III. KINEMATYKA OŚRODKA ODKSZTAŁCALNEGO

Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych
________________________________________________________________________________________
23
III. KINEMATYKA OŚRODKA ODKSZTAŁCALNEGO
1. Opis ruchu ciała odkształcalnego
Obiekt fizyczny jest ciałem w rozumieniu MOC jeżeli zajmuje przestrzeń topologiczną, w której
każdy punkt X ma swoje otoczenie z określoną metryką, oraz obiekt ten daje się w sposób jednoznaczny (homeomorficzny) odwzorować na obszar E3.
Rys. 3.1. Geometryczna interpretacja odwzorowania obiektu fizycznego i ruchu ciała
Na opis ruchu ciała składa się (rys. 3.1):
a) W chwili początkowej t  t 0 przyjmujemy układ współrzędnych {X}. Każdej cząstce X
przyporządkowujemy punkt X = (X1,X2,X3). Układ {X} jest układem współrzędnych materialnych.
b) Definiujemy drugi układ współrzędnych {xi} zwany układem współrzędnych przestrzennych.
Ruch ciała opisujemy względem tego układu.
c) Ruch ciała jest to jednoparametrowa rodzina konfiguracji opisana równaniem:
x i  x i ( X  , t )   i ( X  , t ).
Odwzorowanie x  X
i

(3.1)
jest jednoznaczne, jeżeli:
 x i 
J  det     0.
 X 
d) Na mocy jednoznaczności, istnieje funkcja odwrotna:
(3.2)
X   X  ( x i , t )  ( 1 )  ( x i , t ).
(3.3)

e) Jeżeli pola opisujące zachowanie się ciała są funkcjami X i t to mamy opis materialny Lagrange’a. Jeżeli pola te są funkcjami xi, t – opis Eulera (przestrzenny). Jeżeli współrzędne
III. KINEMATYKA OŚRODKA ODKSZTAŁCALNEGO
24
________________________________________________________________________________________
przestrzenne dobieramy „dynamicznie” tak, aby w każdej chwili t x i   i X  , to wówczas
{xi} jest układem konwekcyjnym.
2. Pole przemieszczeń
Analizujemy dwie konfiguracje pokazane na rys. 3.2: 0 i t
Rys. 3.2. Konfiguracje ciała: konfiguracja odniesienia, konfiguracja aktualna
Układ materialny {X}, wektory bazy: G  
R
, tensor metryczny: G.
X 
Układ przestrzenny {xi}, wektory bazy: g i 
r
, tensor metryczny: gij.
x i
Wektor przemieszczenia
u rR  xX,
(3.4)
u  u  G   u i g i  wektor przemieszczenia jest obiektem dwupunktowym.
Współrzędne wektora przemieszczenia
u   u  G   r  G   R  G   x i g i  G   X  G   G   x i gˆ i  X  ,
(3.5)
ĝ i  g i  G   translator (pomiędzy układami {X}, {xi}),
(3.6)
u i  u  g i  rg i  R  g i  x j g j  g i  X  G   g i  x i  X  gˆ i ,
(3.7)
gdzie: ĝ i  g i  G  .
Relacje pomiędzy współrzędnymi materialnymi u a przestrzennymi ui:
u   u i gˆ i ,
u i  u  gˆ i ,
gdzie translator: ĝ i  g i  G  .
Jeżeli układy {X} i {xi} są identyczne i ortogonalne to ĝ i   i .
(3.8)
Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych
________________________________________________________________________________________
25
Przykład
Dana jest funkcja ruchu (rys. 3.3). Sprawdzić, czy jest poprawna oraz wyznaczyć wektor przemieszczenia.
x1  (1  kt ) X 1 ,
2
2
kR
k 0
2
x  (1  kt ) X ,
x 3  (1  kt ) 3 X 3 ,
oraz {xi} i {X} – pokrywające się układy kartezjańskie,
G   e
g i   i .
stąd: g i  ei
Rys. 3.3. Kolejne konfiguracje ciała w ruchu
Wyznaczamy jakobian:
x1
X 1
J 
x1
X 2
x1
X 3
x 3
X 3
1  kt
0
 0
(1  kt ) 2
0
0
Odwrotna funkcja ruchu
x1
X 
,
1  kt
x2
X2 
,
(1  kt ) 2
1
X3 
x3
.
(1  kt ) 3
Wektor przemieszczenia
– opis materialny:
u  u G   u e ,
u   x i  i  X  ,
u1  (1  kt ) X 1  X 1  ktX 1 ,
u 2  (1  kt ) 2 X 2  X 2  kt (t  2) X 2 ,
0
0
 (1  kt ) 6  0 .
(1  kt ) 3
III. KINEMATYKA OŚRODKA ODKSZTAŁCALNEGO
26
________________________________________________________________________________________
u 3  (1  kt ) 3 X 3  X 3  kt (t 2 2) X 3 ,
– opis przestrzenny:
u  u i g i  u iei ,
u i  x i   i X  ,
x1
t

