Algebra 2008/9 Notatki do wyk ladów - PL

Algebra 2008/9 Notatki do wyk ladów - PL

Algebra 2008/9
Notatki do wykladów
A. Pawel Wojda
Wydzial Matematyki Stosowanej AGH
21 stycznia 2009
Spis treści
1 Wyklad I. 1.X.2008
1.1 Wstep
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
1.2 Arytmetyka liczb calkowitych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
5
6
2 Wyklad 2. 8.X.2008
2.1 Grupy c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Grupy cykliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
3 Wyklad 3. 15.X.2008
3.1 Grupy c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Twierdzenia Cayleya i Lagrange’a . . . . . . . . . . . . .
9
9
9
4 Wyklad 4. 22.X.2008
4.1 Grupy c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Wnioski z twierdzenia Lagrange’a . . . . . . . . .
4.1.2 Twierdzenie Eulera i Male Twierdzenie Fermata
4.2 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Chińskie twierdzenie o resztach
– równania modularne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
11
11
11
11
11
. . . . .
12
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Wyklad 5. 29.X.2008
13
5.1 Grupy c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.1.1 Zliczanie orbit grupy - teoria Burnside’a-Polyi . . . . . . . 13
6 Wyklad 6. 5.XI.2008
6.1 Grupy - c.d. . . . . . . . . .
6.1.1 Lemat Burnside’a .
6.1.2 Grupy alternujace
.
,
6.1.3 Podgrupy normalne
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
15
15
15
16
7 Wyklad 7. 12.XI.2008
17
7.1 Grupy c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.1.1 Podgrupy normalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.2 Pierścienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1
SPIS TREŚCI
7.2.1
2
Przyklady pierścieni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Wyklad 8. 19.XI.2008
8.1 Podpierścienie . . . .
8.2 Zadania . . . . . . .
8.2.1 Idealy . . . .
8.2.2 Wielomiany .
8.2.3 Podzielność w
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
pierścieniach
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
20
20
20
21
22
22
9 Wyklad 9. 26.XI.2008
25
9.0.4 Pierścienie Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9.1 Wielomiany nad pierścieniem (c.d.) . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
10 Wyklad 10. 3.XII.2008
29
10.0.1 Pierścienie glówne (c.d.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10.1 Zasadnicze twierdzenie arytmetyki . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
11 Wyklad 11. 10.XII.2008
31
11.0.1 Cialo ulamków pierścienia calkowitego . . . . . . . . . . . 31
11.1 Pierścienie ilorazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
11.2 Homomorfizmy pierścieni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
12 Wyklad 12. 17.XII.2009
34
12.1 Wielomiany wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
12.1.1 Wielomiany symetryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
12.1.2 Twierdzenie Wilsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
13 Wyklad XIII, 7.I.2009
36
13.1 Zasadnicze Twierdzenie Algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
13.2 Pierścienie wielomianów nad pierścieniami Gaussa . . . . . . . . 36
14 Wyklad XIV, 14.I.2009
38
14.1 Twierdzenie Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
14.2 Rozszerzenia cial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
14.2.1 Rozszerzenia skończone, algebraiczne i przestepne
. . . . . 39
,
15 Wyklad XV, 21.I.2009
40
15.1 Cialo rozkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Bibliografia
41
Rozdzial 1
Wyklad I. 1.X.2008
1.1
Wstep
,
Zacznijmy od kilku informacji o historii nazwy przedmiotu.
Nazwa algebra pochodzi od tytulu dziela arabskiego matematyka dzialajace,
go w IX wieku w Bagdadzie, Muhammada Ibn Mussa Al Chwarizimi: Hisab
al-dżabr wal mukabala (w transkrybcji polskiej, oczywiście). Algebra jest znieksztalconym al-dżabr z owego tytulu1 . Tytul ten oznacza Sztuka redukcji i
przenoszenia, zaś samo dzielo arabskiego matematyka dotyczylo rozwiazywania
,
równań algebraicznych stopni pierwszego i drugiego. Al Chwarizimi byl glówna,
postacia, znakomitej instytucji która, byl bagdadzki Dom Nauki, prekursor późniejszych uniwersytetów i instytucji naukowych. Nazwisko Al Chwarizimiego,
także znieksztalcone2 , stalo sie, źródlem nazwy algorytm, tak ważnej we wspólczesnej matematyce i informatyce.
Zainteresowanych historia, matematyki namawiam goraco
do przeczytania pie,
,
knej ksiażki
Marka
Kordosa
Wyk
lady
z
historii
matematyki
dzieki
której można
,
,
poznać historie, matematyki, prześledzić jak powstawala i zrozumieć jak bardzo
niebanalnymi byly, dla pozbawionych wspólczesnego formalizmu algebraicznego
uczonych, dzialajacych
we wcale niedawnej przeszlości wieków średnich, naj,
prostsze operacje algebraiczne.
Poza aspektami historycznymi, warto w tym miejscu zwrócić uwage, na jeszcze jedna, sprawe.
Ta cześć
algebry, która jest obiektem Notatek, najcześciej
,
,
,
nazywana jest algebra, abstrakcyjna.
i dobra nazwa, która wyróżnia
, To piekna
,
ten dzial od algebry liniowej. Niestety przymiotnik abstrakcyjna sugruje też:
niekoniecznie potrzebna. To oczywista nieprawda - nawet podczas tego wykladu
1 W jezykach angielskim i francuskim podobieństwo slowa algebra czy też algèbre do arab,
skiego oryginalu jest znacznie wyraźniejsze niż w jezyku
polskim.
,
2 Tytul dziela Al Chwarizimiego przetlumaczony na lacine brzmial Algorithmi de numero
,
Indorum, co mialo znaczyć: Al Chwarizimiego dzielo o liczbach indyjskich. To wlaśnie dzieki
temu dzielu Europa poznala dziesiatkowy
system pozycyjny i liczbe, zero, które matematycy
,
arabscy przejeli
, od Hindusów.
3
ROZDZIAL 1. WYKLAD I. 1.X.2008
4
bedziecie
mieli okazje do poznania niektórych zastosowań. Czasu nie wystar,
czylo, by przedstawić ich wiecej.
Poznacie je z pewnościa, na innych przedmio,
tach (kodowanie, matematyka dyskretna, teoria algorytmów...).
Po refleksji doszedlem do wniosku, że dolaczanie
do niniejszego tekstu ze,
stawu pytań byloby szkodliwe. Podczas ostatniego wykladu staralem sie, ten
poglad
, obszernie uzasadnić. Życze, Wam (i sobie) powodzenia podczas sesji.
Nie tylko, choć przede wszystkim, z algebry.
A. Pawel Wojda
Kraków 21 stycznia 2009
ROZDZIAL 1. WYKLAD I. 1.X.2008
1.2
5
Arytmetyka liczb calkowitych
Przypomnijmy twierdzenie o dzieleniu liczb calkowitych.
Twierdzenie 1.1 Dla dowolnych liczb calkowitych a i b, b > 0 istnieja, jednoznacznie wyznaczone liczby q, r ∈ Z takie, że a = bq + r, przy czym 0 ≤ r < b.
Liczby q oraz r nazywamy, odpowiednio, ilorazem i reszta, dzielenia a przez
b.
Warto podkreślić, że twierdzenie 1.1 nie jest tym, które wiekszość
studentów
,
pamieta
ze szkoly3 .
,
Mówimy, że d jest najwiekszym
wspólnym dzielnikiem liczb calowitych
,
a i b jeżeli
• d|a i d|b oraz
• dla każdego c ∈ Z: c|a ∧ c|b ⇒ c|d
Algorytm Euklidesa
Niech a, b ∈ Z, a, b 6= 0.
Tworzymy rekurencyjnie ciag
, (rn ):
r0 = a, r1 = b
rn−1 = qn rn + rn+1 , gdzie 0 ≤ rn+1 < rn .
Twierdzenie 1.2 Niech a, b ∈ Z, a, b 6= 0. Istnieje takie k calkowite, że
rk 6= 0, rk+1 = 0 (gdzie ciag
, (rn ) jest wyznaczony przy pomocy algorytmu
Euklidesa). Co wiecej,
mamy
wówczas rk =NWD(a, b).
