniu płatnym 1 na koniec roku śmierci dla
(50) obliczyć JSN dożywotniej renty ciągłej dla tej osoby. Dane jest natężenie oprocentowania δ.
Zakładamy UDD.
Zadanie 3.6 Wyznacz JSN w rencie ciągłej piętnastoletniej wypłacającej z intensywnością 1000 na
rok dla 45-latka z populacji de Moivre’a z wiekiem granicznym ω = 105, δ = 0, 04.
Zadanie 3.7 Oblicz JSN w dwudziestoletniej rencie ciągłej dla (50) znając D70 , D50 oraz A150:20| .
Zakładamy UDD, i = 4%.
14
Zadanie 3.8 Rozważmy dożywotnią rentę ciągłą dla 45-latka z populacji de Moivre’a z wiekiem
granicznym 90 lat, odroczoną o 20 lat płatną z intensywnością 15000 na rok. Napisz wzór na wartość
obecną renty i obliczyć JSN za tę polisę, przyjmując, że natężenie oprocentowania δ = 0, 03.
Zadanie 3.9 JSN na dożywotnią rentę ciągłą dla (x)-latka odroczoną o 15 lat jest o 45% niższa od
JSN na dożywotnią rentę ciągłą dla osoby w wieku x + 15 z tej samej populacji. Obliczyć 15 px jeśli
składki kalkulowano przy technicznej stopie procentowej i = 4%.
Zadanie 3.10 Wyznaczyć JSN dla dożywotniej renty ciągłej dla (26) odroczonej na 20 lat płacącej
z intensywnością 10000zł na rok, i = 4%, D26 = 35077, D45 = 15664, D46 = 14957, M46 = 5938.
Zakładamy UDD.
Zadanie 3.11 Wyznaczyć JSN dla dożywotniej renty ciągłej dla (26) odroczonej na 20 lat płacącej
z intensywnością 10000zł na rok, i = 4%, D26 = 35077, D45 = 15664, D46 = 14957, M45 = 5938.
Zakładamy UDD.
Zadanie 3.12 Napisz co czym są poniższe oznaczenia
1. äK(x)+1|
2. äx
3. ä20
4. aK(x)|
5. äK(x)+1∧n|
6. äx:n|
7. ä40:20|
8. ax:n|
9. a40:5|
10.
m| äx
11.
15| ä20
äx =
∞
X
v k k px
k=0
1 − Ax
d
ax = äx − 1
äx =
äx:n| =
n−1
X
v k k px
k=0
äx:n| =
ax:n| =
1 − Ax:n|
d
n
X
v k k px
k=1
m| ax
= ax − ax:n|
15
m| äx
=
Ax:m| − Ax
d
m| äx = v · m px · äx+m
m
äx = 1 + vpx äx+1
Nx
Dx
Nx+1
ax =
Dx
Nx − Nx+n
äx:n| =
Dx
Nx+1 − Nx+n+1
ax:n| =
Dx
äx =
Zadanie 3.13 Wyznaczyć JSN dla dożywotniej renty dla 52-latka płacącej 10000zł na początku każdego roku życia. Stopa procentowa i = 4%. Ponadto dane są: D52 = 15664, D53 = 14957, M53 = 5938.
Zadanie 3.14 Wyznaczyć JSN dla 5-letniej renty na życie dla (65) płacącej 1000 na koniec każdego
roku. Mamy dane D64 = 5484, D65 = 5108, D66 = 4745, D67 = 4397, D68 = 4062, D69 = 3742,
D70 = 3436.
Zadanie 3.15 Wyznaczyć JSN dla pięcioletniej renty z góry dla osoby w wieku 50 lat płacącej 1 na
początku roku. Dane i = 4%, l50 = 87731, l51 = 86793, l52 = 85791, l53 = 84722, l54 = 83586.
Zadanie 3.16 Osobie (35) wystawiono polisę na dożywotnią rentę odroczoną na 25 lat płatną w
wysokości 1 na początek roku. Wyznacz JSN jeśli wiadomo, że A135:25| = 0, 1135, ä35 = 9, 78, 25 p35 =
0, 74, i = 0, 1.
