MATEMATYKA DYSKRETNA - wprowadzenie(2003 rozszerzone).

Transkrypt

Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA
1
MATEMATYKA DYSKRETNA
doc. dr hab. inż. Marek Libura
Instytut Badań Systemowych PAN
01-447 Warszawa, Newelska 6, pok. 324
[email protected]
tel.(48)(22)8373578 w.193
2
NOTACJA
Dla dowolnego zdania Q








1
Q = 


 0
jeśli zdanie Q jest prawdziwe,
jeśli zdanie Q jest fałszywe.
Funktory zdaniotwórcze:
∨
– lub
∧
– i
¬
– nie
⇒
–
jeśli . . . , to . . . (implikacja),
⇔
–
wtedy i tylko wtedy, gdy (równoważność).
(alternatywa, suma logiczna)
(koniunkcja, iloczyn logiczny)
(negacja)
3
Rachunek zdań
p, q – zdania
4
5
FUNKCJE podłoga i sufit
Dla dowolnej liczby rzeczywistej x:
x = max{y ∈ : y x},
– podłoga x
x = min{y ∈ : y x}.
– sufit x
Dla x, y ∈ , y = 0, symbol x mod y oznacza resztę
z dzielenia x przez y:
x mod y = x − y · x/y.
Zbiory:
= {0, 1, 2, . . .}
– zbiór liczb naturalnych
= {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} – zbiór liczb całkowitych
= {0, 1}
– zbiór liczb rzeczywistych
– zbiór liczb zespolonych
6
7
Dla dowolnego zbioru A, zapis x ∈ A oznacza,
że x jest elementem tego zbioru.
Dla zbiorów A, B, zapis A ⊆ B oznacza, że A jest
podzbiorem zbioru B.
Zapis A ⊂ B oznacza, że A jest
podzbiorem właściwym zbioru B, tzn.
A⊂B
⇔
(A ⊆ B) ∧ (B \ A = ∅).
8
Zbiory:
∅
– zbiór pusty
{a} – zbiór jednoelementowy, zawierający tylko element a
{a1, a2, . . . , an} – zbiór, którego elementami są a1, a2, . . . , an
{x ∈ X : W (x)}
– zbiór tych elementów zbioru X, dla
których funkcja zdaniowa W (x), x ∈ X,
staje się zdaniem prawdziwym
|X|
P(X)
– liczność (moc) zbioru skończonego X
– rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X
Operacje na zbiorach:
∪ – suma (mnogościowa) zbiorów
∩ – przecięcie zbiorów
\ – różnica zbiorów
⊗ – różnica symetryczna zbiorów
× – iloczyn kartezjański zbiorów
9
Diagramy Venna
10
Dla a, b ∈ E, gdzie E jest dowolnym zbiorem,
symbol (a, b) oznacza parę uporządkowaną
o poprzedniku a i następniku b.
Iloczyn kartezjański zbiorów A i B
A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
11
12
RELACJE BINARNE
Definicja
Relacją binarną w iloczynie kartezjańskim zbiorów A i B
nazywamy dowolny podzbiór zbioru A × B.
W przypadku, gdy oba zbiory są identyczne, tzn. A = X oraz B = X,
mówimy o relacji binarnej w zbiorze X.
Jeśli R ⊆ A×B jest relacją binarną w iloczynie kartezjańskim zbiorów
A i B, to dla zaznaczenia faktu, że para (a, b) jest elementem relacji R
piszemy:
(a, b) ∈ R
albo
aRb
13
Zbiór wszystkich poprzedników par należących do relacji R nazywamy
dziedziną relacji R.
Zbiór wszystkich następników par należących do relacji R nazywamy
przeciwdziedziną relacji R.
W iloczynie kartezjańskim zbiorów A i B możemy zdefiniować co najwyżej 2m·n różnych relacji binarnych, gdzie m = |A| oraz n = |B|, bowiem
dokładnie tyle elementów liczy rodzina wszystkich podzbiorów zbioru
A × B.
R=∅
– relacja pusta w A × B
R =A×B
– relacja pełna w A × B
GRAF RELACJI
A = {1, 2, 3, 4}, B = {{1, 2}, {1, 4}}
R ⊆ A × B – relacja przynależności do zbioru w A × B
R = {(1, {1, 2}), (1, {1, 4}), (2, {1, 2}), (4, {1, 4})}
Dziedzina relacji R: {1, 2, 4}
Przeciwdziedzina relacji R: {{1, 2}, {1, 4}}
14
TABLICA RELACJI
A = {1, 2, 3, 4}, B = {{1, 2}, {1, 4}}
R ⊆ A × B – relacja przynależności do zbioru w A × B
R = {(1, {1, 2}), (1, {1, 4}), (2, {1, 2}), (4, {1, 4})}
Dziedzina relacji R: {1, 2, 4}
Przeciwdziedzina relacji R: {{1, 2}, {1, 4}}
15
R⊆X ×X
16
– relacja w zbiorze X
O relacji R mówimy, że jest:
zwrotna – jeśli xRx dla każdego x ∈ X
przechodnia – jeśli (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz dla dowolnych
x, y, z ∈ X
symetryczna – jeśli xRy ⇒ yRx dla dowolnych x, y ∈ X
antysymetryczna – jeśli (xRy∧yRx) ⇒ x = y dla dowolnych
x, y ∈ X
17
Definicja
Relacją równoważności w zbiorze X nazywamy relację,
która jest zwrotna, przechodnia i symetryczna.
Relacja równoważności R w zbiorze X dzieli ten zbiór na podzbiory,
nazywane klasami równoważności (albo – klasami abstrakcji) relacji R
w zbiorze X.
Dla x ∈ X definiujemy zbiór oznaczany symbolem x/R, gdzie
x/R = {y ∈ X : xRy}.
Zbiór taki nazywamy klasą abstrakcji relacji R wyznaczoną przez
