KONSPEKT WYKŁADU nt. MECHANIKA OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

Studia doktoranckie
Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej
KONSPEKT WYKŁADU
nt.
MECHANIKA OŚRODKÓW CIĄGŁYCH
Piotr Konderla
październik 2014
2
________________________________________________________________________________________
SPIS TREŚCI
Oznaczenia stosowane w konspekcie ........................................................................................... 6
I. Rachunek tensorowy ................................................................................................................... 9
1. Parametryzacja przestrzeni – przyjęcie układu współrzędnych ...................................... 9
2. Pojęcie tensora ............................................................................................................... 10
3. Tensor metryczny .......................................................................................................... 10
4. Operacje na tensorach .................................................................................................... 12
5. Współrzędne fizyczne tensora ....................................................................................... 12
6. Pochodna kowariantna ................................................................................................... 12
7. Przemienność różniczkowania kowariantnego .............................................................. 13
8. Tensory wielopunktowe ................................................................................................ 13
9. Operatory różniczkowe ................................................................................................. 14
10. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego ......................................................................... 14
11. Tensory kartezjańskie 2-go rzędu ................................................................................ 14
Przykład 1.1 ....................................................................................................................... 15
II. Opis procesu dynamicznego, podstawowe terminy i pojęcia ................................................ 18
1. Kontinuum materialne ................................................................................................... 18
2. Rozmaitość różniczkowalna .......................................................................................... 18
3. Ciało materialne ............................................................................................................. 19
4. Miara borelowska .......................................................................................................... 20
5. Przykłady miar borelowskich ........................................................................................ 20
6. Ruch ciała ...................................................................................................................... 21
7. Przestrzeń zdarzeń ......................................................................................................... 21
8. Opisy analityczne stosowane w MOC ........................................................................... 22
III. Kinematyka ośrodka odkształcalnego .................................................................................. 23
1. Opis ruchu ciała odkształcalnego .................................................................................. 23
2. Pole przemieszczeń ....................................................................................................... 24
3. Gradienty deformacji ..................................................................................................... 26
4. Tensory deformacji i odkształcenia ............................................................................... 27
5. Dyskusja miar deformacji .............................................................................................. 28
6. Miary deformacji i odkształcenia jako funkcje przemieszczenia .................................. 29
Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych
________________________________________________________________________________________
3
7. Aproksymacja stanu odkształcenia ................................................................................ 30
8. Warunki zgodności wewnętrznej – warunki nierozdzielności ...................................... 30
9. Pochodna materialna, pochodne czasowe ...................................................................... 31
Przykład 3.1 ....................................................................................................................... 32
IV. Dynamika ośrodka ciągłego, prawa ewolucyjne .................................................................. 36
1. Pole gęstości masy ......................................................................................................... 36
2. Gęstość sił zewnętrznych ............................................................................................... 36
3. Gęstość sił wewnętrznych – naprężenia ........................................................................ 37
4. Zasady zachowania ........................................................................................................ 39
5. Zasada zachowania masy ............................................................................................... 39
6. Zasada zachowania pędu ............................................................................................... 40
7. Zasada zachowania momentu pędu ............................................................................... 41
8. Zasada zachowania energii ............................................................................................ 42
9. Wariacyjne sformułowanie zasad zachowania .............................................................. 42
V. Termodynamika klasyczna .................................................................................................... 45
1. Układ termodynamiczny ................................................................................................ 45
2. Proces termodynamiczny ............................................................................................... 45
3. Pierwsze prawo termodynamiki ..................................................................................... 46
4. Drugie prawo termodynamiki. Pojęcie entropii ............................................................. 47
5. Termodynamika kontinuum materialnego ..................................................................... 48
6. Potencjały termodynamiczne ......................................................................................... 50
7. Liniowa teoria procesów nieodwracalnych ................................................................... 51
VI. Równania konstytutywne ..................................................................................................... 53
1. Wprowadzenie ............................................................................................................... 53
2. Sposoby i metody definiowania równań konstytutywnych ........................................... 53
3. Ogólne zasady konstruowania równań konstytutywnych .............................................. 54
4. Ogólna postać równań konstytutywnych ....................................................................... 56
5. Ograniczenia równań konstytutywnych wynikające z postulatów ................................ 57
6. Materiał klasy n ............................................................................................................. 59
