plik pdf

POMIARY SZYBKOŚCI ZLICZEŃ
ZA POMOCĄ LICZNIKA GEIGERA-MÜLLERA
Wprowadzenie teoretyczne:
Liczba rozpadów substancji promieniotwórczej mających miejsce w dowolnie przyjętym
czasie t jest wielkością losową. Jej losowość nie wynika jednak z zaburzeń procesu
pomiarowego lecz z losowego charakteru samego zjawiska rozpadu promieniotwórczego.
Prawdopodobieństwo wystąpienia n rozpadów w czasie t opisywana jest zależnością znaną w
statystyce matematycznej jako rozkład Poissona:
P(n) =
αn −α
⋅e
n!
(1)
P(n)- oznacza prawdopodobieństwo, że w czasie t nastąpi n rozpadów, natomiast
α - jest dla określonego czasu t wartością stałą równą
α = N·λ·t
(2)
gdzie: N – liczba jąder substancji promieniotwórczej w źródle promieniowania,
λ – stała rozpadu substancji promieniotwórczej – charakterystyczna dla danego
izotopu i mająca sens prawdopodobieństwa tego, że w jednostce czasu pojedyncze
jądro izotopu promieniotwórczego ulegnie rozpadowi.
Stała α ma sens fizyczny średniej liczby rozpadów występujących w czasie t.
Oczywiście rozkład Poissona opisuje także prawdopodobieństwo zarejestrowania n impulsów
wywołanych w czasie t przez cząstki pochodzące z rozpadu promieniotwórczego za pomocą
detektora promieniowania jądrowego (np. licznika Geigera-Müllera). Wtedy stała α oznacza
średnią liczbę impulsów rejestrowanych przez licznik w czasie t.
Wielkością, którą chcemy często wyznaczyć przy badaniu rozpadu promieniotwórczego jest
właśnie α - średnia liczba impulsów rejestrowanych w czasie t .
Wartość α możemy wyznaczyć dokonując chociażby pojedynczego pomiaru ilości impulsów
zarejestrowanych w czasie t (czyli wartości n), który traktujemy wówczas jako oszacowanie
średniej liczby impulsów α. Jednakże takie oszacowanie jest obarczone sporą niepewnością.
Wielkość tej niepewności ta zgodnie z własnościami rozkładu Poissona wynosi:
u (α ) = n
(3)
Jeszcze częściej jednak posługujemy się średnią szybkością zliczeń A (lub aktywnością)
określoną jako średnia ilość impulsów zarejestrowanych w jednostce czasu tzn.:
α
A=
(4)
t
Jeżeli do wyznaczenia średniej szybkości zliczeń zamiast wartości α wykorzystamy jej
oszacowanie poprzez zmierzoną wartość n, to niepewność tak wyznaczonej szybkości zliczeń
określa się wzorem:
A
u(A) =
(5)
t
Opis stanowiska pomiarowego:
Stanowisko pomiarowe składa się z domku ołowianego, w którym umieszczony jest
okienkowy liczni Geigera-Mullera. Licznik zasilany jest za pomocą zasilacza wysokiego
napięcia. W dolnej części domku znajduje się niewielka komora, w której umieszczane jest
źródło promieniowania oraz folie metalowe pełniące funkcję absorbenta tegoż
promieniowania.
Wykonanie pomiarów:
1. Wykonać jeden 10 minutowy pomiar promieniowania tła licznika G-M (nt).
2. Umieścić w liczniku źródełko promieniowania. Pomiędzy źródełkiem a okienkiem
licznika należy umieścić wskazaną przez prowadzącego ćwiczenie ilość folii
aluminiowych. Folie te służą do redukcji ilości promieniowania docierającego do licznika
i pozwalają zmieniać rejestrowaną szybkość zliczeń licznika.
3. Przeprowadzić jeden 10 minutowy pomiar liczby zarejestrowanych impulsów (n1).
Grubość folii powinna być tak dobrana aby uzyskać średnią szybkość zliczeń około
3-4 impulsów na sekundę.
4. Przeprowadzić 200 jednosekundowych pomiarów liczby zliczeń licznika G-M.
5. Powtórzyć punkty 3 i 4 dla innej ilości folii aluminiowych w celu wyznaczenia n2.oraz
wartości pomiarów jednosekundowych. Grubość folii powinna być tak dobrana aby
uzyskać średnią szybkość zliczeń około 15 impulsów na sekundę.
Opracowanie wyników dziesięciominutowych pomiarów liczby zliczeń licznika G-M.
1. W oparciu o wzór (3) wyznaczyć niepewności określenia średniej ilości impulsów
rejestrowanych w czasie 10 minut dla tła oraz pierwszego i drugiego pomiaru 10minutowego - u(nt), u(n1), u(n2).
2. Wyznaczyć szybkości zliczeń przypadające na jedną minutę dla tła oraz pierwszego i
drugiego pomiaru 10-minutowego At , A1 , A2 wraz z ich niepewnościami u(At), u(A1),
u(A2). Wykorzystać wzory (4) i (5) .
