Podstawy Fizyki: MECHANIKA GRUPA 1 Zestaw zadań nr 7 20

Podstawy Fizyki: MECHANIKA
GRUPA 1
Zestaw zadań nr 7
20 grudnia 2011
1. Trzy doskonale sprężyste kule o masach m1 , m2 i m3 leżą w idealnie gładkim poziomym
rowku w pewnej odległości od siebie. Pierwszej kuli nadano pewną prędkość początkową,
wskutek czego uderzyła ona w drugą, a ta z kolei uderzyła w trzecią. Jaka musi być masa
m2 drugiej kuli, aby prędkość trzeciej kuli o masie m3 była możliwie największa.
√
Odpowiedź: m2 = m1 m3 .
2. Trzy jednakowe kule A, B i C o promieniu R ułożone są na stole tak jak pokazano na
rysunku. Kule B i C spoczywają, a kula A porusza się z prędkością w. Znaleźć wartość i
kierunek prędkości kuli A po zderzeniu, jeżeli odległość pomiędzy kulami B i C wynosi
2d.
2
2
d −2R
Odpowiedź:u = w 6R
2 −d2
3. Jeden proton spoczywa a drugi zbliża się do niego z nieskonczoności z energią początkową
E0 . Protony zbliżają się do siebie i po osiągnięciu odległości najmniejszego zbliżenia
oddalają się od siebie. Znaleźć kąt względny pomiędzy kierunkami prędkości protonów
gdy oddalą się one do nieskonczoności. Uwaga: zderzenie nie jest centralne.
Odpowiedź: kąt pomiędzy kierunkami prędkości protonów jestr równy 90◦ .
4. Na walcu o promieniu r2 = 10 cm i wysokości h2 = 15 cm leży drugi walec o promieniu
r1 = 5 cm i wysokości h1 = 10 cm. Osie walców pokrywają się, walce zrobione zrobione
są z tych samych materiałów (tzn. mają tą samą gęstość). Znaleźć położenie środka masy
układu.
Odpowiedź: Środek masy leży na osi walców, na wysokości 9.3 cm nad podstawą dolnego walca.
5. Kwadrat magiczny rzędu N zbudowany jest z kolejnych liczb 1, 2, ..., N 2 w ten sposób,
że suma po każdym wierszu, po każdej kolumnie i po każdej przekątnej jest taka sama.
Najmniejszym kwadratem magicznym jest kwadrat trzeciego rzędu.
Strona 1 z 2
Liczby w kwadracie możzna potraktować jak wartości mas, odległości pomiędzy sąsiednimi masami (mierzononą w rzędach i kolumnach) można przyjąć równą 1. Obliczyć
moment bezwładności dla podanego kwadratu magicznego dla osi:
ˆ pionowej odległej o 1 od boku kwadratu,
ˆ poziomej odległej o 1 od boku kwadratu,
ˆ przechodzącej przez środek kwadratu i prostopadłej do jego boku (czy można skorzystać z twierdzenia Steinera o osiach równoległych?),
ˆ przechodzącej przez środek i prostopadłej do płaszczyzny kwadratu - moment bezwładnośći Iz
Czy można udowodnić, że Iz =
N 2 (N 4 −1)
,
12
gdzie N jest rzędem kwadratu magicznego?
6. Mamy daną dowolną figurę płaską. Znamy momenty bezwładności Ix oraz Iy tej figury dla dwóch dowolnych prostopadłych do siebie osi x oraz y leżących w płaszczyznie
figury. Pokazać, że Iz = Ix + Iy , gdzie Iz jest momentem bezwładności względem osi z
prostopadłej do płaszczyzny figury przechodzącej przez punkt przecięcia osi x i y.
7. Obliczyć moment bezwładności kwadratu o boku a i masie M względem osi przechodzącej przez środek kwadratu i prostopadłej do jego boku (I1 ) oraz względem przekątnej
kwadratu (I2 ).
Odpowiedź:I1 = I2 =
1
2
12 M a .
8. Obliczyć moment bezwładności stożka I wokół osi pokrywającej się z wysokością stożka.
Dane są promień podstawy R, wysokość H oraz masa M .
Odpowiedź: I =
3
2
10 M R
Strona 2 z 2