Bez tytułu slajdu

Transkrypt

Bez tytułu slajdu

KOMBINATORYKA
Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i
ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego.
Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją
→ obiekty kombinatoryczne
TRZY TYPY ZAGADNIEŃ:
(1) Czy istnieje obiekt o zadanych własnościach?
(2) Ile jest obiektów o zadanych własnościach?
(3) Czy można znaleźć obiekt optymalny według zadanych kryteriów?
Odpowiedź na pytanie (1) – „tak” lub „nie”, a w ogólności twierdzenie
charakteryzujące kryterium.
Odpowiedź na pytanie (2) – liczba, a w ogólności wzór lub metoda
obliczeniowa.
Odpowiedź na pytanie (3) – podanie struktury optymalizującej, a w
ogólności algorytmu znajdującego taką strukturę.
Problem przydziału prac
Do obsadzenia sześć stanowisk pracy:
(m) - murarza
(d) - dekarza
(s) - stolarza
(c) - cieśli
(b) - betoniarza
(i) - instalatora
Pięciu kandydatów: A, B, C, D, E
A - uprawnienia ( s, i )
B - uprawnienia ( s, d )
C - uprawnienia ( s, d )
D - uprawnienia ( m, s, c, i )
E - uprawnienia ( b, i )
PYTANIE 1: Czy można tak dopasować kandydatów do stanowisk pracy,
aby każdy otrzymał pracę zgodnie ze swoimi uprawnieniami?
TAK
A - i, B - s, C - d, D - m, E - b
stanowisko cieśli nie jest obsadzone
Uwaga: przy zmianie uprawnień D (d,i) - odpowiedź NIE
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
1
PYTANIE 2: Na ile sposobów można dopasować kandydatów do
stanowisk pracy?
4 sposoby
(trzy inne - B i C mogą się zamienić, D może być cieślą)
Dodatkowo ustalono przydatność kandydatów do stanowisk (skala 1-6),
0 - brak kwalifikacji
A
B
C
D
E
m
0
0
0
3
0
s
4
1
5
5
0
b
0
0
0
0
2
d
0
3
6
0
0
c
0
0
0
4
0
i
3
0
0
4
5
PYTANIE 3: Który z dopuszczalnych przydziałów pracy jest
najkorzystniejszy (daje największą liczbę punktów) ?
Przydział A - i (3), B - d (3), C - s (5), D - c (4), E - b (2)
suma - 17 punktów
Przedmioty w pudełkach
Na ile sposobów można rozmieścić trzy przedmioty w dwóch pudełkach?
Przypadek 1: pudełka i przedmioty (a, b, c) rozróżnialne
abc | –
ab | c
ac | b
bc | a
– | abc
c | ab
b | ac
a | bc
Przypadek 2: przedmioty rozróżnialne, pudełka nie
tylko 4 rozmieszczenia
odrzucamy 4 z drugiego wiersza, bo to samo
Przypadek 3: pudełka rozróżnialne, przedmioty nie
ooo|–
oo|o
o|oo
–|ooo
Przypadek 4: pudełka nierozróżnialne, przedmioty też
dwie możliwości:
ooo|–
o|oo
Barbara Głut
2
r Im struktura jest bardziej nieoznaczona, tym mniej
rozwiązań (ale trudniej je przeliczyć).
r Przed przystąpieniem do przeliczania trzeba ustalić, które
obiekty uważamy za różne.
r Przeliczanie przez wypisywanie wszystkich możliwości
ma sens tylko, gdy mała liczba obiektów. Trzeba znaleźć
wzór lub metodę.
USTAWIENIA
Ile słów można utworzyć z liter A K R używając każdej z nich tylko jeden
raz?
AKR
ARK KAR KRA RAK RKA
3 ·2 ·1 = 6 słów
Gdybyśmy mieli do dyspozycji 4 litery?
Dla n różnych liter?
n ·(n − 1) ·(n − 2) ·... ·2 ·1
Definicja:
4 · 3 ·2 ·1 = 24 słowa
sposobów ustawienia → n silnia
n! = 1 · 2 ·3 ·... · (n − 1) ·n
Też definicja rekurencyjna:
1! = 1
0! = 1
n! = (n − 1)! ·n
Określa liczbę wszystkich ustawień albo uporządkowań, albo
PERMUTACJI n przedmiotów.
Barbara Głut
3
Definicja:
Permutacją bez powtórzeń n elementów
nazywamy ciąg składający się z n elementów
uporządkowanych i różnych.
Liczba możliwych permutacji zbioru n-elementowego:
Pn = n!
Ile jest ustawień k przedmiotów wybranych spośród n różnych
przedmiotów?