element x.
Zbiór wszystkich klas abstrakcji relacji R w zbiorze X oznaczamy
symbolem X/R.
18
Przykład
Rozważmy relację oznaczoną symbolem , zdefiniowaną
w zbiorze + = {x ∈ : x 0} w sposób następujący:
x y wtedy i tylko wtedy, gdy x − y ∈ .
Relacja jest symetryczna, zwrotna i przechodnia,
a zatem jest relacją równoważności.
Klasą abstrakcji tej relacji, wyznaczoną przez element
x ∈ + , jest zbiór liczb rzeczywistych, które mają tę samą
część ułamkową co x.
19
Definicja
Relacją częściowego porządku w zbiorze X nazywamy
relację, która jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna.
Parę uporządkowaną (X, ), gdzie X jest dowolnym
zbiorem, a jest relacją częściowego porządku w X,
nazywamy zbiorem (częściowo) uporządkowanym.
20
Przykład
Rozważmy relację podzielności, oznaczaną symbolem | ,
którą definiujemy w zbiorze liczb naturalnych w sposób
następujący:
a | b dla a, b ∈ wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje k ∈ , dla którego b = k · a.
Relacja podzielności w jest zwrotna, przechodnia
i antysymetryczna, a zatem jest relacją częściowego
porządku.
21
FUNKCJE
Definicja
Funkcją ze zbioru X w zbiór Y nazywamy dowolną relację
f ⊆ X × Y , mającą tę właściwość, że dla każdego x ∈ X
istnieje dokładnie jeden element y ∈ Y , taki że (x, y) ∈ f .
Dziedziną relacji f ⊆ X × Y , będącej funkcją, jest więc cały zbiór X.
Ponieważ dla danego elementu x, należącego do dziedziny funkcji f ,
istnieje dokładnie jedna para (x, y) ∈ f , zwykle piszemy y = f (x) na
oznaczenie faktu, że (x, y) ∈ f . Taki element y ∈ Y nazywamy wartością
funkcji f dla argumentu x.
Dla zaznaczenia, że relacja f ⊆ X × Y jest funkcją, stosujemy zapis:
f :X→Y
22
Zbiór wszystkich funkcji f : X → Y oznaczamy symbolem F un(X, Y ).
Dla dowolnego zbioru A ⊆ X oraz funkcji f ∈ F un(X, Y ),
zbiór f (A) ⊆ Y , gdzie
f (A) = {y ∈ Y : istnieje x ∈ A, taki że y = f (x)},
nazywamy obrazem zbioru A przez funkcję f .
Dla podzbioru B ⊆ Y , zbiór
f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B}
nazywamy przeciwobrazem zbioru B przez funkcję f .
Rodzinę przeciwobrazów wszystkich jednoelementowych podzbiorów
zbioru Y , to znaczy rodzinę
N (f ) = {f −1 ({y}), y ∈ Y },
nazywamy jądrem funkcji f .
23
SURJEKCJE
Jeśli dla funkcji f ∈ F un(X, Y ) zachodzi warunek f (X) = Y ,
to mówimy, że jest to funkcja ze zbioru X na zbiór Y .
Funkcja o tej własności nazywana jest też surjekcją.
Podzbiór wszystkich surjekcji w zbiorze F un(X, Y )
oznaczamy symbolem Sur(X, Y ).
24
INJEKCJE
Jeśli f ∈ F un(X, Y ) oraz dla dowolnych elementów
a, b ∈ X zachodzi warunek
a = b ⇒ f (a) = f (b),
to funkcję f nazywamy funkcją różnowartościową
lub injekcją.
Podzbiór wszystkich injekcji w zbiorze F un(X, Y )
oznaczamy symbolem Inj(X, Y ).
BIJEKCJE
Funkcja, która jest jednocześnie surjekcją i injekcją,
jest nazywana bijekcją.
Podzbiór wszystkich bijekcji w zbiorze F un(X, Y )
oznaczamy symbolem Bij(X, Y ).
25
26
CIĄGI
Funkcję f ∈ F un(X, Y ), której dziedziną jest k-elementowy
zbiór liczb naturalnych X = {0, 1, 2, . . . , k − 1} (albo X =
{1, 2, . . . , k}), nazywamy k-elementowym ciągiem o wyrazach ze zbioru Y i oznaczamy symbolem (a0, a1, . . . , ak−1)
(albo (a1, . . . , ak )).
Jeśli dla dowolnych dwóch różnych argumentów, wartości tej funkcji
są różne, to wówczas mówimy o ciągu różnowartościowym.
27
ZAGADNIENIA ZLICZANIA
¯ Na ile sposobów można przydzielić n programów do m
procesorów?
¯ Ile nazw plików można utworzyć przy zadanym alfabecie
i zadanych ograniczeniach na długość nazwy?
¯ Na ile sposobów można rozmieścić n obiektów w m
pudełkach, jeśli istotna jest kolejność obiektów?
¯ Na ile sposobów można skonstruować system wieloprocesorowy typu hypercube mając do dyspozycji zadany
zestaw procesorów?
¯ Ile jest różnych łańcuchów DNA, zawierających dane liczby
nukleotydów C, G, T, A ?
28
ZLICZANIE FUNKCJI
Dane są zbiory skończone X, Y
Ile elementów ma zbiór F un(X, Y ) ?
Twierdzenie
Jeśli |X| = n oraz |Y | = m, to liczba wszystkich funkcji
f : X → Y jest równa mn.
|F un(X, Y )| = |Y ||X| = mn
29
X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2, y3, y4}

