x1 ,
1  kt 1  kt
x2
kt (kt  2) 2
x ,
u2  x2 

2
(1  kt )
(1  kt ) 2
u 1  x1 
x3
kt ((kt ) 2  3kt  3) 3
u x 

x .
(1  kt ) 3
(1  kt ) 3
3
3
3. Gradienty deformacji
Ciało w trakcie ruchu od 0  t doznaje deformacji. Przez deformację rozumiemy zmianę położenia jako ruch sztywny oraz odkształcenie (rys. 3.4).
Rys. 3.4.
Analizujemy ruch elementarnego odcinka materialnego jak to pokazano na rys. 3.5.
Rys. 3.5. Elementarny odcinek materialny w konfiguracji odniesienia i początkowej
Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych
________________________________________________________________________________________
dxi ( X, t )   2 xi ( X, t )  
dX 
dX dX    F.i dX   ...



X
X X
gdzie F jest gradientem deformacji – podstawowa miara deformacji.
dx i 
 x1
 1
 X2
x
F 1
 X
 x 3
 1
 X
x1
X 2
x 2
X 2
x3
X 2
x1 

X 3 
x 2 
 F.i g i  G  .
3
X
x 3 

X 3 
27
(3.9)
(3.10)
Gradient F jest tensorem dwupunktowym.
Ze względu na jednoznaczność odwzorowania
  ( 1 )    X  
gdzie : F 1  
   i .
i
 x   x 
dX  F 1  dx
Z definicji gradientów wynika, że:
F  F 1  I,

1
i
,  , j

  ij ,
x,i X ,j   ij .
(3.11)
(3.12)
4. Tensory deformacji i odkształcenia
Wygodniejszym opisem stanu deformacji jest porównywanie kwadratów odcinków materialnych.
x i x j
dX  dX   C dX  dX  ,