,
Jeśli NWD(a, b)= 1, wówczas mówimy, że a i b sa, wzglednie
pierwsze i
,
piszemy (a, b)= 1 lub a ⊥ b.
Twierdzenie 1.3 Niech a, b ∈ Z, nie równe równocześnie zero.
NWD(a, b) = min{d > 0 : d = ax + by, x, y ∈ Z}
Wniosek 1.4 Jeśli a, b ∈ Z, a ⊥ b, to istnieja, α, β ∈ Z:
αa + βb = 1
Co wiecej,
α i β dadza, sie, znaleźć przy pomocy algorytmu Euklidesa.
,
Twierdzenie 1.5 (Euklides) Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
3 Sprawdź,
jaki jest wynik dzielenia liczby −9 przez 7?
ROZDZIAL 1. WYKLAD I. 1.X.2008
1.3
6
Grupy
Definicja 1.1 (Przypomnienie) Zbiór G z dzialaniem lacznym
∗, posiadaja,
,
cym element neutralny w G i taki, że każdy element w G ma element odwrotny
nazywamy grupa.
,
O grupie G mówimy, że jest przemienna (lub abelowa) jeśli dzialanie ∗ jest
przemienne.
h : G1 → G2 jest homomorfizmem grupy (G1 , ∗) w grupe, (G2 , ◦) jeśli h(x ∗ y) =
h(x) ◦ h(y) dla dowolnych x, y ∈ G1 .
Homomorfizm h jest:
• monomorfizmem, jeśli h jest injekcja,
,
• epimorfizmem, jeśli h jest surjekcja,
,
• izomorfizmem, jeśli h jest bijekcja.
,
W tym ostatnim przypadku mówimy, że grupy G i H sa, izomorficzne.
Przyklad 1.1 Przyklady grup: (Z, +), (Q, +) (Q+∗ , ·) (Zn , +), (R, +), ...
– grupy przemienne (Q∗ = Q − {0}), Q+∗ = {a ∈ Q|a > 0}. (S(X), ◦) – grupa
permutacji zbioru X, nieprzemienna dla |X| ≥ 3
Z dokladnościa, do izomorfizmu, istnieje tylko jedna grupa o co najwyżej 3 elementach.
Istnieja, dokladnie dwie grupy (z dokladnościa, do izomorfizmu) rzedu
4: grupa
,
(Z4 , +) oraz grupa Kleina (materacowa) (Z2 × Z2 , +).
Twierdzenie 1.6 Niech n ∈ N∗ i niech a ∈ Zn . a jest elementem odwracalnym
ze wzgledu
na dzialanie mnożenia w Zn wtedy i tylko wtedy, gdy liczby a i n sa,
,
wzglednie
pierwsze.
,
Przyklad 1.2 (Z8 , ·) oczywiście nie jest grupa.
także (Z∗8 , ·), gdzie
, Co wiecej,
,
∗
∗
Z = Z − {0}, nie jest grupa.
, Grupa, przemienna, natomiast jest (Z8 , ·), gdzie
∗
Z8 = {1, 3, 5, 7}.
Rozdzial 2
Wyklad 2. 8.X.2008
2.1
Grupy c.d.
Definicja 2.1 Niech n ∈ N. Definiujemy
Z∗n = {z ∈ Zn : a ⊥ n}.
Oczywiście prawdziwe jest nastepuj
ace:
,
,
Twierdzenie 2.1 Niech n ∈ N. Wówczas (Z∗n , ·) jest grupa, przemienna.
,
Definicja 2.2 (Funkcja ϕ Eulera) Niech n ∈ N. Przez ϕ(n) oznaczamy
liczbe, takich a ∈ N, że a ⊥ n = 1 (a i n sa, wzglednie
pierwsze). Funkcje,
,
ϕ : N → N nazywamy funkcja, Eulera.
Nastepne
twierdzenie nie wymaga dowodu.
,
Twierdzenie 2.2 Dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2
ϕ(n) = |Z∗n |.
Wlasności funkcji Eulera: Niech P bedzie
liczba, pierwsza.
, Wówczas
,
• ϕ(p) = p − 1,
• ϕ(p2 ) = p2 − p,
• ϕ(pn ) = pn − pn−1
• Jeśli także q jest pierwsze, to ϕ(pq) = pq − p − q + 1 = (p − 1)(q − 1).
7
ROZDZIAL 2. WYKLAD 2. 8.X.2008
8
Twierdzenie 2.3 (Formula Sita1 lub Zasada Wlaczania
i Wylaczania)
,
,
Niech
A1 , A2 , ..., An bed
, a, zbiorami skończonymi. Wówczas zachodzi wzór
X
|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An | =
(−1)k+1 |Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik |.
1≤i1 <i2 <...<ik ≤n
Formula sita posluży nam do wykazania nastepuj
aego
twierdzenia.
,
,
Twierdzenie 2.4 Niech n = p1 ...pt , gdzie pi sa, różnymi liczbami pierwszymi
dla i = 1, ..., t. Wówczas
ϕ(n) = n−
n
n
n
n
n
(−1)t n
n n
− −... +
+...+
−
−...−
+...±
p1 p2
pt p1 p2
pt−1 pt p1 p2 p3
pt−2 pt−1 pt
p1 p2 ...pt
1
1
1
=n 1−
1−
... 1 −
p1
p2
pt
Przyklad 2.1 ϕ(42) = ϕ(2 · 3 · 7) = 12
Wniosek 2.5 Wzór na ϕ z twierdzenia 2.4 pozostaje identyczny jeśli polożymy
n = pa1 1 · ... · pat t gdzie p1 < ... < pt sa, liczbami pierwszymi, a1 , ..., at ∈ N.
2.2
Grupy cykliczne
Definicja 2.3 (Generator grupy) Mówimy, że element g jest generatorem
grupy G z dzialaniem ∗, jeżeli każdy element grupy G można otrzymać jako
wynik dzialania ∗ na elementach g i g −1 .
Przyklad 2.2 1 (a także −1) jest generatorem grupy Z (addytywnej grupy liczb
calkowitych).
2 jest generatorem (multyplikatywnej) grupy Z∗5 .
Twierdzenie 2.6 Jeżeli G jest multyplikatywna, grupa, skończona,
, g ∈ G, wówczas
istnieje n ∈ N takie, że g n = g −1
Dow. ...
Definicja 2.4 Jeśli grupa G na skończona, liczbe, elementów, wówczas mówimy,
że G jest skończona a jej liczbe, elementów nazywamy rzedem
grupy G.
,
1 Dokladniej: ”sita Eratostenesa”. Eratostenes, (276-194 p.n.e) byl kustoszem Biblioteki
Aleksandryjskiej i jednym z najwiekszych
umyslów starożytności. Sito Eratostenesa slużylo
,
do ”odsiewania” liczb pierwszych od ”plew” innych liczb (por. twierdzenie 2.4 i wniosek 2.5).
Jego innym, wielkim osiagni
eciem
byla próba zmierzenia promienia Ziemi przez zmierzenie
,
,
dlugości cieni rzucanych w poludnie przez dwie tyczki: jednej ustawionej w Aleksandrii, drugiej
zaś w Syene (dzisiejszy Asuan). Wynik jaki otrzymal różnil sie tylko o 1% od nam znanego,
a bylo to w czasach kiedy w kulistość Ziemi wierzyl malo kto!
Rozdzial 3
Wyklad 3. 15.X.2008
3.1
Grupy c.d.
Definicja 3.1 Najmniejsze n ∈ N takie, że
gn = e
(3.1)
nazywamy rzedem
elementu g grupy, jeśli n ∈ N spelniajace
(3.1) nie istnieje,
,
,
wówczas mówimy, że rzedem
g
jest
∞.
,
Jeśli grupa zawiera generator, to nazywamy ja, cykliczna.
,
Przyklad 3.1 Grupa (Z4 , +) jest cykliczna, grupa Kleina nie.
Twierdzenie 3.1 Każda grupa cykliczna jest przemienna.
Dowód oczywisty – tym bardziej trzeba umieć!