Zadanie 3.17 Wyznaczyć JSN dla dożywotniej renty dla (46) płacącej 20000zł na początku każdego
roku życia. Stopa procentowa i = 4%. Ponadto dane są: D45 = 11161, D46 = 10598, M45 = 4976.
Zadanie 3.18 Korzystając z tablic funkcji komutacyjnych obliczyć A20 i ä20 dla i = 4%.
Zadanie 3.19 Obliczyć a40 , a40:20| oraz
i = 4%.
20| ä40
korzystając z funkcji komutacyjnych oraz wiedząc, że
Zadanie 3.20 Obliczyć JSN dla następującej renty (30). Jeśli żyje pod koniec pierwszego roku, to
wyłata wynosi 1000. Jeśli żyje pod koniec drugiego roku wypłata wynosi 3000. Jeśli żyje pod koniec
trzeciego roku, to wypłat wynosi 6000. Obliczenia dokonaj dla TTŻ-PL97m oraz 4%.
Zadanie 3.21 Osoba urodzona 2 lipca w wieku x+ 21 rozpoczyna 20 letnią rentę życiową, wypłacającą
10000zł każdego 2 stycznia (od zaraz). Podaj JSN wiedząc, że jeśli äx:20| = 7, 8149, 20 qx = 0, 907,
qx = 0, 0505, i = 0, 05 oraz śmiertelność w ciągu każdego roku ma rozkład jednostajny.
Zadanie 3.22 (*) Osoba urodzona 1 lipca zawarłą 1 października w wieku x + 14 lat ubezpieczenie
rentowe na 3 wypłaty po 10000zł płatne w kolejne 3 daty 1 stycznia. Podaj JSN za to ubezpieczenie,
jeśli qx = qx+1 = 0, 12, qx+2 = 0, 16, v = 0, 95 oraz śmiertelność w ciągu każdego roku ma rozkład
zgodny z hipotezą Balducciego.
Zadanie 3.23 JSN na dożywotnią rentę z góry dla (x+15) stanowi 2,5 raza JSN dla bezterminowej
renty dla (x) odroczonej na 15 lat i płacącej 1 na początku każdego roku. Oblicz 15 px wiedząc, że
i = 5%.
16
Zadanie 3.24 Dane są następujące wartości dla i = 0, 03
x
äx
72
8,06
73
7,73
74
7,43
75
7,15
Obliczyć p73 .
t rata t+1 px
0
2
0,8
Wyznacz
Zadanie 3.25 Dana jest 3 letnia renta dyskretna z góry dla (x) taka, że
1
3
0,75
2
4
0,5
prawdopodobieństwo, że wartość obecna tych płatności przekroczy 4. Wiemy, że i = 0, 1.
Zadanie 3.26 Dla 4 letniej renty na życie dla (60) płacącej 1 na koniec każdego roku życia wyznacz
x
60
61
62
63
64
65
JSN. Mamy dane i = 4% oraz
lx 75045 73295 71452 69517 67491 65373.
Zadanie 3.27 Napisać wzór na wartość obecną 20-letniej renty z dołu oraz JSN dla wypłat w/g
t
rata
1, 2, 3
10000
tabeli
4, 5, 6
12000
7, 8, ...20 15000
Zadanie 3.28 Zakładając prawo de Moivre’a z ω = 4, obliczyć JSN następującego ubezpieczenia
życiowo- rentowego: jeśli ubezpieczony noworodek umrze przed upływem 2 lat, to wypłata 10 jest
płatna na koniec roku śmierci. Po upływie 2 lat jest wypłacana renta w wysokości 1 na początku
każdego roku życia. Przeprowadzić obliczenia dla δ = 0, 2.
Zadanie 3.29 Obliczyć 20| a45 , jeśli wiadomo, że A145:20| = 0, 1365, ä45 = 15, 144,
i = 4%. Zakładamy UDD.
17
20 p45
= 0, 69 oraz
4
Składki i Rezerwy
Zadanie 4.1 Wiedząc, że
P =
wartość oczekiwane wartości obecnej gwarantowanego świadczenia
wartość oczekiwana wartości obecnej wpłat
napisz czym są poniższe oznaczenia oraz podaj wzór na ich obliczanie.