X X
jest tensorem deformacji Greena,
(dx) 2  dx  dx  g ij dx i dx j  g ij
gdzie: tensor C  C G   G 
w zapisie absolutnym: C  F T  g  F .
(3.13)
(3.14)
Z kolei:
X  X  i j
dx dx  cij dx i dx j ,
i
j
x x
i
j
gdzie: tensor c  cij g  g jest tensorem deformacji Cauchy’ego,
(dX) 2  dX  dX  G dX  dX   G
w zapisie absolutnym c  F -T  G  F -1 .
(3.15)
(3.16)
Różnice kwadratów odcinków
(dx) 2  (dΧ) 2  C dX α dX β  G dX α dX β  (C αβ  Gαβ )dX α dX   2 E dX α dX  , (3.17)
gdzie: E 
1
(C  G ) jest tensorem odkształcenia Greena – de Saint Venanta (opis La2
grange’a).
Również:
(dx) 2  (dX) 2  ( g ij  cij )dx i dx j  2eij dx i dx j ,
(3.18)
III. KINEMATYKA OŚRODKA ODKSZTAŁCALNEGO
28
________________________________________________________________________________________
gdzie: eij 
1
( g ij  cij ) jest tensorem odkształcenia Almasiego – Hamela (opis Eulera).
2
5. Dyskusja miar deformacji
(A) Najbardziej ogólną miarą jest gradient deformacji F
dx k 
1
2
g αk Rβα C γβ
dX γ  F.γk d γ
dx  F  dX
(3.19)
odkształcenie
rotacja
translacja
Rys. 3.6. Złożenie ruchu odcinka materialnego
Wszystkie inne miary dają się wyprowadzić z F.
(B) Tensory deformacji: C, cij, w zapisie absolutnym: C  F T  g  F .
 przechowują informacje o odkształceniu i obrocie,
Powierzchnia o równaniu:
C dX  dX   k 2 jest materialną elipsoidą odkształcenia, tzn.
w przestrzeni {X} określa elipsoidę wskazującą wydłużenia na określonych kierunkach (rys.
3.7a). Wyznaczając wartości i wektory własne C znamy główne kierunki odkształcenia.
Analogicznie równanie
cij dx i dx j  K 2 definiuje przestrzenną elipsoida odkształcenia (rys.
3.7b). Podobnie jak wyżej wyznaczamy wartości i wektory własne.
Obrót cząstki materialnej określa obrót wektorów (N1, N2, N3) na (n1,n2, n3). Tensor obrotu R
jest transformacją NL na nL (dla L=1, 2, 3)
nL  R  NL .
(3.20)
Jeżeli brak obrotu to R = I.
(C) Tensory odkształcenia E, e przechowują jedynie informacje o odkształceniach.
Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych
________________________________________________________________________________________
29
Rys. 3.7. Materialna i przestrzenna elipsoida odkształceń
6. Miary deformacji i odkształcenia jako funkcje przemieszczenia
Tensor deformacji Greena:
x i x j
 (dx) 2  dx  dx  C dX  dX 


X X
Wektor przemieszczenia:
u  xX x uX.
(3.22)
Różniczka odcinka materialnego:
dx  du  dX ,
(3.23)
Z definicji: C  g ij
po rozpisaniu, jako funkcja przemieszczenia
x

u
X
dx 
dX α 
(u  X)dX α  ( α 
)dX α  (u β α G β  G α )dX α .
α
α

X
X
X
X
(3.21)
(3.24)
Wyznaczamy kwadrat różniczki:
dx  dx  (u β α G β  G α )dX α (u γ δ G γ  Gδ )dX δ 
 (u β α u γ δ G βγ  u β α Gβδ  u γ δ Gαγ  Gαδ )dX α dX δ  (u β α uβ δ u δ α u α δ Gαδ )dX α dX δ
(3.25)
Stąd ostatecznie:
Cαβ  u γ α u γ β uα β uβ α Gαβ .
(3.26)
Podobnie tensor deformacji Cauchy’ego
cij  u k i u k j ui k u k i  g ij .
Tensor odkształcenia Greena – de Saint Venanta
1
1
Eαβ  (Cαβ  Gαβ )  (u γ α u γ β uα β uβ α ) .
2
2
(3.27)
(3.28)
III. KINEMATYKA OŚRODKA ODKSZTAŁCALNEGO
30
________________________________________________________________________________________
Tensor odkształcenia Almasiego – Hamela
1
1
eij  ( g ij  cij )  (ui k u k i u k i u k j ) .
2
2
Tensor obrotu jako funkcja przemieszczenia
1
Rαβ  Gαβ  (uα β uβ α )  u γ α u γ β .
2
(3.29)
(3.30)
7. Aproksymacja stanu odkształcenia
Możliwe uproszczenia:  małe przemieszczenia,
 małe gradienty przemieszczeń,
stąd różne możliwe teorie.
a) Małe gradienty przemieszczenia:  ui j  1 ;
w związkach geometrycznych można pominąć kwadraty gradientów deformacji,
1
Eαβ  (uα β uβ α )   αβ
(Greena Saint Venanta)
2
1
eij  (ui j u j i )   ij
(Almasiego - Hamela)
2
1
Rαβ  Gαβ  (uα β uβ α )  Gαβ  αβ
2
względny tensor obrotów
Dla infinitezymalnych odkształceń mamy dwie miary deformacji:  oraz .
Rozróżniamy trzy różne stany:
 ,  porównywalne,
 >> ,
  >> .
b) Małe przemieszczenia
Możemy pominąć rozróżnianie konfiguracji, wówczas
    ij
oraz
  ij .
(3.31)
(3.32)
(3.33)
(3.34)
(3.35)
8. Warunki zgodności wewnętrznej – warunki nierozdzielności
Mając funkcję ruchu xi = xi(X, t) możemy jednoznacznie wyznaczyć miary deformacji i odkształcenie, np. C, cij. Rozważmy sytuację odwrotną: dany jest tensor C, a chcemy wyznaczyć funkcję ruchu lub u (przemieszczenie).
C  g ij x,i x,j .
(3.36)
Powyższe równanie możemy traktować jako transformację układu, w którym metryka gij transformuje się na nową metrykę C. Przy takim przejściu muszą być spełnione równania Levi –
Civity tzn.:
Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych
________________________________________________________________________________________
31
tensory metryczne nowego układu
Rmnpq  g mq
np  g np mq  g mp nq  g nq mp 
0.
(3.37)
Podstawiając do powyższego równania któryś z tensorów odkształcenia, np. C, mamy
R  C