7. Materiał prosty ............................................................................................................... 60
8. Materiały z zanikającą pamięcią .................................................................................... 61
9. Podsumowanie – klasyfikacja materiałów ..................................................................... 64
10. Klasyfikacja materiałów względem grup niezmienności ............................................ 64
VII. Materiały sprężyste .............................................................................................................. 65
4
________________________________________________________________________________________
1. Wprowadzenie ............................................................................................................... 65
2. Materiały hipersprężyste ................................................................................................ 65
3. Liniowa sprężystość ...................................................................................................... 68
4. Uproszczenia równań konstytutywnych ........................................................................ 69
VIII. Zagadnienia graniczne nieliniowej teorii sprężystości .................................................. 74
1. Nieliniowy model teorii sprężystości ............................................................................ 74
2. Metody rozwiązywania nieliniowych zagadnień teorii sprężystości ............................ 75
IX. Zagadnienia graniczne liniowej teorii sprężystości ................................................................ 76
1. Model liniowy zagadnienia teorii sprężystości ............................................................. 76
2. Metody rozwiązywania liniowych zagadnień teorii sprężystości ................................. 77
3. Równania teorii sprężystości w zagadnieniach statycznych – elastostatyka ................. 81
4. Twierdzenie o wzajemności prac- zasada Bettiego ........................................................ 82
5. Rozwiązania podstawowe elastostatyki. Tensor przemieszczeniowy Greena .............. 84
X. Ważniejsze twierdzenia liniowej teorii sprężystości .......................................................... 86
1. Zasada prac wirtualnych ................................................................................................ 86
2. Twierdzenie o minimum energii potencjalnej ............................................................... 86
3. Twierdzenie Castigliano o minimum energii komplementarnej (uzupełniajacej) ......... 88
4. Funkcjonał Reissnera. Twierdzenie wariacyjne Reissnera ........................................... 89
XI. Termosprężystość ................................................................................................................ 91
1. Naprężenia cieplne. Klasyfikacja zagadnień termosprężystych .................................... 91
2. Podstawowe równania termosprężystości ..................................................................... 91
3. Efekty cieplne wywołane odkształceniem. Wzór Kelvina ............................................ 93
4. Izotermiczne i adiabatyczne moduły sprężystości ......................................................... 93
5. Przewodnictwo cieplne .................................................................................................. 94
6. Ciało obciążone termicznie ........................................................................................... 95
7. Zasady wariacyjne termosprężystości niesprzężonej .................................................... 96
XII. Lepkosprężystość ............................................................................................................... 98
1. Liniowe ciała z pamięcią ............................................................................................... 98
2. Mechaniczne modele materiału lepkosprężystego ........................................................ 99
3. Równania konstytutywne ciała lepkosprężystego ....................................................... 105
4. Równania konstytutywne w formie równań różniczkowych ...................................... 106
5. Zagadnienie graniczne (początkowo-brzegowe) ......................................................... 109
XIII. Mechanika płynów ............................................................................................................ 111
1. Wprowadzenie. Podstawowe pojęcia .......................................................................... 111
Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych
________________________________________________________________________________________
5
2. Kinematyka płynów ..................................................................................................... 114
3. Modele płynów ............................................................................................................ 118
4. Zagadnienie graniczne mechaniki płynów .................................................................. 119
5. Statyka płynów ............................................................................................................ 120
6. Zagadnienie interakcji płyn-ciało stałe ........................................................................ 121
Literatura ................................................................................................................................... 123
6
________________________________________________________________________________________
OZNACZENIA STOSOWANE W KONSPEKCIE
{z I }
kartezjański układ współrzędnych, predefiniowany w E3,
eI
wektor bazy kartezjańskiego układu współrzędnych,
{X}
układ współrzędnych materialnych,
{x i }
układ współrzędnych przestrzennych,
R, r
X, x
X
promienie wektory,
punkty w układach współrzędnych: materialnym i przestrzennym,
punkt ciała fizycznego,
G  , G  , G , G  , G wektory bazowe i tensory metryczne współrzędnych materialnych,
g i , g i , g ij , g ij , g ij
wektory bazowe i tensory metryczne współrzędnych przestrzennych,
gˆ i , gˆ i
translatory,
klm ,  klm
symbole: Levi Civiata, Ricciego,
ij
delta Kroneckera,
E3
T, t
0 , t , 
przestrzeń Euklidesa,
przedział czasu, czas t  T
oznaczenie konfiguracji (odniesienia, w chwili t, aktualna),
1
 i ( ),   ( )
funkcja ruchu, odwrotna funkcja ruchu,
u  u G   u i gi
wektor przemieszczenia
F  F.i g i  G 
gradient deformacji,
J = det(F)
1
F  Fi  G   g i
odwrotny gradient deformacji,
C  C G   G 
tensor deformacji Greena,
IC1, IC2, IC3
niezmienniki tensora C,
c  cij g i  g j
tensor deformacji Cauchy’ego,
E  E G   G 
tensor odkształcenia Greenade Saint Venanta,
e  eij g i  g j
tensor odkształcenia AlmasiegoHamela,
R  R G   G 
tensor obrotu,
 ij
infinitezymalny tensor odkształcenia,
ij
infinitezymalny tensor względnych obrotów,
Cijkl
macierz stałych materiałowych,
, 
K
stałe materiałowe Lame’go,
moduł odkształcenia objętościowego,
Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych
________________________________________________________________________________________
D( )  ( )
,
Dt t
pochodna materialna i pochodna cząstkowa po czasie,
v  v G   vi g i
wektor prędkości,
a  a G   ai g i
wektor przyśpieszenia,
d  d kl g k  g l
prędkość deformacji,
V, V0
S, S0
ρ, ρ 0
obszar ciała w E3 w konfiguracji aktualnej i odniesienia,
brzeg obszaru ciała w E3 w konfiguracji aktualnej i odniesienia,
gęstość masy,
f  f igi
gęstość sił masowych (na jedn. masy),
F  ρf
gęstość sił objętościowych (na jedn. obj.)
t (n )
gęstość sił powierzchniowych,
t  t ij g i
gj
tensor naprężenia Cauchy’ego (symetryczny),
TR  TRi G   g i
~
~
TR  TR G   G 
B
M, m
P
K
Fc, Mc
K
E, e
L
W, w