Np.: Ile można utworzyć „słów” dwuliterowych ze zbioru liter A, B, C, D
tak, aby litery nie powtarzały się w słowie?
AB
BA
CA
DA
AC
BC
CB
DB
AD
BD
CD
DC
1 element na 4 sposoby, 2 element na 3 sposoby
12 ustawień
4·3 = 12
Ogólnie, gdy ustawiamy k-elementowy ciąg:
1 element
n
sposobów
2 element
n–1
3 element
n–2
...
k element
n–k+1
n ·(n−1) ·(n−2) ·... ·(n–k+1) =
n!
( n − k )!
Barbara Głut
4
Definicja:
Wariacją bez powtórzeń k-elementową
ze zbioru n-elementowego
nazywamy ciąg k elementów wybranych z n elementów,
przy czym elementy te są różne między sobą.
Ciąg → ważna jest kolejność elementów
Liczba wariacji bez powtórzeń
Vnk =
n!
( n − k )!
Ile jest ustawień k przedmiotów wybranych spośród n przedmiotów?
Np.: Ile można utworzyć liczb dwucyfrowych z cyfr 1, 2, 3?
→
→
→
tworzymy ciągi dwucyfrowe ze zbioru trójelementowego
kolejność odgrywa rolę
cyfry mogą się powtarzać
N1
1L 2
N1
2L2
N1
3L2
O3
O3
O3
32
Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych z cyfr 1, 2, 3 ?
11111
21111
31111
11112
21112
31112
11121
21121
31121
...
...
...
Barbara Głut
35
5
Rzut kostkami
Rzucamy dwoma rozróżnialnymi kostkami do gry.
(Jedna zielona, druga czerwona)
Ile jest możliwych wyników tego „doświadczenia”?
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
62
A gdyby rzucać trzema kostkami?
62 ·6 = 63
A gdyby kostek było k ?
6k
Ustawiamy k elementów wybranych spośród n elementów
Pierwszy element ciągu możemy wybrać na n sposobów, drugi też, trzeci ...
F F ... F
n · n · n · . . . · n = nk
F
Definicja:
Wariacją z powtórzeniami k-elementową
ze zbioru n elementów
nazywamy ciąg k elementów wybranych spośród n
elementów.
Elementy ciągu mogą być różne lub mogą nie różnić się między sobą.
Liczba wariacji z powtórzeniami
Wnk = nk
Barbara Głut
6
Permutacje z wyróżnioną parą
Na ile sposobów można zapisać w jednym rzędzie cyfry 0, 1, ... , 9 tak, by
cyfry 1 i 2 stały obok siebie?
Traktujemy 1 i 2 jak pojedynczy element → 9 elementów
Permutujemy je na 9! sposobów.
Ale: dla cyfr 1 i 2 musimy wybrać kolejność, w jakiej stoją obok
siebie → 2 możliwości
Czyli wszystkich sposobów jest: 2 · 9!
A gdy będzie n elementów, a wśród nich są dwa wyróżnione, które
powinny znaleźć się obok siebie?
2 · (n–1)!
Permutacje koralikowe
Szczególny wariant permutacji, gdzie nie jest wyróżniony początek ani
koniec
np. – elementy rozstawione na okręgu
n krzeseł wokół okrągłego stołu
Ważne, kto siedzi obok kogo, a nie, gdzie kto siedzi
Liczba ustawień:
n!
= ( n − 1)!
n
Barbara Głut
7
Permutacje z powtórzeniami
Definicja:
Permutacją z powtórzeniami
nazywamy ciąg składający się z n elementów,
wśród których pewne elementy powtarzają się odpowiednio
n1, n2, ... , nk razy.
Np. Wypisać wszystkie 3-elementowe permutacje elementów a i b, w
których element a powtarza się dwa razy.
aab
aba
baa
A ile jest takich możliwości, gdy permutacje mają być 4-elementowe, a
element a powtarza się trzy razy?
aaab
aaba
abaa
baaa
Pytanie:
Jak obliczyć, ile można utworzyć 4-elementowych permutacji z
elementów a i b, w których element a powtarza się trzy razy?
Istnieje 24 (bo 4!) permutacji z 4 elementów a1a2 a3a4.
Załóżmy, że element b=a1. Pozostałe trzy elementy tworzą 3!=6 permutacji. Jeśli
a2 = a3 = a4 = a , te 6 permutacji da jedną permutację baaa. Element b może
też wystąpić na drugim, trzecim i czwartym miejscu.
Czyli liczba 4-elementowych permutacji o powtarzającym się trzykrotnie
elemencie a jest 3!=6 razy mniejsza od liczby 4-elementowych permutacji bez
powtórzeń.