C

C

C

 0,
(3.38)
gdzie: tylko 6 równań jest istotnych (pozostałe liniowo zależne od tych pierwszych).
9. Pochodna materialna, pochodne czasowe
Pola tensorowe opisujące ciało są funkcjami:
a) współrzędnych materialnych X oraz czasu t
b) współrzędnych przestrzennych x oraz czasu t
f(X,t) opis Lagrange’a,
f(x,t) opis Eulera.
Przez pochodną materialną po czasie rozumiemy
Df f

Xconst  dotyczy ustalonej cząstki
dt dt
W przypadku (a): f(X,t) – dowolne pole tensorowe (skalarne)
Df ( X, t ) f ( X, t )
.

Dt
t
(3.39)
(3.40)
W przypadku (b): f(x,t) – dowolne pole tensorowe (skalarne)
Df (x, t ) f (x, t )

t
Dt
x const 
dx i ( x, t )
 vi ,
dt
gdzie:
f (x, t ) dx i (x, t )
dt
x i
v  vi gi
(3.41)
- prędkość cząstki ciała.
stąd ostatecznie:
Df (x, t ) f ( x, t )

Dt
t
xconst  v
i
f (x, t )
.
x i
(3.42)
Wyrażenie prędkości przez przemieszczenie
Opis materialny:
u( X, t )  u  ( X, t )G  ,
v ( X, t ) 

gˆ k
Du
Dt
X const

x k
G   v G  .
t
Opis przestrzenny:
(3.43)
D
Dx D k
D  k
( x  X) 
( x ( X, t )g k ) 
( gˆ k x G ) 

Dt
Dt Dt
Dt
(3.44)
III. KINEMATYKA OŚRODKA ODKSZTAŁCALNEGO
32
________________________________________________________________________________________
u(x, t )  u i (x, t )g i ,
v
Du  u i

Dt  t
(3.45)
x const  v
j i

 vigi ,
(3.46)
 postać uwikłana.
(3.47)
u
j g i

gdzie:
vi 
u i
t
x const  v
j i
u
j
Przyśpieszenie
a
Dv  v i

Dt  t
x  const

 v j vi j gi  ai g i .