Twierdzenie 3.2 Każda skończona grupa cykliczna G jest izomorficzna z (Zn , +),
gdzie n jest rzedem
grupy G. 1
,
3.1.1
Twierdzenia Cayleya i Lagrange’a
Definicja 3.2 (Grupa transformacji) Dowolna, podgrupe, grupy permutacji
S(X) nazywamy grupa, transformacji.
Twierdzenie 3.3 (Tw. Cayleya) Dowolna grupa jest izomorficzna z pewna,
grupa, tranformacji.
Twierdzenie 3.4 (Lagrange’a) Niech H bedzie
podgrupa, grupy skończonej
,
G, a = |H|, b = |G|. Wówczas a|b.
1 Inaczej: jedyna, z dokladnościa do izomorfizmu, grupa skończona o n elementach jest
,
,
,
,
(Zn , +).
9
ROZDZIAL 3. WYKLAD 3. 15.X.2008
10
Definicja 3.3 (Przystawanie modulo pólgrupa) Niech H bedzie
podgrupa,
,
grupy G, a, b ∈ G. Mówimy, że a przystaje do b modulo H (piszemy a ≡
b (mod H) lub aRH b) jeżeli ab−1 ∈ H.
Lemat 3.5 Jeżeli H jest podgrupa, G wówczas relacja przystawania modulo H
jest w G relacja, równoważności.
Lemat 3.6 Niech G bedzie
dowolna, grupa,
, zaś H jej podgrupa.
, Wówczas klasa,
,
elementu neutralnego grupy G modulo H jest zbiór H.
Lemat 3.7 Niech G bedzie
dowolna, grupa,
, zaś H jej podgrupa.
, Wówczas do,
wolne dwie klasy równoważności modulo H sa, równoliczne (bijektywne)2 .
Oczywiście twierdzenie Lagrange’a wynika natychmiast z lematu 3.7.
2 W przypadku gdy G jest grupa skończona oznacza to, że dowolne dwie klasy
,
,
równoważności modulo H maja, taka, sama, liczbe, elementów.
Rozdzial 4
Wyklad 4. 22.X.2008
4.1
4.1.1
Grupy c.d.
Wnioski z twierdzenia Lagrange’a
Wniosek 4.1 Każdy element grupy skończonej G ma rzad
dzielnikiem
, bed
,
, acy
rzedu
grupy
G.
,
Wniosek 4.2 Jeśli rzad
, grupy G jest liczba, pierwsza,
, to G jest cykliczna.
Wniosek 4.3 (stary) Jedynymi grupami grupami rzedu
4 sa, Z4 i grupa Kle,
ina.
4.1.2
Twierdzenie Eulera i Male Twierdzenie Fermata
Twierdzenie 4.4 (Eulera) Jeśli liczby naturalne a, n sa, wzglednie
pierwsze,
,
wówczas
aϕ(n) ≡ 1 (mod n)
Twierdzenie 4.5 (Male Twierdzenie Fermata) Jeśli p jest liczba, pierwsza,
,
a ∈ Z, to
ap ≡ a( mod p)
4.2
Ćwiczenia
1. Niech G bedzie
grupa.
, Wykaż, że podzbiór niepusty H ⊂ G jest podgrupa,
,
G wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x, y ∈ H : xy −1 ∈ H.
2. Wykaż że jeśli w grupie skończonej G zbiór S 6= ∅ jest zamkniety
ze
,
wzgledu
na
dzia
lanie
grupowe,
wówczas
S
jest
podgrup
a.
,
,
3. Wykaż, że podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna.
11
ROZDZIAL 4. WYKLAD 4. 22.X.2008
4.3
12
Chińskie twierdzenie o resztach
– równania modularne
Twierdzenie 4.6 Równanie modularne
ax ≡ 1 (mod n)
(4.1)
ma rozwiazanie
wtedy i tylko wtedy gdy a i n sa, wzglednie
pierwsze (oczywiście
,
,
−1
takie rozwiazanie
jest
jedyne
w
Z
i
jest
postaci
x
≡
a
b
(mod
n), lub inaczej:
n
,
x = x0 + kn, gdzie k ∈ Zn , zaś x0 jest równy a−1 b przy czym a−1 jest el.
odwrotnym do a w Zn ze wzgledu
na mnożenie).
,
Uwaga. Sposobem znajdowania elementu odwrotnego do elementu a w Zn
jest skorzystanie z algorytmu Euklidesa. Jest to możliwe zawsze wtedy gdy taki
element istnieje, a mianowicie gdy a i n sa, wzglednie
pierwsze. Rzeczywiście,
,
a⊥n wtedy i tylko wtedy, jeśli istnieja, s i t calkowite spelniajace
,
sa + tn = 1
Wówczas sa = 1 + (−t)n, co oznacza, że s jest w Zn elementem odwrotnym do
a.
Twierdzenie 4.7 (Chińskie o resztach1 ) Niech a, b ∈ Z, m, n ∈ N, m⊥n.
Wówczas uklad równań
x ≡ a ( mod m)
(4.2)
x ≡ b ( mod n)
ma rozwiazanie.
Co wiecej,
każde dwa rozwiazania
tego ukladu różnia, sie, o
,
,
,
wielokrotność mn (można też powiedzieć, że rozwiazanie
jest jedyne modulo mn
,
lub, że zbiór rozwiazań
4.3
jest
postaci
{x
+
k(mn)|k
∈
Z}).
0
,
Twierdzenie 4.7 pozwala latwo (indukcyjnie) udowodnić nastepuj
ace
uogólnienie
,
,
chińskiego twierdzenia o resztach.
Twierdzenie 4.8 Niech m1 , . . . , mk ∈
dla i 6= j). Wówczas uklad równań

x ≡ a1



x ≡ a2
...



x ≡ ak
N bed
, a, parami pierwsze (t.zn. mi ⊥mj
( mod m1 )
( mod m2 )
( mod mk )
ma jednoznaczne rozwiazanie
modulo m1 · . . . · mk .
,
1 Twierdzenie
to udowodnil ok. 350 roku n.e. Sun Tsu Suan-Ching.
(4.3)
Rozdzial 5
Wyklad 5. 29.X.2008
5.1
5.1.1
Grupy c.d.
Zliczanie orbit grupy - teoria Burnside’a-Polyi
Niech G bedzie
grupa, multyplikatywna.
, Mówimy, że G dziala na zbiorze X
,
jeśli jest określone odwzorowanie ϕ : G × X → X spelniajace
nastepuj
ace
dwa
,
,
,
warunki (piszemy g(x) zamiast ϕ(g, x)):
1. dla dowolnych g1 , g2 ∈ G oraz dla każdego x ∈ X (g1 · g2 )(x) = g1 (g2 (x))
2. dla dowolnego x ∈ X e(x) = x (gdzie e jest elementem neutralnym grupy
G).
Przyklady ....
Twierdzenie 5.1 Jeśli grupa G dziala na zbiorze X, g ∈ G, to g jest bijekcja.
,
Dla grupy G dzialajacej
na zbiorze X oraz el. x ∈ X stabilizatorem x
,
nazywamy
Stab x = {g ∈ G : g(x) = x}
Przyklad ..
Twierdzenie 5.2 Stabilizator dowolnego elementu x ∈ X jest podgrupa, grupy
G.
Orbita, elementu x ∈ X nazywamy zbiór
Orb x = {g(x) : g ∈ G}
Relacja R określona przez
xRy ⇐⇒ ∃g ∈ G : g(x) = y
jest w X równoważnościowa.
13
ROZDZIAL 5. WYKLAD 5. 29.X.2008
14
Twierdzenie 5.3 Jeśli skończona grupa G dziala na zbiorze X, wówczas dla
każdego x ∈ X
|G| = |Stab x| · |Orb x|
Dowód...
Liczne przyklady – naszyjniki, liczby różnych pokolorowań wierzcholków
wielościanów.
Rozdzial 6
Wyklad 6. 5.XI.2008
6.1
6.1.1
Grupy - c.d.
Lemat Burnside’a
Dla danej grupy G dzialajacej
na zbiorze X oraz ginG zbiór punktów stalych g
,
oznaczamy przez F ix g:
F ix g = {x ∈ X : g(x) = x}
Twierdzenie 6.1 (Lemat Burnside’a) Niech G bedzie
grupa, skończona, dzialajac
, a,
,
na zbiorze skończonym X. Wówczas liczba N orbit zbioru X ze wzgledu
na
G
,
wynosi
1 X
N=
|F ix g|
|G|
g∈G
Przyklady ...