3. Dokonując pomiaru szybkości zliczeń impulsów pochodzących od źródełka
promieniotwórczego rejestrujemy także impulsy pochodzące od promieniowania tła.
Dlatego aby wyznaczyć szybkości zliczeń impulsów tylko od źródełka (netto) musimy od
zmierzonych szybkości zliczeń odjąć szybkość zliczeń tła tzn.
A1netto = A1 - At
(6)
A2netto = A2 - At
(7)
Ze wzorów (6) i (7) wyznaczyć szybkości zliczeń netto.
4. Niepewności szybkości zliczeń netto wyznaczamy ze wzorów (6) i (7) w oparciu o prawo
propagacji niepewności. Prowadzi nas to do następujących wzorów:
u ( A1netto ) = u ( A1 ) 2 + u ( At ) 2
(8)
u ( A2 netto ) = u ( A2 ) 2 + u ( At ) 2
5.
(9)
Wyznaczyć niepewności szybkości zliczeń netto.
Obliczenia opisane w pkt.2 -4 powtórzyć dla szybkości zliczeń przypadających na jedną
sekundę.
Opracowanie wyników jednosekundowych pomiarów liczby zliczeń licznika G-M.
1. Na podstawie wyników pomiarów jednosekundowych wykonać histogram liczby zliczeń
określający ile razy (kn) zarejestrowano n impulsów w ciągu sekundy (wykres częstości
występowania danej liczby impulsów).
2. Wyznaczyć średnią liczbę impulsów rejestrowanych w ciągu sekundy - nśr . Porównać
wynik z szybkością zliczeń przypadających na jedną sekundę wyznaczoną na podstawie
pomiarów 10-minutowych.
3. Do wykresu przedstawiającego histogram otrzymany z pomiarów dołączyć wykres
przedstawiający częstość występowania danej liczby impulsów (dla poszczególnych
wartości n) wyznaczoną teoretycznie na podstawie rozkładu Poissona (wzór 1). Za
wartość stałej α = N·λ·t przyjąć średnią liczbę impulsów rejestrowanych w ciągu sekundy
- nśr .W celu otrzymania wartości częstości występowania n impulsów należy wartość
P(n,t) wyliczoną ze wzoru (1) pomnożyć razy całkowitą liczbę przeprowadzonych
pomiarów sekundowych - k. Porównać oba wykresy.
4. Przeprowadzić test χ2 zgodności rozkładów w celu stwierdzenia czy rozkład
doświadczalny (histogram) i teoretyczny są ze sobą zgodne. W tym celu należy:
a) wyznaczyć wartość χ2 funkcji testowej
c
(k − k·P(n, t)) 2
χ2 = ∑ n
k·P(n, t)
n =0
gdzie: - c - maksymalna ilość impulsów zarejestrowana w czasie 1 sekundy (c+1 to
liczba przedziałów histogramu),
- k - całkowita liczba przeprowadzonych pomiarów sekundowych
- kn wartość określająca ile razy zarejestrowano n impulsów,
b) Przyjąć wartość poziomu istotności γ = 0.05 i w załączonej tabeli znaleźć
odpowiadającą mu wartość krytyczną χ2kr funkcji testowej. Poziom istotności określa
wartość prawdopodobieństwa popełnienia błędu polegającego na tym, że odrzucimy
testowaną hipotezę (tutaj hipotezą jest stwierdzenie, iż otrzymany histogram jest
rozkładem Poissona) mimo iż jest ona słuszna.
Tabela: zależność wartości krytycznej χ2kr dla poziomu istotności γ = 0.05 od liczby
stopni swobody ν.
χ2kr
ν
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
3.841
5.991
7.815
9.488
11.070
12.592
14.067
15.507
16.919
18.307
19.675
21.026
22.362
23.685
24.996
26.296
27.587
28.869
30.144
31.410
32.671
33.924
35.172
36.415
37.652
38.885
40.113
41.337
42.557
43.773
W naszym przypadku liczba stopni swobody równa jest liczbie przedziałów histogramu
(c+1) zmniejszonej o 1 tzn. ν = (c+1) – 1 = c .
c) Porównać otrzymaną wartość χ2 z wartością krytyczną χ2kr. Jeżeli χ2 > χ2kr to na
poziomie istotności γ=0.05 możemy uznać, że otrzymany rozkład nie jest zgodny z
rozkładem Poissona. Jeżeli χ2 < χ2kr to możemy uznać, że otrzymany histogram jest
zgodny z rozkładem Poissona, a pojawiające się różnice są jedynie efektem fluktuacji
statystycznych.
UWAGA: Przedstawiony schemat postępowania zawiera pewne istotne uproszczenie.
Aby test był w pełni poprawny należałoby tak dobrać przedziały histogramu, aby
wartości kn były równe co najmniej 5. W tym celu najprościej byłoby połączyć ze sobą te
przedziały, które nie spełniają powyższego warunku i odpowiednio zmodyfikować
odpowiadające im prawdopodobieństwa oraz liczbę przedziałów.
Data opracowania wersji: 23.03.2005.