X × Y = 












(x1, y1),
(x1, y2),
(x1, y3),
(x1, y4),
(x2, y1),
(x2, y2),
(x2, y3),
(x2, y4),
(x3, y1),
(x3, y2),
(x3, y3),
(x3, y4)

































Przykład funkcji w X × Y :

















f = 












(x1, y3),
(x2, y1),
(x3, y1),

































30
Ile elementów ma zbiór Inj(X, Y ) ?
Twierdzenie
Jeśli |X| = n oraz |Y | = m, to liczba wszystkich funkcji
różnowartościowych f : X → Y jest równa
m · (m − 1) · . . . · (m − n + 1).
Oznaczenie (n-ta potęga ubywająca liczby m):
Dla m, n ∈ , 0 < n m,
mn = m · (m − 1) · . . . · (m − n + 1)
Dla m < n, mn = 0
Dla m ∈ przyjmujemy, że m0 = 1
|Inj(X, Y )| = mn
31
Ile elementów ma zbiór Bij(X, Y ) ?
Wniosek
Jeśli |X| = |Y | = n, to liczba wszystkich bijekcji w zbiorze
F un(X, Y ) jest równa
nn = n · (n − 1) · . . . · 1
Oznaczenie (n silnia)
Dla 0 < n ∈ n! = nn = n · (n − 1) · . . . · 1
0! = 00 = 1
|Bij(X, Y )| = n!
32
Permutacje
Definicja
Permutacją zbioru X nazywamy dowolną funkcję
różnowartościową f ∈ F un(X, X).
Wniosek
Liczba wszystkich permutacji zbioru n-elementowego
jest równa n!.
Dla n ∈ ,
n>0


√
n
n


n! ≈ 2πn   ,
e
gdzie e jest podstawą logarytmów naturalnych, e ≈ 2, 7182 . . . .
Rozmieszczenia uporządkowane
Dane: n obiektów, m pudełek
Wszystkie rozmieszczenia uporządkowane obiektów ze zbioru {a, b}
w trzech pudełkach.
33
Oznaczenie ( n-ta potęga przyrastająca liczby m )
Dla m, n ∈ , n > 0:
mn = m · (m + 1) · . . . · (m + n − 1).
Dla m ∈ przyjmiemy, że m0 = 1.
Twierdzenie
Liczba wszystkich rozmieszczeń uporządkowanych
n obiektów w m pudełkach jest równa mn.
34
35
Twierdzenie
Dla m, n ∈ , dla których wyrażenia poniższe są dobrze
określone, zachodzą następujące tożsamości:
1n = n!
(1)
mn = (m + n − 1)n
(2)
mn = mn−1 · (m − n + 1)
(3)
mn = (m − 1)n−1 · m
n!
n
m−n
m = m
·
(m − n)!
m
n
n
m = (m − 1) ·
m−n
m!
n
m =
(m − n)!
(4)
(5)
(6)
(7)
36
PERMUTACJE
Permutacją zbioru X nazywamy dowolną funkcję różnowartościową
f : X → X.
Zapis permutacji f w postaci tablicy:
– w górnym wierszu umieszczamy elementy zbioru X,
– pod nimi w dolnym wierszu – odpowiednie wartości funkcji f
dla tych argumentów.
Przykład X = {a, b, c, d} f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b.
Zapis permutacji f w postaci tablicy jest następujący:


a b c d 
 .
f=

d a c b







37
Jeśli X = {1, . . . , n}, to permutacje zbioru X są
ciągami różnowartościowymi o wyrazach ze zbioru X.
Permutację f : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} identyfikujemy
z wektorem
(a1, . . . , an),
gdzie ai = f (i),
i = 1, . . . , n.
Oznaczenie
Zbiór wszystkich permutacji zbioru {1, . . . , n} oznaczamy
symbolem Sn.
38
Składanie permutacji
Wynikiem złożenia dwóch permutacji f i g ze zbioru Sn
jest również permutacja należąca do tego zbioru, którą
oznaczamy symbolem f g.
Zgodnie z zasadą składania funkcji mamy:
f g(i) = f (g(i)) dla i = 1, . . . , n
Permutację f nazywamy permutacją zewnętrzną,
natomiast permutację g – permutacją wewnętrzną.
39
Przy składaniu permutacji istotna jest ich kolejność.
W ogólnym przypadku permutacja f g jest różna od
permutacji gf .
Przykład
Rozważmy dwie permutacje f oraz g zbioru {1, . . . , n}, gdzie


1 2 3 4 5 
f=
,
5 3 2 1 4







1 2 3 4 5 
g=
.
2 5 3 1 4





Złożeniem permutacji f i g jest następująca permutacja f g:


1 2 3 4 5 
fg =
.
3 4 2 5 1





Natomiast złożeniem permutacji g i f jest permutacja gf :


1 2 3 4 5 
gf =
.
4 3 5 2 1





40
Permutacja identycznościowa
e ∈ Sn
e(i) = i dla i = 1, . . . , n


1 2 . . . n 

e=

1 2 ... n







Dla każdego f ∈ Sn mamy zależności
ef = f e = f
41
Permutacja odwrotna
Permutacją odwrotną do permutacji f ∈ Sn nazywamy
permutację f −1 ∈ Sn, spełniającą warunek f −1f = e.
Dla każdej permutacji f ∈ Sn permutacja odwrotna
istnieje i jeśli




 . . . i . . . 





 ,
f = 

... j ...
to




 . . . j . . . 



 .
f −1 = 

... i ...
Działanie dwuargumentowe (operacja binarna)
S, T – zbiory
Definicja
Działaniem dwuargumentowym w zbiorze S nazywamy
dowolną funkcję ze zbioru S × S w zbiór T .
Zwykle dla oznaczenia działania dwuargumentowego stosujemy
specjalny symbol (na przykład ∗, +, − itp.). Na oznaczenie faktu,
że element c ∈ T jest wartością funkcji ∗ dla argumentu, będącego
parą uporządkowaną (a, b) ∈ S × S, piszemy a ∗ b = c.
W przypadku złożenia permutacji symbol działania jest zwykle
pomijany dla uproszczenia zapisu.
42
Grupa
Definicja
Parę uporządkowaną (S, ∗), gdzie S jest zbiorem,
a ∗ jest działaniem dwuargumentowym w S,
nazywamy grupą, jeśli:
¯ dla dowolnych a, b ∈ S, a ∗ b ∈ S;
¯ dla dowolnych a, b, c ∈ S, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c);
¯ istnieje taki element e ∈ S, że dla każdego a ∈ S,
a ∗ e = a;
¯ dla każdego a ∈ S istnieje taki element a−1 ∈ S,
dla którego a ∗ a−1 = e.
43
Liczność zbioru S nazywamy rzędem grupy (S, ∗).
Element e w definicji grupy nazywamy elementem
neutralnym grupy.
Element a−1, dla którego a ∗ a−1 = e, nazywamy
elementem odwrotnym dla elementu a.
Jeśli rząd grupy spełnia warunek |S| < ∞, to grupę
taką nazywamy grupą skończoną.
44
Grupa symetryczna stopnia n
Zbiór permutacji Sn z działaniem złożenia spełnia
wszystkie warunki definicji grupy; grupa ta jest
nazywana grupą symetryczną stopnia n.
¯ Wynikiem złożenia permutacji f, g ∈ Sn jest permutacja f g ∈ Sn.
¯ Dla dowolnych permutacji f, g, h ∈ Sn mamy (f g)h = f (gh).
¯ Elementem neutralnym grupy Sn jest permutacja e.
¯ Elementem odwrotnym dla elementu f ∈ Sn jest permutacja
odwrotna f −1 ∈ Sn.
45
46
Grupa permutacji stopnia n
Definicja
Grupą permutacji stopnia n nazywamy dowolny podzbiór
G ⊆ Sn, spełniający następujące warunki:
¯
f ∈ G ∧ g ∈ G ⇒ fg ∈ G
¯
f ∈ G ⇒ f −1 ∈ G
dla wszystkich f, g ∈ G;
dla każdego f ∈ G.
47
Przykład
Rozważmy zbiór S4 = {π1, . . . , π24}, składający się ze wszystkich
permutacji zbioru {1, 2, 3, 4}.
Niech G = {π1, π2, π3, π4} będzie podzbiorem zbioru S4, przy czym