Q
S, 
h, q

tensor naprężenia Pioli – Kirchoffa I-go rodzaju,
tensor naprężenia Pioli - Kirchoffa II rodzaju (symetryczny),
ciało materialne,
masa ciała materialnego, gęstość masy ciała materialnego,
pęd ciała materialnego,
moment pędu ciała materialnego,
wypadkowa siła, wypadkowy moment,
energia kinetyczna,
energia wewnętrzna, gęstość energii wewnętrznej,
moc sił zewnętrznych,
moc sił wewnętrznych, gęstość mocy sił wewnętrznych,
energia potencjalna,
ciepło
entropia, gęstość entropii,
strumień ciepła, gęstość źródeł ciepła na jednostkę masy,
temperatura bezwzględna, temperatura odniesienia, temperatura w odniesieniu do 




s 0
s 0
s 0
s 0
T ..., N ..., E ..., H ... funkcjonały konstytutywne,
s t
R
K
T ,T
U
ij
kij
Cv
c(t), k(t)
7
czas historii,
współobrotowy T K  F T TF i konwekcyjny T R  R T TR tensor naprężenia,
prawy tensor rozciągnięcia: F=RU,
tensor modułów termicznych,
tensor współczynników przewodnictwa cieplnego,
ciepło właściwe na jednostkę objętości przy stałym odkształceniu,
funkcja pełzania, funkcja relaksacji,
8
________________________________________________________________________________________

Jijkl
Gijkl
współczynnik lepkości,
tensorową funkcją pełzania,
tensorowa funkcja relaksacyjna,