Ogólnie:
Liczba permutacji n-elementowych o powtarzających się
elementach odpowiednio n1, n2, ... , nk razy
n!
Pnn1 ,n2 ,...,nk =
n1! n2!...nk !
Barbara Głut
8
LICZBY WYBORÓW
Gdy chcemy określić tylko liczbę możliwych wyborów lub kombinacji
k przedmiotów, nie interesuje nas k silnia różnych sposobów ich
ustawienia.
Zatem, liczbę wyborów otrzymujemy przez podzielenie liczby ustawień
przez k!
Np. 3-elementowy zbiór { a, b, c }. Z niego wybieramy 2-elementowe
wariacje bez powtórzeń. Liczba ustawień jest równa:
3!
=6
1!
( a , b) ( a , c ) ( b , a ) ( c, a ) ( b , c ) ( c , b )
Gdy interesuje nas jedynie liczba możliwych wyborów zbiorów
2-elementowych z trzech elementów:
3!
{ a, b } { a , c } { b , c }
=3
1!⋅2!
Definicja:
Kombinacją bez powtórzeń k-elementową
ze zbioru n elementów
nazywamy zbiór składający się z k różnych elementów
wybranych spośród n różnych elementów.
Obojętne jest, w jakim porządku elementy tego zbioru są rozmieszczone.
Liczba kk-elementowych kombinacji bez powtórzeń
ze zbioru n elementów:
⎛ n⎞
n!
C nk = ⎜⎜ ⎟⎟ =
k
k
!
(
n
− k )!
⎝ ⎠
⎛ n⎞
⎜⎜ ⎟⎟
symbol Newtona: ⎝ k ⎠
Barbara Głut
9
Znów rzucamy dwoma kostkami, ale kostki są nierozróżnialne!
Wynik doświadczenia: nieuporządkowana para { i , j }, i, j =1, 2, ... , 6
Ile możliwych różnych wyników?
{1,1} {1,2} {1,3} {1,4}
{2,2} {2,3} {2,4}
{3,3} {3,4}
{4,4}
{1,5}
{2,5}
{3,5}
{4,5}
{5,5}
{1,6}
{2,6}
{3,6}
{4,6}
{5,6}
{6,6}
Na ile sposobów można pomalować k jednakowych kul, mając do
dyspozycji n kolorów?
n=k=3
kolory: czerwony (c), niebieski (n), zielony (z)
{zzz} {zzc} {zcc} {ccc} {zzn}
{znn} {nnn} {nnc} {ncc} {cnz}
Wyniki „doświadczeń” – zbiory (kolejność elementów nieistotna)
Ale: elementy mogą występować kilka razy, czyli mogą się powtarzać.
Definicja:
Kombinacją z powtórzeniami k-elementową
ze zbioru n-elementowego
nazywamy zbiór składający się z k elementów różnych lub
nie różniących się między sobą, wybranych spośród n
różnych elementów.
Obojętne jest, w jakim porządku elementy tego zbioru są rozmieszczone
Liczba kombinacji z powtórzeniami:
⎛ n + k − 1⎞ ⎛ n + k − 1⎞
⎟⎟
⎟⎟ = ⎜⎜
C nk = ⎜⎜
k
⎠ ⎝ n−1 ⎠
⎝
Barbara Głut
10
SCHEMATY LOSOWANIA
k elementów z n-elementowego zbioru
Przed przystąpieniem do losowania należy odpowiedzieć na 2 pytania?
I Czy istotna jest kolejność wylosowanych elementów?
II Czy wylosowane elementy mogą się powtarzać?
I TAK
II TAK
Wariacje z powtórzeniami
I TAK
II NIE
Wariacje bez powtórzeń
I NIE
II NIE
Kombinacje bez powtórzeń
I NIE
II TAK
Kombinacje z powtórzeniami
ZASADA WŁĄCZANIA I WYŁĄCZANIA
PRAWO SUMY:
A i B zbiory skończone
(1) jeśli A ∩ B = (zbiory rozłączne),
to |A ∪ B| = |A| + |B|
B
A
A∩B
(2) ogólnie: |A ∪ B| = |A| + |B| – |A ∩ B|
Dla trzech zbiorów:
| A ∪ B ∪ C | = |A| + |B| + |C| +
– |A ∩ B| – |A ∩ C| – |B ∩ C|
+|A∩B∩C|
Barbara Głut
A
B
C
11
Przykład
Spośród 100 studentów - 50 uczy się angielskiego, 40 francuskiego, w tym 20 obu języków. Ilu studentów nie
uczy się ani angielskiego, ani francuskiego?