Przykład 3.1
Dla ciała jak na rysunku dana jest funkcja ruchu. Wyznaczyć:
c) wektor przemieszczenia;
d) gradient i tensory odkształcenia;
e) pole prędkości i przyśpieszenia.
Rys. 3.8
ozn. Vt=K
Funkcja ruchu x i  x i ( X  , t )
(3.48)
Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych
________________________________________________________________________________________
x1  X 1 ,
x2  X 2 ,
x 3  X 3 (1 
Vt
);
a
dla t  2
x 3A  a (1 
2V
).
a
Pole przemieszczeń w opisie materialnym:
ogólnie: u   x i gˆ i  X  ,
u 1  x i 1i  X 1  0 ,
u 2  x i  i2  X 2  0 ,
Vt
;
a
a V  2
u 3A 
 2V .
a
u 3  x i  i3  X 3  X 3
dla t  2
Pole przemieszczeń w opisie przestrzennym:
ogólnie: u i  x i  X  gˆ i
u1  0,
u 2  0,
u 3  x 3  X   3  x 3 
dla t  2
Gradienty deformacji:
 x k 
ogólnie: F  Fk    ;
 X 
 
k

1
Vt
a
 2V
x 3A  a 1 
a

u 3A  x 3A
F 
x
3


0 
1 0
0 
 0 1

K
0 0 1  
a


Vt
Vt
 x3
a
 x3 a ;
Vt
Vt
1
1
a
a
x3  x3

,

2V / a
 2V  2V / a
 a 1 
 2V .

1  2V / a
a  1  2V / a

 1   X  
F 1   Fk    k  ,
   x 




1
0
0


 1  
0 .
 Fk   0 1
1 
 

0 0
K

1
a 

33
III. KINEMATYKA OŚRODKA ODKSZTAŁCALNEGO
34
________________________________________________________________________________________
Tensor deformacji Greena: C  F T  F
C 

1 0
0

0
 0 1


 0 0 1  K


a




.
2

 
 
 
Tensor deformacji Cauchy’ego: c  F  T  F 1





1 0
0


cij  0 1
0
.
1


0 0
2
 K 

1  
a  


 
Tensory odkształcenia

0 0
1

E  (C  G )  0 0
2
0 0






0 0

1
e  (g  c )  0 0
2


0 0






,
0
2
K 1 K  
  
a 2  a  
0





0

0
.




1
1

1
2
2 
K  
 1    
a  
 
Tensory odkształcenia jako funkcja przemieszczenia
1
E  (u  ,  u,  u  , u , ) ,
2
K
jest różne od zera, a w takim razie jedynie E33 jest różne od zera
gdzie jedynie u3,3 
a
2
E33 
1
K 1K
(u3,3  u3,3  u3,3u,33 )     .
2
a 2 a 
Podobnie
ekl 


1
u k ,l  ul ,k  ui ,k u,il ,
2
Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych
________________________________________________________________________________________
gdzie jedynie u3,3 
K
różne od zera, stąd
K a


1
K
1 K2
u 3,3  u3,3  u 3,3  u,33 

.
2
( K  a) 2 ( K  a) 2
e33 
Pole prędkości
 opis materialny:
v ( X, t )  v  ( X, t )G   gˆ k
v1  gˆ 1k
x k
G ,
t
x k
x k
x1
 1k
 11
 0,
t
t
t
v 2  0,
v3  X 3
V
;
a
 opis przestrzenny:
v (x, t )  v i (x, t )g i ,
vi 
u i
t
x const  v
j i
u
j
,
v1  0,
v 2  0,
v3 
u 3
 v 3u 3 3 ;
t
V 3
Vt
x
v3  a
 v3 a ,
2
Vt
 Vt 
1
1  
a
a

v3
Vt Vt

a a 
Vt
1
a
1
V 3
x
a
2
 Vt 
1



a

Przyśpieszenie
 opis materialny
a 
v
t

X const
 0,
V 3
x
V
3
a
 v 
 X 3.
Vt a
1
a
35
III. KINEMATYKA OŚRODKA ODKSZTAŁCALNEGO
36
________________________________________________________________________________________
 opis przestrzenny
ai 
Dv i v

Dt
t
i
x const
 v k vi k .