Dowód ...
6.1.2
Grupy alternujace
,
Definicja 6.1 Sn – grupa permutacji zbioru [1, n]
An – podzbiór permutacji parzystych Sn
Twierdzenie 6.2 An jest podgrupa, grupy Sn .
Twierdzenie 6.3 |An | =
n!
2
Twierdzenie 6.4 Grupa An jest generowana przez 3-cykle.
15
ROZDZIAL 6. WYKLAD 6. 5.XI.2008
6.1.3
16
Podgrupy normalne
Warstwy prawo- i lewostronne
Już wiemy (dowiedzieliśmy sie tego przy okazji dowodu twierdzenia Lagrange’a),
że dla dowolnej podgrupy H grupy multyplikatywnej G relacja: aRb ⇐⇒ ab−1
jest równoważnościowa. Klasa, równoważności dowolnego elementu a ∈ G dla
tej relacji jest zbiór
Ha = {ha|h ∈ H}
zwany warstwa, prawostronna.
,
Podobnie można zdefiniować warstwe, lewostronna, elementu a:
aH = {ah|h ∈ H}
Z latwościa, można sprawdzić, że warstwy lewostronne sa, klasami równoważności
dla relacji (także równoważnościowej) L zdefiniowanej w G wzorem aLb ⇐⇒
a−1 b ∈ H (gdzie H jest podgrupa, G).
Rozdzial 7
Wyklad 7. 12.XI.2008
7.1
7.1.1
Grupy c.d.
Podgrupy normalne
Twierdzenie 7.1 Jeśli grupa G jest przemienna, to dla dowolnej podgrupy H
ia∈G
aH = Ha
Definicja 7.1 Mówimy, że podgrupa H grupy G jest normalna (lub niezmiennicza), jeśli dla dowolnego a ∈ H i dla każdego b ∈ G zachodzi b−1 ab ∈ H.
Twierdzenie 7.2 Podgrupa H grupy G jest normalna wtedy i tylko wtedy gdy
dla każdego c ∈ G
cH = Hc
Twierdzenie 7.3 Niech H bedzie
podgrupa, grupy multyplikatywnej G. H jest
,
podgrupa, normalna, wtedy i tylko wtedy gdy relacja R (zdefiniowana wzorem
aRb ⇔ ab−1 ∈ H) jest zgodna z dzialaniem grupowym grupy G.
Twierdzenie 7.4 Jeśli H jest podgrupa, normalna, grupy G, to G/H z dzialaniem
zdefiniowanym wzorem
Ha · Hb = Hab
jest grupa, (zwana, grupa, ilorazowa).
,
Twierdzenie 7.5 (O morfiźmie grup) Jeśli f : G → H jest morfizmem
grup, to grupa ilorazowa G/Ker f jest izomorficzna z Im f .
Dokladniej: jeśli oznaczymy przez k : G → G/Ker f morfizm kanoniczny
dany wzorem k(g) = (Ker f )g, zaś przez h : G/Ker f → Im f odwzorowanie
zadane wzorem h((Ker f )a) = f (a), to h jest izomorfizmem grup i zachodzi
wzór f = h ◦ k.
17
ROZDZIAL 7. WYKLAD 7. 12.XI.2008
7.2
18
Pierścienie
W definicji pierścienia, która, podajemy poniżej, stosujemy powszechnie znana,
ze zbiorów liczbowych (R, N, Z etc) konwencje, nie pisania znaku dzialania ·
(inaczej: dzialania multyplikatywnego), o ile tylko nie prowadzi to do nieporozumień. W wyrażeniach postaci (ab) + c opuszczamy nawias i piszemy ab + c, co
oznacza, że jeśli nie ma nawiasu, to stosujemy regule, pierwszeństwa mnożenia
przed dodawaniem (wlaściwie powinniśmy powiedzieć: pierwszeństwa dzialania
multyplikatywnego (to znaczy: oznaczanego przez ·) przed dzialaniem addytywnym (to znaczy: oznaczanym przez +)).
Bedziemy
pisać a − b zamiast a + (−b).
,
Definicja 7.2 Zbiór P z dwoma dzialaniami + (dodawania) oraz · (mnożenia)
nazywamy pierścieniem jeśli:
• P z dzialaniem dodawania jest grupa, przemienna,
,
• dzialanie mnożenia jest laczne,
,
• dla dowolnych elementów a, b, c ∈ P : a(b + c) = ab + ac oraz (a + b)c =
ac + bc (rozdzielność mnożenia wzgledem
dodawania)
,
Element neutralny dla dzialania + pierścienia P nazywamy zerem pierścienia (i najcześciej
oznaczamy przez 0).
,
Jeśli dzialanie · jest przemienne to P nazywamy pierścieniem przemiennym.
Jeśli ab = 0 ⇒ a = 0 lub b = 0 to P jest pierścieniem bez dzielników
zera.
Jeśli zaś w P istnieje taki element 1 ∈ P , że dla dowolnego x ∈ P zachodzi:
1x = x1 = x to P nazywamy pierścieniem z jedynka, (a element 1 jedynka,
pierścienia P ).
Pierścień przemienny z jedynka, i bez dzielników zera nazywamy pierścieniem
calkowitym.
Pierścien calkowity P w którym każdy element różny od zera ma element
odwrotny ze wzgledu
na mnożenie1 nazywamy cialem.
,
Twierdzenie 7.6 Pierścień P jest bez dzielników zera wtedy i tylko wtedy dla
dowolnych elementów spelniony jest warunek:
ac = bc ⇒ a = b
∀a, b, c ∈ P, c 6= 0
( prawa skracania)
(7.1)
ca = cb ⇒ a = b
Dowód. Przypuśćmy wpierw, że w pierścieniu P spelniony jest warunek (7.1)
oraz, że dla pewnych a, b ∈ P zachodzi ab = 0. Wówczas mamy ciag
, implikacji:
ab = 0 ⇒ ab = a0 ⇒ ab − a0 = 0 ⇒ a(b − 0) = 0 ⇒ a(b − 0) = a0. Z ostatniej równości oraz z drugiej z implikacji warunku (7.1) wynika, że jeśli a 6= 0,
wówczas b − 0 = 0, a wiec
, b = 0.
1 Inaczej:
dla każdego a ∈ P, a 6= 0 istnieje a0 ∈ P taki, że aa0 = 1.
ROZDZIAL 7. WYKLAD 7. 12.XI.2008
19
Przypuśćmy teraz, że pierścień P jest bez dzielników zera. Wówczas, dla dowolnego c ∈ P, c 6= 0 prawdziwe sa, implikacje ac = bc ⇒ ac−bc = 0 ⇒ ac+(−b)c =
0 ⇒ (a + (−b))c = 0 ⇒ a + (−b) = 0 ⇒ a = b. Podobnie dowodzimy prawa
lewostronnego skracania.
7.2.1
Przyklady pierścieni
Z pewnościa, najlepiej znanymi pierścienimi sa, zbiory liczbowe: liczb calkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych ze zdefiniowanymi w znany
sposób dzialaniami dodawania zczególna, role, w teorii pierścieni odgrywa pierścień
liczb calkowitych.// Z latwościa, można sprawdzić, że poniższe zbiory ze wskazanymi w nich dzialaniami sa, pierścieniami.
• Zbiór macierzy Rn×n , (o n wierszach i n kolumnach), z dzialaniami określonymi w zwykly sposób.
• Latwo sprawdzić, że w zbiorze liczb calkowitych Z relacja przystawania
modulo n zdefiniowana przez
a ≡ b (mod n) ⇐⇒ n|b − a
jest zgodna z dzialaniami dodawania i mnożenia w Z. Można wiec
, zdefiniować dzialania indukowane dodawania i mnożenia w zbiorze klas
Z/(mod n). Nietrudno także wykazać, że z tymi dzialaniami Z/(mod n)
jest pierścieniem.
Rozdzial 8
Wyklad 8. 19.XI.2008
8.1
Podpierścienie
Podpierścieniem pierścienia P nazywamy dowolny podzbiór A ⊂ P, A 6= ∅
jeśli A wraz z dzialaniami + i · (zacieśnionymi do zbioru A) jest pierścieniem.