A - angielski,
F - francuski
100 – ( |A| + |F| – |A ∩ F|) =
= 100 – (50 + 40 – 20) = 30
Przykład
30 - osobowa grupa:
A - 20 uczy się angielskiego,
B - 14 uczy się francuskiego,
C - 10 uczy się niemieckiego.
Jeśli żadna osoba nie uczy się wszystkich trzech języków, a 8 osób nie
uczy się żadnego, to ilu uczy się francuskiego i niemieckiego?
30 – 8 = 22 osoby uczą się wymienionych języków
| A ∪ B ∪ C | = 22
|A∩B∩C|=0
22 = 20 + 14 + 10 – |A ∩ B| – |A ∩ C| – |B ∩ C| + 0
|A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C| = 22
co pokrywa zbiór osób uczących się języków
Każda osoba uczy się dwóch języków, jeśli uczy się języka
|A| = |A ∩ B| + |A ∩ C| = 20
|B ∩ C| = 2
Barbara Głut
12
Zasada włączeń i wyłączeń:
Aby określić liczbę elementów zbioru A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An należy znaleźć
liczby elementów wszystkich możliwych przecięć zbiorów spośród
{A1, A2, ... , An }, dodać do siebie wyniki uzyskane dla przecięć
nieparzystej liczby zbiorów, a następnie odjąć wyniki uzyskane dla
przecięć parzystej liczby zbiorów.
Należy „włączyć”, czyli dodać do siebie liczebności poszczególnych
zbiorów, następnie „wyłączyć” - czyli odjąć liczności wszystkich
przecięć po dwa zbiory, potem znów „włączyć” liczności przecięć po
trzy zbiory itd.
Zasada nadaje się do sytuacji, w których:
• chcemy jedynie znać wielkość zbioru A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An,
• liczby wielokrotnych przecięć daje się łatwo obliczyć.
Wzór Sylwestra:
Dla dowolnych zbiorów A1, A2, ... , An
n
U
n
Ai =
i =1
gdzie:
Sk( n) =
∑ (−1)k −1 Sk(n)
k =1
∑ I Ai
I ∈[ n]k i∈I
[n]k – rodzina k-elementowych podzbiorów zbioru { 1, 2, ... , n}
______________
Niech Nr - liczba elementów zbioru X, które należą do dokładnie r
spośród zbiorów A1, A2, ... , An ; Ai ⊆ X , i = 1, ... ,n
n
N r = { x ∈ X : {i : x ∈ Ai } = r} =
⎛k⎞
∑ (−1)k −r ⎜⎜⎝ r ⎟⎟⎠Sk(n)
k =r
Barbara Głut
13
Skończony zbiór obiektów, które mogą (ale nie muszą) posiadać
własności 1,2, ... , n.
Niech N(i1, ... , ir) - liczba obiektów mających co najmniej r własności.
Wówczas liczba obiektów w zadanym zbiorze posiadających co najmniej
jedną z własności wynosi:
N(1) + N(2) + ... + N(n)
– N(1, 2) – N(1, 3) – ... – N(n–1, n)
+ N(1, 2, 3) + N(1, 2, 4) + ... + N(n–2, n–1, n)
– ...
.
.
.
+ ( – 1 )n-1 N(1, 2, ... , n)
Przykład:
Nieporządkiem nazywamy permutację bez punktów stałych.
Na przykład 2 3 4 5 1 jest, a 2 3 5 4 1 nie jest nieporządkiem
( „4” pojawiła się na czwartym miejscu - punkt stały).
Ile jest takich permutacji zbioru {1, 2, ... , n}, które są nieporządkiem?
Dla dowolnej permutacji - własność i oznacza, że punkt i jest punktem
stałym. Liczba nieporządków = liczba permutacji nie posiadających
żadnej z tych własności
n! – N(1) – N(2) – ... – N(n) + N(1, 2) + N(1, 3) + ... + N(n–1, n)
– N(1, 2, 3) – N(1, 2, 4) – ... – N(n–2, n–1, n) – . . . + ( – 1 )nN(1, 2, ... , n)
⎛ n⎞
⎛ n⎞
⎛ n ⎞
⎛ n⎞
n!−⎜⎜ ⎟⎟( n − 1)!+ ⎜⎜ ⎟⎟( n − 2)!− K + ( −1) n−1 ⎜⎜
⎟⎟1!+ ( −1) n ⎜⎜ ⎟⎟0!
⎝1⎠
⎝ 2⎠
⎝ n − 1⎠
⎝ n⎠
n! (
1 1 1
1
− + − K + ( −1) n ) = n!
2! 3! 4!
n!
Barbara Głut
n
∑ (−1)k k!
1
k=2
14

Bez tytułu slajdu

Transkrypt

Podobne dokumenty