1 2 3 4 
 ,
π1 =

1 2 3 4









1 2 3 4 
 ,
π3 =

1 2 4 3









1 2 3 4 
 ,
π2 =

2 1 3 4









1 2 3 4 
 .
π4 =

2 1 4 3







Zbiór G z działaniem złożenia jest grupą permutacji stopnia 4.
Rząd tej grupy jest równy 4.
Elementem neutralnym jest permutacja π1.
48
Rozkład permutacji na cykle rozłączne
Przykład


1 2 3 4 5 

f=

5 3 2 1 4







Rysunek grafu permutacji f :
(ai1 , . . . , aik ) – ciąg różnowartościowy o wyrazach
w zbiorze {1, . . . , n}
Definicja
Permutację π ∈ Sn nazywamy cyklem wyznaczonym
przez ciąg (ai1 , . . . , aik ), jeśli:
π(aij ) = aij+1
dla j = 1, . . . , k − 1;
π(aik ) = ai1 ;
π(al ) = al
dla l = i1, . . . , ik .
Cykl wyznaczony przez ciąg (ai1 , . . . , aik ), oznaczamy
symbolem [ai1 , . . . , aik ].
Liczbę k nazywamy długością cyklu.
49
50
Rysunek grafu permutacji π ∈ Sn, będącej cyklem
wyznaczonym przez ciąg (ai1 , . . . , aik ):
Cykle wyznaczone przez ciągi (ai1 , . . . , aik ) oraz (ai1 , . . . , ail )
nazywamy cyklami rozłącznymi, jeśli
{ai1 , . . . , aik } ∩ {ai1 , . . . , ail } = ∅
51
Definicja
Rozkładem permutacji f ∈ Sn na cykle rozłączne
nazywamy zbiór cykli parami rozłącznych, których
złożeniem jest permutacja f .
Rozkład permutacji na cykle rozłączne jest wyznaczony
jednoznacznie.
Dla permutacji f ze zbioru Sn jej rozkład na cykle rozłączne zawiera
od jednego do n elementów. Z pierwszą sytuacją mamy do czynienia w
przypadku permutacji, która sama jest cyklem o długości n, natomiast
druga dotyczy permutacji identycznościowej.
52
Przykład


1 2 3 4 5 

f=

5 3 2 1 4











 1 2 3 4 5 



 = [1, 5, 4],
f = 


5 2 3 1 4




 1 2 3 4 5 



 = [2, 3]
f = 


1 3 2 4 5
f = f f = f f = [1, 5, 4][2, 3] = [2, 3][1, 5, 4]
53
Typ permutacji
Mówimy, że permutacja f ∈ Sn jest typu (λ1, . . . , λn), jeśli
jej rozkład na cykle rozłączne zawiera dokładnie λi cykli o
długości i dla i = 1, . . . , n.
Typ permutacji będziemy również podawać w postaci następującego
równoważnego zapisu:
1λ1 2λ2 . . . nλn .
Często dla uproszczenia będziemy pomijać w takim zapisie elementy,
dla których λi = 0.
54
Przykład
Rozważmy permutację f ∈ S9, gdzie


1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 .
f=

7 5 1 4 2 3 6 9 8







Rozkład tej permutacji na cykle rozłączne ma postać:
f = [1, 7, 6, 3][2, 5][4][8, 9].
Permutacja f jest więc typu
(1, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0),
co możemy również zapisać w postaci
1 1 22 41 .
55
Inwersje permutacji
Definicja
Inwersją permutacji f = (a1, . . . , an) ∈ Sn nazywamy
parę (ai, aj ), dla której
i < j n oraz ai > aj .
Liczbę wszystkich inwersji permutacji f oznaczamy
symbolem I(f ).
56
Znak permutacji
Definicja
Znakiem permutacji f ∈ Sn nazywamy liczbę
sgn(f ) = (−1)I(f ).
Permutację f nazywamy:
permutacją parzystą, jeśli sgn(f ) = 1,
permutacją nieparzystą, jeśli sgn(f ) = −1.
57
Przykład
Rozważmy permutację f ∈ S5, gdzie