Twierdzenie 8.1 Niech P bedzie
pierścieniem. A ⊂ P, A 6= ∅. A jest pod,
pierścieniem P wtedy i tylko wtedy, gdy
1. ∀a, b ∈ A a − b ∈ A,
2. ∀a, b ∈ A ab ∈ A.
8.2
Zadania
Zadanie 1 Sprawdź, że zbiory:
√
• Z < −1 >= {a + ib|a, b ∈ Z}
√
√
• Z < 3 >= {a + 3b|a, b ∈ Z}
z dzialaniami dodawania i mnożenia w zbiorze liczb zespolonych lub rzeczywistych, sa, pierścieniami. Podaj przyklady innych, podobnie skonstruowanych
pierścieni.
Zadanie 2 W pierścieniu P oznaczmy przez P 0 zbiór dzielników zera pierścienia P . Sprawdź, że w zbiorze P − P 0 mnożenie jest dzialaniem.
Zbadaj wlasności mnożenia w P − P 0 dla pierścienia Z/(mod 6)
Zadanie 3 Element a pierścienia P nazywamy nilpotentnym, jeżeli istnieje
liczba calkowita l taka, że ap = 0. Jeśli dodatkowo zachodzi al−1 6= 0, to l nazywamy rzedem
elementu nilpotentnego a 6= 0. Rzedem
elementu nilpotentnego
,
,
0 jest z definicji 1.
20
ROZDZIAL 8. WYKLAD 8. 19.XI.2008
21
Co można powiedzieć o elementach nilpotentnych w pierścieniu calkowitym?
Zbadaj elementy nilpotentne pierścienia Z/( mod 12).
Wykaż, że suma i iloczyn elementów nilpotentnych jest nilpotenna. Co można
powiedzieć o ich rzedzie
(nilpotencji)?
,
Zadanie 4 W przykladzie pierścieni Z/mod(n) wystapi
, ly sformulowania latwo
sprawdzić i nietrudno wykazać. Sprawdź wiec
, i wykaż. Przyjrzyj sie, pierścieniom
Z/mod(6) i Z/mod(7) (wypisz elementy tych pierścieni, utwórz tabelki zialań,
wskaż dzielniki zera (o ile istnieja)).
,
8.2.1
Idealy
Definicja 8.1 Niech P bedzie
pierścieniem, I ⊂ P, I 6= ∅. Mówimy, że I jest
,
idealem pierścienia P jeśli spelnione sa, nastepuj
ace
dwa warunki:
,
,
1. a, b ∈ P ⇒ a − b ∈ P
2. α ∈ P, a ∈ I ⇒ αa ∈ I, aα ∈ I
Przyklad 8.1 W dowolnym pierścieniu P zbiory {0} i P sa, idealami.
Przyklad 8.2 W dowolnym pierścieniu przemiennym P , dla dowolnego a ∈ P ,
zbiór (a) = {αa|α ∈ P } jest idealem. Idealy tej postaci nazywać bedziemy
,
idealami glównymi .
Definicja 8.2 Pierścień P nazywamy pierścieniem glównym jeżeli każdy
jego ideal jest idealem glównym.
Najlepiej znanym przykladem pierścienia glównego jest pierścień liczb calkowitych.
Twierdzenie 8.2 Pierścień liczb calkowitych Z jest pierścieniem glównym.
Dowód. Przypuśćmy, że A jest idealem w Z, A 6= {0}. Zauważmy, że do A
należy co najmniej jedna liczba dodatnia. Rzeczywiście, skoro A 6= {0}, w A
jest jakaś liczba a 6= 0. Wobec tego także −a ∈ A (wiemy, że 0 jest w dowolnym
ideale, a zatem i 0 − a = a ∈ A), zaś jedna z liczb: a lub −a jest dodatnia.
Niech teraz a0 bedzie
najmniejsza, liczba, dodatnia, w A. Oczywiście A zawiera
,
wszystkie wielokrotności liczby a, a wiec
, A ⊃ (a). Wystarczy wiec
, wykazać, że
A ⊂ (a).
Na mocy twierdzenia o dzieleniu z reszta, w zbiorze liczb calkowitych, istnieja,
q, r ∈ Z spelniajace
,
b = qa + r,
0≤r<a
r = b − qa, a wiec
, r ∈ A, a ponieważ a jest najmniejszym dodatnim elementem
A, mamy r = 0 i w konsekwencji a|b.
ROZDZIAL 8. WYKLAD 8. 19.XI.2008
8.2.2
22
Wielomiany
Definicja 8.3 Wielomianem o wspólczynnikach w pierścieniu P nazywamy dowolny szereg formalny v = v0 + v1 x + v2 x2 + . . . o wspólczynnikach w P dla
którego istnieje takie k0 ∈ P , że vk = 0 dla k ≥ k0 (inaczej: wielomian to szereg formalny majacy
tylko skończona, liczbe, wspólczynników różnych od zera).
,
Zbiór wielomianów o wspólczynnikach w P oznaczamy przez P [x] 1 . Dla wielomianu v = v0 + v1 x + . . . ∈ P [x] najwieksze
k0 dla którego vk0 6= 0 nazywamy
,
stopniem wielomianu v i oznaczmy przez ∂(v). Stopniem wielomianu zerowego jest −∞2 . Wspólczynnik vk0 nazywamy wtedy wspólczynnikiem dominujacym
wielomianu v.
,
Z latwościa, można sprawdzić, prawdziwość nastepuj
acych
dwóch twierdzeń.
,
,
Twierdzenie 8.3 Dla dowolnego pierścienia P zbiór P [x] jest pierścieniem.
Jeśli P jest pierścieniem calkowitym, wówczas także P [x] jest pierścieniem calkowitym.
Twierdzenie 8.4 Dla dowolnego pierścienia P i wielomianów v, w ∈ P [x] zachodza, wzory:
∂(v + w) ≤ max{∂v, ∂w}
∂(vw) ≤ ∂v + ∂w
Co wiecej,
druga z tych nierówności jest równościa, o ile P jest pierścieniem
,
(przemiennym) bez dzielników zera.
Zauważmy, że z każdym wielomianem w ∈ P [x], w = w0 + w1 x + . . . + wn xn
można skojarzyć funkcje, wielomianowa:
,
w : P 3 x → w(x) = w0 + w1 x + . . . + wn xn ∈ P
Zbiór funkcji wielomianowych o wspólczynnikach w pierścieniu P oznaczamy
przez P (x). Jest oczywiste, że także P (x) jest pierścieniem (przemiennym jeśli
P jest przemienny, calkowitym, jeśli P jest calkowity).
8.2.3
Podzielność w pierścieniach
Definicja 8.4 Niech P bedzie
pierścieniem calkowitym, a, b ∈ P . Mówimy, że
,
a dzieli b jeżeli istnieje c ∈ P takie, że b = ac. Piszemy wówczas a|b.
Jeśli a|b i b|a to elementy a i b nazywamy stowarzyszonymi.
1 Zwróćmy uwage, że sens definicji szeregów formalnych, jak i wielomianów, bylby dokladnie
,
taki sam, gdybyśmy
zdefiniowali jako ciagi
v = (vn ), w = (wn ) z dzialaniami v + w =
Pje
,
n
(vn + wn ), vw = ( k=0 vk wn−k ).
2 Zauważmy, że wielomian zerowy v = 0 nie ma wspólczynnika v
k0 6= 0. Można wiec
,
postapić
na dwa sposoby: albo nie definiować w ogóle stopnia wielomianu zerowego, albo
,
zdefiniować go jako −∞ i definiujac
, a + −∞ = 0, max{a, −∞} = a, dla dowolnego a ∈ Z, by
wzory na stopień sumy i iloczynu wielomianów pozostaly prawdziwe (sprawdź, że rzeczywiście
tak jest!
ROZDZIAL 8. WYKLAD 8. 19.XI.2008
23
Przyklady...
Definicja 8.5 Elementy stowarzyszone z 1 (jedynka, pierścienia) nazywamy jednościami pierścienia.
Twierdzenie 8.5 Zbiór jedności pierścienia P tworzy grupe, (multyplikatywna).