1. Px
1
2. Px:n|
3. Px:n|1
4. Px:n|
5. k Px
6. P (Ax )
7. P (Ax )
8. P (Ax:n| )
9. P (Ax:n| )
10. P (Ax )
11. n P (Ax )
12. r Px:n|
13. r P (Ax:n| )
Zadanie 4.2 Znając wartość Ax oraz i obliczyć P (Ax ).
Zadanie 4.3 Znając wartość Ax oraz i obliczyć P (Ax ). Zakładamy UDD.
Zadanie 4.4 Znając wartości Ax oraz i obliczyć Px .
1
Zadanie 4.5 Znając wartości A110:20| , A10:20|
oraz i obliczyć P10:20| .
Zadanie 4.6 Polisa bezterminowa dla 40-latka z populacji wykładniczej z µ = 0, 04 gwartantuje
wypłatę 1 na koniec roku śmierci. Składki pobierane są na początku każdego roku. Oblicz P40 jeśli
wiadomo, że δ = 0.05.
Zadanie 4.7 Polisa bezterminowa dla 30-latka z populacji de Moivre’a z ω = 110 gwartantuje wypłatę 1 na koniec roku śmierci. Składki pobierane są na początku każdego roku. Oblicz P30 jeśli wiadomo,
że δ = 0.05.
Zadanie 4.8 (20)-latek z populacji o stałym µ = 0, 1 kupuje polisę na dożycie, z której ubezpieczenie
wypłaci 1 w wieku 50. Ubezpieczony płaci składki w sposób ciągły przez cały okres trwania polisy.
Oblicz intensywność tych składek wiedząc, że δ = 0.4.
Zadanie 4.9 (20)-latek z populacji o stałym µ = 0, 1 kupuje polisę na dożycie, z której ubezpieczenie
wypłaci 1 w wieku 50. Ubezpieczony płaci składki w formie renty dyskretnej z góry przez cały okres
trwania polisy. Oblicz składkę netto wiedząc, że δ = 0.4.
18
Zadanie 4.10 Na (40)-latka z populacji de’Moivre’a z ω = 90 wystawiono polisę, która jeśli śmierć
◦
nastąpi w wieku 40 + t wypłaca 1000 · e40+t . Podaj roczną intensywność składki w tym ubezpieczeniu.
Zadanie 4.11 W pełni ciągłym modelu składki netto przyjęto stałe natężenie zgonów µx = µ oraz
daną sumę µ + δ = 0, 1. Obliczyć składkę P (Ax:10| ) .
tV
(Ax ) = Ax+t − P (Ax ) · ax+t
tV
1
= Ax+t − Px · äx+t
1
1
t V Ax:n| = Ax+t:n−t| − P Ax:n| · ax+t:n−t|
t Vx:n|
= A1x+t:n−t| − Px:n| · äx+t:n−t|
Zadanie 4.12 Wykupiono polisę na całe życie ze składką roczną płatną na początku każdego roku
dopóki ubezpieczony żyje wynoszącą 100zł. Na jaką sumę ubezpieczewnia została wypisana polisa jeśli
i = 4% oraz przyjęto śmiertelność w/g TTŻ-PL97m? Obliczyć rezerwę netto po pierwszym roku.
Przyjąć x = 30.
Zadanie 4.13 Mając dane i = 5% , äx+k = 2, 8, k V (Ax ) = 0, 52. Obliczyć P (Ax ). Zakładamy UDD.
Zadanie 4.14 W pełni dyskretnym modelu ubezpieczenia na życie dla (x) mamy dane i = 5% ,
äx+k = 2, 8, k Vx = 0, 52. Obliczyć Px .
Zadanie 4.15 Mając dane i = 4% , äx = 1, 7, 2 px = 0, 92, A1x:2| = 0.08 obliczyć 2 V (Ax ). Zakładamy
UDD.