1 2 3 4 5 
 .
f=

5 3 2 1 4







Inwersjami tej permutacji są następujące pary:
(5, 3), (5, 2), (5, 1), (5, 4), (3, 2), (3, 1), (2, 1).
Zatem I(f ) = 7
oraz
sgn(f ) = (−1)7 = −1.
Permutacja f jest więc permutacją nieparzystą.
58
Transpozycje
Definicja
Transpozycją nazywamy permutację, która jest cyklem o
długości 2.
Permutacją odwrotną do dowolnej transpozycji jest ta
sama permutacja.
Jeśli permutacja t ∈ Sn jest transpozycją o postaci [i, i + 1]
dla pewnego i ∈ {1, . . . , n−1}, to taką permutację nazywamy
transpozycją sąsiednich elementów.
59
Twierdzenie
Dowolną permutację f ∈ Sn można przedstawić w postaci
złożenia I(f ) transpozycji sąsiednich elementów.
Jeśli f = (a1, . . . , an) ∈ Sn oraz t = [i, i + 1] dla pewnego
i = 1, . . . , n − 1, to
f t = (a1, . . . , ai−1, ai+1, ai, ai+2, . . . , an)
Przykład f = (2, 4, 3, 5, 1) ∈ S5,
I(f ) = 5
f [4, 5][3, 4][2, 3][1, 2][3, 4] = e
f = (2, 4, 3, 5, 1) = ([4, 5][3, 4][2, 3][1, 2][3, 4])−1 = [3, 4][1, 2][2, 3][3, 4][4, 5]
M. Rejewski – An application ot the theory
of permutations in breaking the Enigma cipher.
Applicationes Mathematicae, (1980) nr 4.
60
61
Dla f ∈ Sn i dowolnej transpozycji sąsiednich elementów
t ∈ Sn mamy sgn(f t) = −sgn(f ).
sgn(f g) = sgn(f t1 . . . tI(g)) = sgn(f ) · (−1)I(g) = sgn(f ) · sgn(g).
Twierdzenie
Dla dowolnych permutacji f, g ∈ Sn,
sgn(f g) = sgn(f ) · sgn(g).
Wniosek
Dla dowolnej permutacji f ∈ Sn,
sgn(f −1) = sgn(f ).
62
Twierdzenie
Każda transpozycja jest permutacją nieparzystą.
Twierdzenie
Znak cyklu o długości k jest równy (−1)k−1.
[a1, . . . , ak ] = [a1, a2][a2, a3] . . . [ak−1, ak ].
Twierdzenie
Znak dowolnej permutacji f typu 1λ1 . . . nλn wyraża się
wzorem
sgn(f ) = (−1)
n/2
j=1 λ2j .
Przykład
63
Rozważmy permutację


1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 .
f=

7 5 1 4 2 3 6 9 8







Rozkładając f na cykle rozłączne otrzymujemy:
f = [1 7 6 3][2 5 ][4][8 9].
Permutacja f jest więc typu
11 22 41 .
Z twierdzenia o znaku mamy:
sgn(f ) = (−1)
4 λ
j=1 2j
= (−1)λ2+λ4+λ6+λ8 = (−1)2+1 = −1.
Permutacja f jest zatem permutacją nieparzystą.
64
PODZBIORY ZBIORÓW SKOŃCZONYCH
X = {x1, . . . , xn}
P(X) – rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X
Ile jest wszystkich podzbiorów zbioru X?
|P(X)| = 2|X|
65
Wektory charakterystyczne podzbiorów
Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między
elementami zbioru P(X) dla |X| = n a elementami zbioru
n.
Każdemu podzbiorowi Y ⊆ X = {x1, . . . , xn} odpowiada
jednoznacznie wektor
ξ(Y ) = (b1, . . . , bn) ∈ n
nazywany wektorem charakterystycznym zbioru Y , gdzie
bi = xi ∈ Y dla i = 1, . . . , n.
Podobnie, wektorowi b = (b1, . . . , bn) ∈ n możemy jednoznacznie przyporządkować podzbiór Y zbioru X = {x1, . . . , xn},
biorąc Y = {xi ∈ X : bi = 1, i = 1, . . . , n}.
66
Generowanie wszystkich podzbiorów zbioru X
Wektory charakterystyczne ξ(Y ) ∈ n dla Y ⊆ X, można
traktować jako zapisy w dwójkowym systemie pozycyjnym
wszystkich 2n liczb naturalnych z przedziału domkniętego
[0, 2n − 1].
Metoda wyznaczenia elementów rodziny P(X):
Wypisz kolejno podzbiory zbioru X, których wektory
charakterystyczne są reprezentacjami dwójkowymi
kolejnych liczb naturalnych z przedziału [0, 2|X| − 1].
Przykład
67
Dany jest zbiór X = {a, b, c}
W kolejnych wierszach tabeli wypisane są: podzbiór Y zbioru X, jego
wektor charakterystyczny ξ(Y ) i liczba naturalna η(Y ), dla której ten
wektor jest reprezentacją w systemie dwójkowym.
Y
∅
{c}
{b}
{b, c}
{a}
{a, c}
{a, b}
{a, b, c}
ξ(Y ) η(Y )
(0, 0, 0) 0
(0, 0, 1) 1
(0, 1, 0) 2
(0, 1, 1) 3
(1, 0, 0) 4
(1, 0, 1) 5
(1, 1, 0) 6
(1, 1, 1) 7
( ∅, {c}, {b}, {b, c}, {a}, {a, c}, {a, b}, {a, b, c} )
68
( ∅, {a}, {a, b}, {b}, {b, c}, {a, b, c}, {a, c}, {c} )
69
70
Kod Graya rzędu n:
Ciąg wszystkich wektorów należących do zbioru n ,
uporządkowanych w taki sposób, aby sąsiednie wektory
ciągu oraz wektory pierwszy i ostatni różniły się dokładnie
na jednej pozycji.
Taki ciąg wektorów ze zbioru n istnieje dla dowolnego
n 1 i nosi nazwę kodu Graya rzędu n.
Na przykład w przypadku n = 3 jeden z możliwych kodów Graya
rzędu 3 ma postać następującego ciągu:
( (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1) )
71
Zwierciadlany kod Graya
Jeśli mamy kod Graya rzędu k dla pewnego k ∈ , k 1,
zapisany w postaci ciągu:
( (C1), (C2), . . . , (Cm−1), (Cm) ),
gdzie m = 2k , (Ci) ∈ k , to następujący ciąg wektorów
należących do k+1 jest kodem Graya rzędu k + 1:
( (C1, 0), (C2, 0), . . . , (Cm−1, 0), (Cm, 0),
(Cm, 1), (Cm−1, 1), . . . , (C2, 1), (C1, 1) ).
Zapisy (Ci, 0) oraz (Ci, 1) oznaczają dla k-elementowego wektora (Ci),
gdzie i = 1, . . . , m, odpowiednio (k + 1)-elementowe wektory, otrzymywane przez uzupełnienie wektora (Ci) przez zero albo jedynkę na ostatniej pozycji.
72
Przykład
Kody Graya rzędu n dla n = 1, 2, 3, 4
(dla uproszczenia zapisu pominięte są nawiasy i przecinki
w oznaczeniach wektorów):
n=1
n=2
n=3
n=4
0 1
00 10 11 01
000 100 110 010 011 111
0000 1000 1100 0100 0110
0011 1011 1111 0111 0101
101 001
1110 1010
1101 1001
0010
0001
73
Podzbiory k-elementowe zbiorów skończonych
X = {x1, . . . , xn} – zbiór,
k – liczba naturalna
Ile jest wszystkich różnych podzbiorów zbioru X,
mających dokładnie k elementów?
Liczbę k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego
będziemy oznaczać symbolem
 