,
(Grupe, te, nazywamy grupa, jedności pierścienia).
Przyklady ...
Każde przedstawienie elementu a pierścienia P w postaci
a = a1 · . . . · an
(8.1)
nazywamy rozkladem na czynniki. O rozkladzie 8.1 mówimy, że jest wlaściwy,
jeśli
1. n ≥ 1,
2. żaden z czynników a1 , . . . , an nie jest jednościa.
,
Jeśli żaden wlaściwy rozklad elementu a nie istnieje, wówczas mówimy, że a jest
nierozkladalny.
Element a pierścienia P nazywamy pierwszym, jeżeli zachodzi implikacja:
a|bc ⇒ a|b lub a|c
Wbrew temu co pamietamy
ze szkoly, pojecia
elementów nierozkladalnych
,
,
i pierwszych sa, różne, choć calkowite liczby nierozkladalne i pierwsze to jednak
to samo. Poniższe twierdzenie podaje relacje, zawierania pomiedzy
zbiorami
,
elementów pierwszych i nierozkladalnych dowolnego pierścienia calkowitego.
Twierdzenie 8.6 W dowolnym pierścieniu calkowitym P , każdy element pierwszy jest nierozkladalny.
Dowód. Niech a ∈ P bedzie
elementem pierwszym pierścieni calkowitego P .
,
Przypuśćmy, że istnieje rozklad a, czyli
a = a1 · . . . · ak
(8.2)
dla pewnego k ≥ 2. Wówczas istnieje i ∈ {1, . . . , k} takie, że a|ai . Ponieważ
(na mocy (8.2)) ai |a, elementy a oraz ai sa, stowarzyszone.
Wykażemy teraz, że jeśli dwa elementy x, y sa, stowarzyszone w pierścieniu
calkowitym P , powiedzmy x|y i y|x, wówczas x = yz, gdzie z jest jednościa.
,
Rzeczywiście,
x|y ⇒ ∃z ∈ P : y = zx
⇒ y = zty
y|x ⇒ ∃t ∈ P : x = ty
ROZDZIAL 8. WYKLAD 8. 19.XI.2008
24
Stad
, i z faktu, że P jest pierścieniem calkowitym (a wiec
, z jedynka, i prawem
skracania) wnioskujemy latwo, że zt = 1, czyli, że z i t sa, stowarzyszone z jedynka,
, czyli jednościami pierścienia P .
Odnoszac
, te rozważania do a i ai otrzymujemy a = a1 · . . . · ai−1 ai+1 · . . . · ak ai =
ai z, przy czym z jest jednościa.
, Korzystajac
, z przemienności i ponownie z prawa
skracania otrzymujemy, że a1 · . . . · ai−1 ai+1 · . . . · ak = z, a wiec,
jak latwo za,
uważyć, także a1 , . . . , ai−1 , ai+1 , . . . , ak sa, jednościami, co kończy dowód.
Bardzo znanym przykladem na to, że twierdzenie √
odwrotne do twierdzenia
√
8.6 nie jest prawdziwe, jest pierścień Dedekinda Z[ 5i] = {a + bi 5|a, b ∈
Z}.
Wykażemy wpierw, że liczba 2 jest elementem nierozkladalnym pierścienia Dedekinda. rzeczywiście,
√
√
2 = (a + bi 5)(c + di 5)
daje uklad równań
ac − 5bd =
bcd + ad =
2
0
Traktujac
, ten uklad jako uklad o niewiadomych c i d otrzymamy
c=
a2
2a
+ 5b2
d=
−2b
+ b2
a2
(zauważmy, że a i b nie moga, być równocześnie równe zero).
Ponieważ c i d sa, calkowite, zachodzi a2 + 5b2 ≤ 2|a| (lub a = 0). Stad
,
|a| ≤ 2
i wobec tego
a ∈ {0, −1, 1, −2, 2}
• Gdyby a = 0 wówczas mielibyśmy ac = 0 i w konsekwencji 2 = −5bd, co
dla calkowitych b i d jest niemożliwe.
2
• Gdyby a = 1 mielibyśmy c = 1+5b
2 , a wiec
, b = 0 i w konsekwencji c = 2 i
d = 0. Nasz rozklad bylby wiec
z
konieczności
postaci 2 = 1 · 2, a wiec
,
, nie
bylby rozkladem wlaściwym (jeden z czynników jest jednościa).
,
4
• Gdyby a = 2 wówczas mielibyśmy c = 4+5b
2 a stad
, wnioskujemy latwo, że
b = 0, c = 1, d = 0 i wobec√tego 2 = 2 · 1 – sprzeczność z przypuszczeniem,
że rozklad liczby 2 (w Z[ 5i]) jest wlaściwy.
• Podobnie jak powyżej sprawdzamy, że a nie może być równe ani −1 ani
−2.
Zauważmy teraz, że
√
√
6 = 2 · 3 = (1 + i 5)(1 − i 5)
√
Wobec
tego 2|6. Latwo także sprawdzić, że 2 nie
√
√ dzieli ani 1 + 5 ani 1 −
5. Sprawdziliśmy, że w pierścieniu Dedekinda Z[ −5] liczba 2 jest elementem
nierozkladalnym, który nie jest elementem pierwszym.
Rozdzial 9
Wyklad 9. 26.XI.2008
9.0.4
Pierścienie Gaussa
Definicja 9.1 Pierścień P nazywamy pierścieniem z rozkladem jeżeli każdy,
nie bed
jednościa, pierścienia P , element a ∈ P da sie, przedstawić jako ilo,
, acy
czyn skończonej liczby elementów nierozkladalnych w P .
Dwa rozklady elementu a:
a = a1 · ... · am
a = b1 · ... · bb
nazywamy jednakowymi jeżeli
1. m = n,
2. istnieje permutacja σ : [1, m] → [1, n] taka, że elementy ai oraz bσ(i) sa,
stowarzyszone.
Pierścień calkowity P nazywamy pierścieniem Gaussa 1 jeśli każdy nie bed
,
, acy
jednościa, element pierścienia P ma rozklad jednoznaczny (tzn. ma rozklad na
iloczyn elementów nierozkladalnych i każde dwa rozklady dowolnego elementu na
iloczyn elementów nierozkladalnych sa, jednakowe).
Przyklad 9.1 Z, K[x] - gdzie K jest dowolnym cialem, sa, pierścieniami Gaussa
(dowód tych faktów bedzie
nieco później).
,
Pierścień Dedekinda nie jest pierścieniem Gaussa √
(np. rozklad
√ liczby 6 w tym
pierścieniu nie jest jednoznaczny: 6 = 3 · 2 = (1 + −5)((1 − −5)).
Twierdzenie 9.1 Niech P bedzie
pierścieniem calkowitym z rozkladem. P jest
,
pierścieniem Gaussa wtedy i tylko wtedy gdy każdy element nierozkladalny w P
jest elementem pierwszym.
Dowód.
1 Carl
Friedrich Gauss 1777-1855
25
ROZDZIAL 9. WYKLAD 9. 26.XI.2008
26
1. Przypuśćmy, że P jest pierścieniem Gaussa, a ∈ P jest elementem nierozkladalnym w P i a dzieli iloczyn dwóch elementów pierścienia P , powiedzmy a|bc, b, c ∈ P . Wykażemy, że a dzieli jeden z elementów b, c.
Skoro a|bc, istnieje d ∈ P takie, że bc = ad. Niech b = b1 · . . . · bn ,
c = c1 · . . . · cm , d = b1 · . . . · dk bed
, a, rozkladami elementów a, b, c, d na
iloczyny elementów nierozkladalnych. Wówczas
b1 · . . . · bn · c1 · . . . · cm = a · d1 . . . · dk
Z jednoznaczności rozkladu wynika, że element a jest stowarzyszony z
jednym z elementów bi (i = 1, . . . , n) lub a jest stowarzyszony z jednym z
elementów cj (j = 1, . . . , m). A wiec
, a|b lub a|c.
2. Przypuśćmy, że każdy element nierozkladalny pierścienia P jest w P elementem pierwszym. Wykażemy, że P jest pierścieniem Gaussa czyli, że
każdy element a ∈ P ma rozklad jednoznaczny. Dowód przeprowadzimy
przez indukcje.