Zadanie 4.16 Wyznaczyć JSN na 20-letnie ubezpieczenie na życie i dożycie dla (45) jeśli wiadomo,
że A55:10| = 0, 706 i 10 V45:20| = 0.3782.
Zadanie 4.17 Obliczyć
20 V25
jeśli wiadomo, że
10 V25
= 0, 1 i
10 V35
= 0, 2.
Zadanie 4.18 W ubezpieczeniu na całe życie (50) ze świadczeniem w wysokości 1 wypłacanym w
momencie śmierci stała roczna składka opłacana jest w formie renty ciągłej. Wyznacz poziom rezerwy
składek netto po 25 latach ubezpieczenia, jeśli dane są δ = 0, 01, t p50 = 1 − 50t dla t ∈ (0, 50] oraz
t
t p75 = 1 − 25 dla t ∈ (0, 25].
Zadanie 4.19 Osoba x-letnia zakupiła dożywotnią rentę ciągłą odrocznoną o 20 lat płatną z intensywnością 12000 na rok. Wyznaczyć roczną składkę netto za tę polisę, płaconą w jednakowej wysokości
na początku każdeego roku przez cały okres odroczenia, jeśli wiadomo, że funkcja natężenia wymierania µx+t = 0, 04 dla t > 0, zaś techniczna stopa procentowa i = 4%.
Zadanie 4.20 Jednorazowa składka netto za dożywotnią rentę z góry dla 47-latka jest o 180% wyższa
od analogicznej składki dla osoby o 20 lat starszej. Obliczyć rezerwę 20 V47 .
Zadanie 4.21 W 30-letnim ubezpieczeniu życiowym (45) świadczenie śmiertelne jest płacone w momencie śmierci lub dożycia wieku 75 lat. Wynosi ono 20000 w ciągu pierwszych 10 lat oraz 15000
w ciągu pozostałych dwudziestu lat. Jeśli ubezpieczony dożyje wieku 75 lat, to ubezpieczyciel wypłaci
kwotę 25000. Składka za to ubezpieczenie jest płacona w jednakowej wysokości na początku każdego
roku ważności polisy. Wyznaczyć tę skąłdkę, przyjmując, że ubezpieczony pochodzi z populacji wykładniczej z parametrem µ = 0, 08, zaś natężenie oprocentowania jest równe δ = 0, 02.
19
Zadanie 4.22 35-latek z populacji wykładniczej z parametrem µ = 0, 08 zakupił dożywotnią rentę
odroczoną o 30 lat płatną z intensywnością 20000 na rok. Wyznaczyć roczną składkę netto za tę polisę,
płaconą w jednakowej wysokości na początku każdego roku przez cały okrez odroczenia. Natężenie
oprocentowania δ = 0, 02.
Zadanie 4.23 Mając dane i = 4% , äx+2 = 17, 2 px = 0, 92, A1x:2| = 0.022 obliczyć P (Ax ). Zakładamy
UDD.
Zadanie 4.24 Wyznaczyć JSN za bezterminowe ubezpieczenie na życie dla (x) ze świadczeniem płatnym na koniec roku śmierci jeśli wiadomo, że JSN za analogiczne ubezpieczenie dla osoby o 20 lat
starszej jest równa 0,56548 zaś 20 Vx =0,34463.
Zadanie 4.25 Rozważmy bezterminowe ubezpieczenie dla (x) z populacji wykładniczej z parametrem
µ = 0, 06. Świadczenie śmiertelne płatne na moment śmierci jest równe 200(2 + t), gdzie t jest
czasem jaki upłynął do podpisania umowy. Napisać wzór na wartość obeną tego świadczenia i obliczyć roczną składkę netto za tę polisę, płacona na początku każdego roku, dopóki (x) żyje. Natężenie
oprocentowania δ = 0, 09.
Zadanie 4.26 (*) W 30-letnim ubezpieczeniu na życie osoby 25-letniej świadczenie w wysokości
10 płatne jest na koniec roku śmierci. Zakładmay, że δ = 0, 1 oraz funkcja natężenia wymierania
1
. Wyznaczyć składkę netto płaconą na początku każdego roku przez cały okres ważności
µx = 120−x
polisy.
20