n
 
 
 
 
k
i nazywać współczynnikiem dwumianowym.
Symbol n w tym zapisie nazywamy indeksem górnym, natomiast
symbol k – indeksem dolnym.
74
Wzór dwumianowy Newtona
Dla x, y ∈ oraz n ∈ zachodzi następująca równość:


n n i n−i
n
  x y
.
(x + y) =
 
i=0 i
75
Twierdzenie







n!
n nk n(n − 1) . . . (n − k + 1)
 =
=
=

k!
1 · 2 · ... · k
k! (n − k)!
k
Dowód Dowolna injekcja f ∈ F un(A, X), gdzie |A| = k oraz |X| = n,
wyznacza dokładnie jeden k-elementowy podzbiór f (A) n-elementowego
zbioru X. Liczba wszystkich takich funkcji jest równa nk .
Ale jednocześnie dla f ∈ F un(A, X) oraz dowolnej permutacji π zbioru
A również funkcja f π ∈ F un(A, X) wyznacza ten sam podzbiór.
Oznacza to, że liczba wszystkich różnych podzbiorów k-elementowych
zbioru n-elementowego jest dokładnie k! razy mniejsza niż liczba injekk
cji w zbiorze F un(A, X), to znaczy jest równa nk! .
Pozostałe zależności otrzymuje się w wyniku prostych przekształceń
algebraicznych.
76
Współczynniki dwumianowe – tożsamości











n n − 1 n − 1
 = 
 + 





k
k
k − 1




n  n 
 = 



k
n − k







n
n
 = 2

i=0 i
n







n
i ·  = n · 2n−1
i
i=0
n
















m + n
k m  n 
 =

 · 





s=0 s
k
k − s
Trójkąt Pascala
77
78
Współczynniki wielomianowe
Ile jest wszystkich funkcji f ∈ F un(X, Y ), gdzie |X| = n,
Y = {1, . . . , m}, dla których |f −1({i})| = ki, i = 1, . . . , m?
Liczbę takich funkcji oznaczamy symbolem








n



k1 k2 . . . km
i nazywamy współczynnikiem wielomianowym.
Symbol n w tym zapisie nazywamy indeksem górnym, natomiast
symbole k1, . . . , km – indeksami dolnymi.
79
Twierdzenie
Dla n ∈ oraz liczb naturalnych k1, k2, . . . , km,
spełniających warunek k1 + k2 + . . . + km = n,
zachodzi równość








n
n!


 =
.

k1! · k2! · . . . · km!
k1 k2 . . . km
Dla m = 2 oraz k1 = k i k2 = n − k,
gdzie k, n ∈ , k n, mamy:












n


n
n
n!

 



 


 =
  = 
.
=

 

k! (n − k)!
k n−k
k
n − k k
80
Przykład Sekwencjonowanie RNA
Interesuje nas struktura fragmentu łańcucha RNA, o którym wiemy,
że składa się z dziesięciu nukleotydów. Wiemy ponadto, że w łańcuchu
występuje czterokrotnie adenina (A), trzykrotnie guanina (G), dwukrotnie cytozyna (C) i jeden raz uracyl (U). Dodatkowo wiemy, że na
początku łańcucha znajduje się guanina.
Chcemy policzyć, ile jest wszystkich różnych łańcuchów RNA zgodnych z taką analizą.
Mamy tutaj m = |{A, G, C, U }| = 4, k1 = 4, k2 = 2, k3 = 2, k4 = 1, n = 9.
Liczba wszystkich możliwych łańcuchów RNA, odpowiadających powyższym warunkom jest równa:











9!
n
9 




 = 
 =
= 3780 .



k1 k2 k3 k4
4221
4! · 2! · 2! · 1!
81
Wzór wielomianowy
Twierdzenie
Dla m, n ∈ oraz x1, . . . , xm ∈ równość:
zachodzi następująca

(x1 + . . . + xm)n =
k1, . . . , km ∈ k1 + . . . + km = n







n
k1

km .

 · x
·
.
.
.
·
x
m
k1 . . . km 1
82
Tożsamości dla współczynników wielomianowych



n

n

 = m

k
.
.
.
k
m
k1, . . . , km ∈ 1
k1 + . . . + km=n








n



k1 k2 k3 . . . km






=








n−1


 +
k1 − 1 k2 k3 . . . km


n−1


 + . . .
+
k1 k2 − 1 k3 . . . km








n−1



... +
k1 k2 k3 . . . km − 1





83
Dla zbioru z powtórzeniami Q = (X, (k1, . . . , kn)) stosujemy
następujące oznaczenie:
Q = k1 ∗ x1, . . . , kn ∗ xn .
Liczność zbioru z powtórzeniami Q = k1 ∗ x1, . . . , kn ∗ xn
oznaczamy symbolem |Q| i definiujemy jako sumę krotności
wszystkich jego elementów, tzn.
|Q| = k1 + . . . + kn.
84
Podzbiory zbioru z powtórzeniami
Zbiór z powtórzeniami S = m1 ∗ x1, . . . , mn ∗ xn jest
podzbiorem zbioru z powtórzeniami Q = k1 ∗ x1, . . . , kn ∗ xn
wtedy i tylko wtedy, gdy
0 mi ki dla każdego i = 1, . . . , n.
Dla zaznaczenia faktu, że S jest podzbiorem zbioru
z powtórzeniami Q, używamy zapisu:
S ⊆ Q.
85
Rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru z powtórzeniami
Q oznaczamy symbolem
P(Q).
Liczba wszystkich podzbiorów zbioru z powtórzeniami
Q = k1 ∗ x1, . . . , kn ∗ xn jest równa
|P(Q)| = (1 + k1) · (1 + k2) · . . . · (1 + kn).
86
Podzbiory k-elementowe zbioru z powtórzeniami
Twierdzenie
Liczba wszystkich k-elementowych podzbiorów zbioru
z powtórzeniami k1 ∗ x1, . . . , kn ∗ xn, gdzie ki k
dla i = 1, . . . , n, jest równa


