Wyboczenie ściskanego pręta

Wszelkie prawa zastrzeżone
Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego:
Wyboczenie ściskanego pręta
oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski
1. Wstęp
Zagadnienie wyboczenia ściskanego pręta wiąże się ściśle z pojęciem stabilności i
stateczności. Stabilnością nazywa się zdolność układów mechanicznych (lub ogólnie –
fizycznych) do samoczynnego powrotu do stanu równowagi po ustaniu działania
czynnika zakłócającego ten stan, natomiast stateczność – to zdolność tych układów do
„przeciwstawiania się” takim czynnikom zakłócającym. W przypadku osiowego
obciążenia prostoliniowego pręta siłą ściskającą można wyraźnie zaobserwować
zakresy jego pracy. W pierwszym zakresie, pręt przenosząc coraz większe obciążenie
nie zmienia swojej geometrii (pozostaje prostoliniowy). Istnieje jednak taki poziom
siły, nazywany siłą krytyczną, przy którym jej nieskończenie mały przyrost spowoduje
ugięcie pręta w kierunku prostopadłym do jego osi, czyli tzw. wyboczenie, i przejście
do drugiego zakresu pracy. Dalszy wzrost siły, z reguły niewielki, powoduje wyraźny
wzrost ugięcia, przy czym powrót pręta do poprzedniej postaci jest uwarunkowany
zmniejszeniem działającego nań obciążenia. Wartości siły krytycznej i pojawieniu się
wyboczenia, czyli utracie stateczności, odpowiada określony poziom naprężenia
krytycznego. Wynika stąd wniosek, że ocena stateczności może polegać na ocenie
poziomu naprężenia krytycznego lub siły krytycznej, przy czym z konstrukcyjnego
punktu widzenia, wartości tych wielkości występujące rzeczywiście w pręcie powinny
być mniejsze, jeśli pręt ma pracować w zakresie statecznym.
2. Cel ćwiczenia i obiekt badań
Celem ćwiczenia jest doświadczalne wyznaczenie wartości siły krytycznej
ściskanych osiowo prętów o stałym przekroju, dla różnych warunków zamocowania
ich końców, pracujących w zakresie odkształceń sprężystych. Przykładowy schemat
obciążenia i zamocowania pręta pokazano na rys. 1.
f
P
l
y
x
Rys. 1. Schemat obciążenia pręta i postaci wyboczenia
1
3. Podstawy teoretyczne ([1],[2])
Obciążenie pręta, pokazanego na rys. 1, siłą P < Pkr nie powoduje zmiany kształtu
jego osi, a naprężenie ściskające wynosi:
σ = P/A
(1)
gdzie: A – pole powierzchni przekroju poprzecznego pręta.
Odpowiadające temu obciążeniu skrócenie długości pręta wynosi:
Δl = P a/E A
(2)
gdzie: E – moduł sprężystości podłużnej (Younga) materiału pręta.
Z chwilą osiągnięcia przez obciążenie wartości krytycznej P = Pkr pojawia się moment
gnący Mg, który wraz z siłą ściskającą określa nowy stan równowagi pręta. W
rozpatrywanym przypadku moment ten jest związany z ugięciem w kierunku
poprzecznym do osi pręta wzorem:
= Mg =P (f – y)
EI
(3)
gdzie: I – geometryczny moment bezwładności przekroju.
Należy w tym miejscu zaznaczyć, że wyboczenie nastąpi w płaszczyźnie, w której
wartość sztywności na zginanie pręta EI jest najmniejsza, a więc i promień
bezwładności przekroju poprzecznego jest najmniejszy. Wynosi on:
i=
(4)
2
Przyjmując, że: k = P / EI równanie (3) przybiera postać:
(5)
a jego rozwiązanie ma postać (np.[2]):
(6)
Z warunków brzegowych (rys. 1) wynika, że dla x=0 jest y=0 oraz
= 0, a więc
C1 = -f i C2 = 0, a równanie różniczkowe linii ugięcia ma postać:
(7)
Wielkość k w stanie odpowiadającym utracie stateczności ma wartość wynikającą z
równania (7) dla x = l, które przyjmuje postać:
(8)
Z (8) wynika, że musi być cos(kl )= 0, a to jest możliwe, gdy:
(9)
dla n = 0, 1, 2, 3, …..
2
Tak więc, w stanie krytycznym wielkość k jest określona wzorem:
(10)
i osiąga najmniejszą wartość dla n = 0.