,
Mamy wykazać, że jeźeli a ∈ P ma dwa rozklady na iloczyny elementów
nierozkladalnych:
a = a1 · . . . · am = b1 · . . . · bn
(9.1)
wówczas rozklady te sa, jednakowe. Jeśli m = n = 1, to jedyność rozkladów
jest oczywista. Przypuśćmy wiec,
że jeśli a ma dwa rozklady postaci (9.1)
,
i m, n ≤ k, wówczas rozklady te sa, jednakowe i niech
a = a1 · . . . · ak · ak+1 = b1 · . . . · bn ,
(n ≤ k + 1)
(9.2)
bedzie
rozkladem a na iloczyn elementów nierozkladalnych.
,
Ponieważ ak+1 |a1 ·. . .·bm , oraz ak+1 jest z zalożenia elementem pierwszym,
ak+1 dzieli jeden z elementów b1 , . . . , bn , powiedzmy ak+1 |bm . Istnieje
wiec
, w P element α taki, że bm = αak+1 . Skoro bm jest elementem
nierozkladalnym, α jest jednościa.
, Mamy wiec
,
a1 · . . . · ak · ak+1 = αb1 · . . . · bm−1 · ak+1
i wobec tego (na mocy prawa skracania)
a1 · . . . · ak · = αb1 · . . . · bm−1
0
Oznaczajac
, przez b1 stowarzyszony z nim element αb1 otrzymujemy
a1 · . . . · ak = b01 · . . . · bm−1
(9.3)
Skoro m − 1 ≤ k dowód kończymy stosujac
, do rozkladów (9.3) zalożenie
indukcyjne.
ROZDZIAL 9. WYKLAD 9. 26.XI.2008
27
Zadania
Zadanie 5 Wykaż, że w dowolnym pierścieniu calkowitym relacja stowarzyszenia elementów jest równoważnościowa. W znanych Ci przykladach pierścieni
wskaż przyklady klas równoważności elementów wzgledem
tej relacji.
,
Zadanie 6 Wykaż, że jeśli element pierwszy p dzieli iloczyn n ≥ 1 elementów
pierścienia, wówczas p dzieli jeden z czynników tego iloczynu.
√
√
√
Zadanie 7 Zauważ, że w grupie Z< 3 > zachodzi (2+ 3)k (2− 3)k =√1, dla
3 >?
każdego k ∈Z. Co stad
, wynika dla liczności grupy jedności pierścienia Z<
Zadanie 8 Dokończ dowód faktu, że w pierścieniu
√ Dedekinda
√ 2 jest elementem
nierozkladalnym a także, że 2 nie dzieli ani 1 + 5i ani 1 − 5i.
9.1
Wielomiany nad pierścieniem (c.d.)
Twierdzenie 9.2 (O dzieleniu wielomianów) Niech P bedzie
pierścieniem
,
calkowitym i niech p ∈ P [x] bedzie
wielomianem
którego
wspó
lczynnik
domi,
nujacy
jest
odwracalny.
Dla
każdego
wielomianu
v
∈
P
[x]
istniej
a
wielomiany
,
,
q, r ∈ P [x] takie, że
v = qp + r, ∂r < ∂p lub r = 0
(9.4)
Wielomiany q i r o tych wlasnościach wyznaczone sa, jednoznacznie.
Dowód. Wykażemy wpierw istnienie wielomianów p oraz r.
Oznaczmy przez k stopień wielomianu v i przez m stopień wielomianu p. Dowód
poprowadzimy przez indukcje, ze wzgledu
na k.
,
Twierdzenie jest prawdziwe dla k < m. Rzeczywiście, wówczas v = 0p + v,
k = deg v < deg p = m.
Przypuśćmy, że k ≥ m a także, że jeśli v ∗ ∈ P [x] jest wielomianem stopnia k 0 < k wówczas istnieja, wielomiany q ∗ oraz r∗ takie, że v ∗ = q ∗ p + r∗ ,
deg r∗ < deg p lub r = 0.
Oznaczmy przez vk i pm wspólczynniki dominujace
wielomianów v i p. Z
,
k−m
zalożenia element pm jest odwracalny. Wielomian v̄ = v−vk p−1
p jest stopm x
nia mniejszego od k. Z zalożenia indukcyjnego istnieja, wiec
wielomiany
q̄ oraz r
,
k−m
x
p
=
q̄p+r,
takie, że v̄ = q̄p+r, deg r < deg p lub r = 0. Wówczas v −vk p−1
m
k−m
x
+
q̄)p
+
r,
co
kończy
dowód
istnienia
wielomianów
qi
a zatem v = (vk p−1
m
r.
Pozostaje wykazać jedyność wielomianów q i r spelniajacych
warunki (9.4).
,
Przypuśćmy, że
v = qp + r
oraz
v = q̄p + r̄
przy czym ∂r < ∂p lub r = 0 i ∂ r̄ < ∂p lub r̄ = 0. Wówczas r − r̄ = (q̄ − q)p,
∂(r − r̄) < ∂p lub r − r̄ = 0. Stad
, już latwo wywnioskować, że q̄ = q i r = r̄.
ROZDZIAL 9. WYKLAD 9. 26.XI.2008
28
Wniosek 9.3 Niech P bedzie
pierścieniem z jedynka.
, Reszta z dzielenia wielo,
mianu v ∈ P [x] przez wielomian x − c jest równa v(c).
Dowód. Na mocy twierdzenia o dzieleniu wielomianów możemy napisać
v = q(x − c) + r
gdzie deg r = 0 lub r = 0. Wówczas v(c) = q(c)(c − c) + r(c), co oznacza, że
r(c) = v(c). ponieważ zaś wielomian r może mieć jedynie wspólczynnik r0 różny
od zera (mówimy, że r jest staly), r0 = v(c).
Element c pierścienia P nazywamy pierwiastkiem wielomianu v ∈ P [x]
jeśli v(c) = 0.
Niech v ∈ P [x], gdzie P jest pewnym pierścieniem calkowitym, x = q(x −
c) + r, gdzie r jest wielomianem stopnia zero. Z wniosku 9.3 wynika, że c jest
pierwiastkiem wielomianu v wtedy i tylko wtedy, gdy x − c dzieli v. Zapiszmy
to spostrzeżenie
Wniosek 9.4 Niech P bedzie
pierścieniem calkowitym. Wielomian v ∈ P [x]
,
jest podzielny przez wielomian x − c wtedy i tylko wtedy, gdy c jest pierwiastkiem
wielomianu v.
Z wniosku 9.4 bardzo latwo można wykazać jeszcze jeden, bardzo ważny
wniosek.
Wniosek 9.5 Niech P bedzie
pierścieniem calkowitym. Dowolny wielomian
,
v ∈ P [x] stopnia k ma co najwyżej k pierwiastków.
Rozdzial 10
Wyklad 10. 3.XII.2008
10.0.1
Pierścienie glówne (c.d.)
Twierdzenie 10.1 Pierścień wielomianów K[x] nad dowolnym cialem K jest
pierścieniem glównym.
Dowód. Niech B bedzie
idealem pierścienia K[x]. Jeśli B = {0}, to B jest
,
oczywiście idealem glównym, B = (0). Przypuśćmy wiec,
że B 6= {0}. Wtedy
,
w B sa, wielomiany niezerowe. Niech d bedzie
wielomianem
niezerowym, mini,
malnego stopnia w B. Wykażemy, że B = (d). W tym celu wystarczy wykazać,
że dla dowolnego b ∈ B istnieje q ∈ K[x] takie, że b = qd.
Z algorytmu dzielenia wielomianów (twierdzenie 9.2) wynika, że istnieja, takie
wielomiany q, r ∈ K[x], że
b = qd + r
deg r < deg d
Stad
, r = b − qd ∈ B. Jednak w ideale B jedynym wielomianem stopnia silnie
mniejszego niż deg d jest wielomian r = 0, a wiec
, b = qd, co należalo udowodnić.
Już niebawem okaże sie,
, że bardzo ważna, wlasnościa, pierścieni glównych jest,
że dowolny wstepuj
acy
ciag
,
, idealów pierścienia glównego jest stacjonarny. Te,
,
wlasność wykażemy w nastepnym
twierdzeniu.