n + k − 1
.
=

k!
k
nk





Przykład
87
Rozważmy liniowe równanie diofantyczne:
x1 + x2 + . . . + xn = k.
(∗)
Chcemy wyznaczyć liczbę wszystkich nieujemnych rozwiązań równania (*), czyli liczbę wektorów (x1, . . . , xn) ∈ n ,
spełniających powyższą równość.
Każdy taki wektor (x1, . . . , xn) ∈ n jednoznacznie odpowiada k-elementowemu podzbiorowi x1∗z1, . . . , xn∗zn zbioru
z powtórzeniami Q = k ∗ z1, . . . , k ∗ zn.
Liczba wszystkich nieujemnych całkowitoliczbowych rozwiązań równania (*) jest więc równa liczbie wszystkich
n+k−1
k-elementowych podzbiorów zbioru Q, tzn.
.
k
88
PODZIAŁY ZBIORU NA BLOKI
X – zbiór skończony
k – liczba naturalna
Definicja
Podziałem zbioru skończonego X na k bloków nazywamy
rodzinę zbiorów A = {A1, . . . , Ak }, spełniającą następujące
warunki:
(i)
Ai = ∅ dla 1 i k;
(ii) A1 ∪ . . . ∪ Ak = X;
(iii) Ai ∩ Aj = ∅ dla 1 i < j k.
Podzbiory A1, . . . , Ak , nazywamy blokami podziału A.
89
Przykład
X = {a, b, c, d},
k=3
Istnieje dokładnie sześć podziałów zbioru X na trzy bloki:
A1 = { {a}, {b}, {c, d} },
A2 = { {a}, {b, c}, {d} },
A3 = { {a, b}, {c}, {d} },
A4 = { {a, c}, {b}, {d} },
A5 = { {a}, {b, d}, {c} },
A6 = { {a, d}, {b}, {c} }.
90
Oznaczenia:
Πk (X) – zbiór wszystkich podziałów zbioru X na k bloków;
Π(X) – zbiór wszystkich podziałów zbioru X.
Π(X) = Π1(X) ∪ . . . ∪ Πn(X).



n 
= |Πk (X)|, gdzie |X| = n.




k
Wielkości { nk } noszą nazwę liczb Stirlinga drugiego
rodzaju albo liczb podzbiorowych Stirlinga.
91
Liczby Stirlinga drugiego rodzaju
Przyjmiemy, że istnieje dokładnie
jeden podział zbioru

0
pustego na 0 bloków, tzn.  0  = 1.



n 
= 0 dla k > n




k



n 
= 1 dla n 0




n



n 
= 0 dla n > 0




0



n 
= 1 dla n > 0




1
92
Wyznaczanie liczby podziałów zbioru na bloki
Twierdzenie
Dla n ∈ oraz k ∈ , gdzie 0 < k < n, zachodzi
następująca równość:




















n
n−1
n−1
= 
+ k · 
.












k
k−1
k






93
Liczby Bella
Liczności zbioru |Π(X)|, gdy |X| = n, n ∈ nazywamy
n-tą liczbą Bella i oznaczamy symbolem Bn.
Zachodzi następująca równość:
n 
Bn =




k=0 k
n



Tabela liczb Stirlinga drugiego rodzaju
dla k, n = 0, 1, . . . , 10.
94
n
k
i liczb Bella Bn
95
Wyznaczanie wszystkich podziałów zbioru na bloki
Załóżmy, że dla pewnego k, gdzie 1 k < n, mamy rodzinę zbiorów
A = {A1, . . . , Al }, będącą podziałem zbioru {1, . . . , k − 1} na bloki.
Wówczas następujące rodziny zbiorów są podziałami zbioru {1, . . . , k}:
{A1 ∪ {k}, A2, . . . , Al },
{A1, A2 ∪ {k}, . . . , Al },
..
{A1, A2, . . . , Al ∪ {k}},
{A1, A2, . . . , Al , {k} }.
Zaczynając od rodziny, która zawiera tylko jednoelementowy zbiór
{1}, i powtarzając opisany wyżej krok procedury rekurencyjnej n − 1
razy, otrzymamy drzewo, którego liście odpowiadają wszystkim możliwym podziałom zbioru {1, . . . , n}.
Przykład Drzewo podziałów zbioru {1, 2, 3}.
96
97
Tożsamości dla liczb Stirlinga i liczb Bella
Dla k, n, x ∈ zachodzą następujące równości:






n
n
n



n
n
n−k
n.
·
x
=
(−1)
·
·
x
x =







k
k=0 k
k=0
n



Dla n ∈ zachodzi zależność:


n
B .
Bn+1 =
i

i=0 i
n





98
Podziały zbiorów a relacje
Z dowolnynm podziałem A zbioru X na bloki można
związać pewną relację, którą oznaczymy symbolem RA
i zdefiniujemy następująco:
RA =
A∈A
A × A.
Powyższy zapis oznacza, że dwa elementy x oraz y zbioru X są
w relacji RA wtedy i tylko wtedy, gdy należą do tego samego bloku
podziału. Jeśli na przykład X = {a, b, c, d} i A = {{a}, {b, d}, {c}}, to:
RA = {(a, a), (b, b), (b, d), (d, b), (d, d), (c, c)}.
99
Podziały zbiorów a relacje
Z dowolnyn podziałem A zbioru X na bloki można związać
pewną relację, którą oznaczymy symbolem RA i zdefiniujemy następująco:
RA =
A∈A
A × A.
Dla dowolnego podziału A zbioru X relacja RA jest
symetryczna, zwrotna i przechodnia, a zatem jest
relacją równoważności w zbiorze X.
100
Dowolnej relacji równoważności R w zbiorze X można
przyporządkować jednoznacznie podział
AR = X/R
zbioru X na bloki, będący zbiorem wszystkich klas
abstrakcji relacji równoważności R w X.
Przykład
Jeśli X = {x ∈ : x 10} i jako relację równoważności weźmiemy
relację R zdefiniowaną następująco:
xRy ⇔ x mod 3 = y mod 3,
to otrzymamy podział AR zbioru X na bloki, gdzie:
AR = X/R = {{0, 3, 6, 9}, {1, 4, 7, 10}, {2, 5, 8}}.
101
Wniosek
Liczba wszystkich różnych relacji równoważności
w zbiorze n-elementowym jest równa n-tej liczbie
Bella Bn.
Zatem na przykład liczba wszystkich możliwych relacji równoważności,
które można zdefiniować w zbiorze pięcioelementowym, jest równa 52.
102
Podziały zbioru na bloki i relacja rozdrobnienia
A, A – podziały zbioru X na bloki.
Podział A zbioru X jest rozdrobnieniem podziału A wtedy
i tylko wtedy, gdy każdy blok podziału A jest sumą pewnej
liczby bloków podziału A.
Fakt ten zapisujemy następująco:
A A
i mówimy, że podział A jest w relacji rozdrobnienia
z podziałem A.
Przykład
Podział zbioru X = {x ∈ : x 10} na bloki
A = {{0, 3}, {6, 9}, {1, 4, 7}, {10}, {2, 5, 8}}
jest rozdrobnieniem podziału
AR = X/R = {{0, 3, 6, 9}, {1, 4, 7, 10}, {2, 5, 8}}.
Relacja rozdrobnienia jest zwrotna, przechodnia
i antysymetryczna, a zatem jest relacją częściowego
porządku w zbiorze podziałów danego zbioru na bloki.
103
104
Podziały zbiorów a zliczanie surjekcji
Przykład
Mamy do dyspozycji m ponumerowanych procesorów i n m programów, z których każdy może być wykonany na dowolnym z tych
procesorów. Chcemy przydzielić wszystkie programy do procesorów w
taki sposób, by każdy procesor otrzymał co najmniej jeden program.
(Zakładamy przy tym, że każdy program jest wykonywany w całości
przez jeden procesor.) Należy policzyć, na ile sposobów można dokonać
takiego przydziału.
Każdy przydział programów do procesorów może być opisany przez
pewną funkcję z n-elementowego zbioru programów X w m-elementowy
zbiór procesorów Y . Z warunku, że każdy procesor ma dostać do wykonania co najmniej jeden program wynika, że funkcja ta musi być
surjekcją.
105
Zliczanie surjekcji
Niech X, Y będą dowolnymi zbiorami i niech |X| = n
oraz |Y | = m. Chcemy policzyć:
Ile jest wszystkich surjekcji w zbiorze F un(X, Y )?
Liczbę wszystkich surjekcji w zbiorze F un(X, Y ), gdzie
|X| = n oraz |Y | = m, będziemy oznaczać symbolem sn,m ,
tzn.
sn,m = |Sur(X, Y )| dla |X| = n, |Y | = m.
106
Twierdzenie
Liczba sn,m surjekcji w zbiorze F un(X, Y ), gdzie |X| = n,
|Y | = m, spełnia zależność



n 
sn,m = m! ·   .
m
Dowód Jądro każdej surjekcji f ze zbioru F un(X, Y ) wyznacza podział
N (f ) zbioru X na m bloków:
N (f ) = {f −1({y}) : y ∈ Y }.
Dla dowolnej permutacji π zbioru Y jądra funkcji f i πf są identyczne,
a zatem dokładnie m! surjekcji ze zbioru F un(X, Y ) ma to samo jądro
A ∈ Πm(X). Liczba wszystkich surjekcji w zbiorze F un(X, Y ) jest więc m!
razy większa niż liczba wszystkich podziałów n-elementowego zbioru
X na m bloków.
107
PODZIAŁY LICZBY
n, k – liczby naturalne
Definicja
Podziałem liczby n na k składników nazywamy ciąg liczb
naturalnych (a1, . . . , ak ), spełniający warunki
a1 + . . . + ak = n oraz a1 . . . ak > 0.
Liczbę wszystkich podziałów liczby n ∈ na k ∈ składników oznaczamy symbolem
P (n, k),
a liczbę wszystkich podziałów liczby n – symbolem
P (n).
108
Podziały liczby na składniki
Zachodzi zależność:
P (n) =
n
k=1
P (n, k)
Przyjmiemy, że P (0, 0) = P (0) = 1.
Dla n, t ∈ , liczność zbioru wszystkich podziałów (a1, . . . , ak )
liczby n, dla których spełniony jest warunek
ai t,
i = 1, . . . , k,
będziemy oznaczać symbolem Pt(n).
109
Twierdzenie
Dla n, k ∈ , gdzie n k > 0, zachodzi zależność
P (n, k) = P (n − 1, k − 1) + P (n − k, k)
Twierdzenie powyższe pozwala na rekurencyjne obliczanie wartości
P (n, k) dla dowolnych parametrów n k > 0, korzystając z faktu, że
P (0, k) = P (k, 0) = k = 0.
110
Liczność podziałów liczby naturalnej n na składniki dla n, k = 0, . . . , 12.
Diagramy Ferrersa i podziały sprzężone
111

MATEMATYKA DYSKRETNA - wprowadzenie(2003 rozszerzone).

Transkrypt

Podobne dokumenty

Poszukujemy pomocy domowej z zamieszkaniem

Warsztaty

Informatyka dzienne 1 semestr

Matematyka dyskretna II #11.0.0052

solver2 - solverzdb

pod linkiem - Polskie Stowarzyszenie Pomocy Osobom z Zespołem

Bez tytułu slajdu