Ostatecznie, najmniejsza wartość siły krytycznej jest opisana równaniem Eulera:
(11)
Aby uwzględnić sposób zamocowania końców pręta, wprowadza się pojęcie długości
zredukowanej lred = α l. Na rys. 2 podano wartości współczynników α dla różnych
warunków zamocowania.
a)
P
α=2
b)
P
c)
P
d)
P
α=1
α =0.5
0.5
α = 0.7
Rys. 2. Przypadki zamocowania końców pręta
Po uwzględnieniu warunków zamocowania, równanie (11) przybiera postać:
(11a)
Obciążeniu krytycznemu pręta odpowiada stan naprężenia poprzedzający wystąpienie
momentu gnącego, a więc:
(12)
Powyższy wzór jest najczęściej modyfikowany poprzez wprowadzenie pojęcia
smukłości pręta λ, definiowanej jako stosunek długości zredukowanej pręta do
promienia bezwładności przekroju poprzecznego:
(13)
gdzie:
Ostatecznie, wzór (12) można przedstawić w postaci:
3
(13a)
Równanie to określa granicę między stateczną (prostoliniową) i niestateczną
(wyboczoną) postacią pręta w zależności od poziomu obciążenia (naprężenia) i jego
smukłości, i ma postać hiperboli (rys. 3).
σkr
Q
RH
wyboczenie
QJ-O
obszar stateczności
λ
λgr
Rys. 3. Hiperbola Eulera - wg równania (13a) - zakresy pracy
Jednak badania doświadczalne wykazują, że wzór Eulera jest stosowalny dla smukłości
λ > λgr . Wartość smukłości granicznej odpowiada wartości granicy proporcjonalności
RH , a więc:
(14)
Punkt Q hiperboli Eulera o współrzędnych (λgr, RH) jest więc granicą obszaru, w
którym λ < λgr, a naprężenia krytyczne określa wzór doświadczalny TetmajeraJasińskiego. W tym przypadku, zależność
(λ) ma postać prostej o równaniu:
(15)
i stałych:
c1 = Re (Re – granica plastyczności materiału pręta),
,
Stosowany jest również wzór doświadczalny Johnsona-Ostenfelda, w którym zależność
(λ) opisuje parabola o równaniu:
(16)
i stałych:
,
Należy jednak podkreślić, że w przypadku wzoru Johnsona-Ostenfelda smukłość
graniczną określa zależność:
(17)
co oznacza przesunięcie punktu Q w prawo (rys. 3). Jak widać, w zakresie λ < λgr
wyboczenie ma charakter niesprężysty.
4
Obecność wstępnego ugięcia f0, o wartości małej w stosunku do wymiarów przekroju
poprzecznego, powoduje zwiększenie ugięcia końca pręta pokazanego na rys. 1, a
równanie linii ugięcia (5) ulega modyfikacji (np.[3]):
(18)
Uwzględniając, że k2 = P’/EI (w tym przypadku P’ < Pkr) i rozwiązując powyższe
równanie analogicznie do rozwiązania równania (5), otrzymuje się:
(19)
Równanie (19) może być w praktyce wykorzystane do wyznaczenia sił krytycznej
powodującej wyboczenie ściskanego pręta, bowiem jest ono równaniem prostej we
współrzędnych f – f/P’ nachylonej względem osi odciętych pod kątem tg φ = Pkr .
Istotny wpływ na utratę stateczności ściskanego pręta może mieć także zmiana
wymiarów przekroju poprzecznego, co często jest wykorzystywane w konstruowaniu
np. słupów [2], w celu zwiększenia ich nośności.
4. Stanowisko pomiarowe i przebieg pomiarów
Pomiary są realizowane na maszynie wytrzymałościowej MTS 858, wyposażonej w
wymienne uchwyty próbek, wykonanych z różnych materiałów, zmiennej smukłości i
warunkach zamocowania końców. Dla każdej próbki należy dokonać pomiaru ugięcia w
przekroju, w którym występuje fmax, a więc: dla x = l w przypadku pokazanym na rys.
2a, i x = l/2 w przypadkach pokazanych na rys. 2b i 2c, dla 6-ciu różnych poziomów
siły P’.
5. Opracowanie wyników pomiarów
Na podstawie zarejestrowanych danych należy sporządzić wykresy f – f/P’ i określić
wartości sił krytycznych. Uzyskane wartości Pkr należy porównać z wartościami
teoretycznymi, wyznaczonymi za pomocą zależności (11a), z uwzględnieniem
odpowiedniej wartości współczynnika α .
6. Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać:
schemat stanowiska pomiarowego i obciążenia próbek,
charakterystyki badanych próbek (geometria, dane materiałowe),
dane z pomiarów ugięcia, wykresy f – f/P’ i obliczenia doświadczalnych
wartości sił krytycznych,
obliczenia teoretycznych wartości sił krytycznych,
wnioski wynikające z przeprowadzonych pomiarów
Literatura
[1] Romanów Fr., Stateczność konstrukcji, Wyd. WSI w Zielonej Górze, Zielona Góra, 1992.
[2] Żuchowski R., Wytrzymałość materiałów, Oficyna Wyd. Politechniki Wrocławskiej,
Wrocław, 1996.
[3] Badania eksperymentalne w wytrzymałości materiałów, pod red. St. Joniaka, Wyd. Polit.
Poznańskiej, Poznań, 2000.
5