,
Twierdzenie 10.2 W pierścieniu glównym P każdy wstepuj
acy
ciag
,
, idealów
,
C1 ⊂ C2 ⊂ . . . ⊂ Ck ⊂ . . .
jest stacjonarny, tzn. istnieje k0 ∈ N takie, że
Ck0 = Ck0 +1 = . . .
S∞
Dowód. Suma idealów C = i=1 Ci iest idealem (por. zad. ??). Ponieważ P
jest pierścieniem glównym, istnieje a ∈ P takie, że C = (a). Oczywiście a ∈ C,
a wiec
, istnieje k0 ∈ N takie, że a ∈ Ck0 .
29
ROZDZIAL 10. WYKLAD 10. 3.XII.2008
30
Z definicji C (jako mnogościowej sumy CI , i ∈ N): Ck0 ⊂ C. Z drugieje strony,
skoro a ∈ Ck0 , to z definicji idealu (a) ⊂ Ck0 , a wiec
, C ⊂ Ck0 i ostatecznie:
C = Ck0 .
Najwiekszym
wspólnym dzielnikiem elementów a i b pierścienia calko,
witego P nazywamy element d ∈ P spelniajacy
warunek:
,
d|a, d|b oraz dla każdego c ∈ P : c|a, c|b ⇒ c|d
Najwiekszy
wspólny dzielnik elementów a i b oznaczamy przez NWD(a, b) lub,
,
cześciej,
przez
(a, b).
,
W pierścieniach glónych najwiekszy
wspólny dzielnik dwóch elementów zawsze
,
istnieje i można go zapisać w specjalnej postaci. Twierdzenie które o tym mówi
nazwiemy twierdzeniem o NWD w pierścieniu glównym.
Twierdzenie 10.3 Każde dwa elementy a, b pierścienia glównego P maja, najwiekszy
wspólny dzielnik d ∈ P który jest ich kombinacja, liniowa,
, tzn. istnieja,
,
s, t ∈ P takie, że
d = sa + tb
Dowód. Rozważmy zbiór
S = {s1 a + t1 b|s1 , t1 ∈ P }
Latwo sprawdzić (por. zadanie ??), że S jest idealem. Ponieważ z zalożenia P
jest pierścieniem glównym, ideal S jest glówny, a wiec
, istnieje d ∈ P takie, że
S = (d). Ponieważ zarówno a jak i b należa, do S, d|a oraz d|b.
Jeśli c|a i c|b, a wiec
, a = αc, b = βc (α, β ∈ P ), wówczas
d = sa + tb = sαc + tβc = (aα + tβ)c
i wobec tego c|d.
Jeżeli najwiekszym
wspólnym dzielnikiem elementów a i b jest jedynka pier,
ścienia (inaczej: jeżeli (a, b) = 1), wówczas mówimy, że a i b sa, wzglednie
,
pierwsze. Wówczas jedynymi wspólnymi dzielnikami a i b sa, 1 i elementy
stowarzyszone z 1 (a wiec,
elementy odwracalne pierścienia). Zamiast pisać
,
(a, b) = 1 czesto
piszemy
a
⊥
b.
,
Pierścień calkowity P nazywamy euklidesowym jeśli istnieje funkcja h :
P ∗ → N+ taka, że dla wszystkich a ∈ P, b ∈ P ∗ istnieja, q, r ∈ P : a = bq + r, i
albo r = 0 albo h(r) < h(b).
Twierdzenie 10.4 Każdy pierścień euklidesowy jest pierścieniem glównym.
ALGORYTM EUKLIDESOWY W PIERŚCIENIU EUKLIDESOWYM)
10.1
Zasadnicze twierdzenie arytmetyki
Twierdzenie 10.5 Każdy pierścień glówny jest pierścieniem Gaussa.
Rozdzial 11
Wyklad 11. 10.XII.2008
11.0.1
Cialo ulamków pierścienia calkowitego
Niech P bedzie
pierścieniem calkowitym, P ∗ = P − {0}. wzbiorze Q = P × P ∗
,
zdefiniujmy dwa dzialania:
oraz relacje, R:
(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)
(11.1)
(a, b) · (c, d) = (ac, bd)
(11.2)
(a, b)R(c, d) ⇐⇒ ad = bc
(11.3)
Twierdzenie 11.1 Dla dowolnego pierścienia calkowitego P relacja R zdefiniowana przez 11.3 jest relacja, równoważności zgodna, z dzialaniami 11.1 i 11.2.
Dzieki
twierdzeniu 11.1 w zbiorze ilorazowym P × P ∗ /R można wprowadzić
,
dzialania dodawania i mnożenia:
[(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)]
(11.4)
[(a, b)] · [(c, d)] = [(ac, bd)]
(11.5)
Twierdzenie 11.2 (O ciele ulamków) Dla dowolnego pierścienia calkowitego
P zbiór P × P ∗ /R z dzialaniami zdefiniowanymi wzorami 11.4 i 11.5 jest cialem
przemiennym.
Cialo wystepuj
ace
w tezie twierdzenia 11.2 nazywamy cialem ulamków
,
,
pierścienia P .
31
ROZDZIAL 11. WYKLAD 11. 10.XII.2008
11.1
32
Pierścienie ilorazowe
Twierdzenie 11.3 Niech P bedzie
pierścieniem, a D ⊂ P jego podpierście,
niem. Relacja RD zdefiniowana w D wzorem
aRD b ⇐⇒ a − b ∈ D
jest relacja, równoważności w D.
Zbiór klas równoważności P/RD nazywamy ilorazem pierścienia P przez
podpierścień D i oznaczamy przez P/D.
Twierdzenie 11.4 W dowolnym pierścieniu P i dla dowolnego podpierścienia
D ⊂ P relacja RD jest zgodna z dzialaniami pierścienia wtedy i tylko wtedy, gdy
D jest idealem pierścienia P .
Twierdzenie 11.5 (O ilorazie pierścienia przez ideal) Jeśli I jest idealem
pierścienia P , to P/I jest pierścieniem (przemiennym, jeśli P jest przemienny,
z jedynka,
, jeśli P jest z jedynka).
,
Zauważmy, że zerem pierścienia P/I jest I. Jeśli P jest pierścieniem, zaś I
jego idealem, wówczas pierścień P/I nazywamy pierścieniem ilorazowym.
Mówimy, że ideal I pierścienia P jest idealem pierwszym, jeżeli dla dowolnych a, b ∈ P prawdziwa jest implikacja
ab ∈ I ⇒ a ∈ I lub b ∈ I
Przyklad. W Z idealami pierwszymi sa, idealy generowane przez liczby
pierwsze (inaczej: I ⊂ Z jest idealem pierwszym wtedy i tylko wtedy, gdy
I = (p), gdzie p jest pewna, liczba, pierwsza).
,
Nastepne
twierdzenie nazwiemy twierdzeniem o pierścieniach ilorazowych
,
bez dzielników zera.
Twierdzenie 11.6 Niech P bedzie
dowolnym pierścieniem, zaś I jego idealem.
,
P |I jest pierścieniem bez dzielników zera wtedy i tylko wtedy, gdy I jest idealem
pierwszym.
Lemat 11.7 Pierścień przemienny z jednościa, jest cialem wtedy i tylko wtedy,
gdy każdy jego ideal jest trywialny.
Dowód. ...
Ideal I pierścienia P nazywamy maksymalnym, jeżeli jedynym idealem
zawierajacym
I i różnym od I jest caly pierścień P .
,
Twierdzenie 11.8 (O idealach maksymalnych) Niech P bedzie
pierścieniem
,
przemiennym z jedynka.
, Ideal I jest idealem maksymalnym pierścienia P wtedy
i tylko wtedy, gdy pierścień P/I jest cialem.
Dowód. . . .
ROZDZIAL 11. WYKLAD 11. 10.XII.2008
11.2
33
Homomorfizmy pierścieni
Odwzorowanie h : P → Q pierścienia P w pierścień Q jest homomorfizmem
jeśli spelnia warunki
1. h(a + b) = h(a) + h(b)
2. h(ab) = h(a)h(b)
dla dowolnych a, b ∈ P . Im h = h(P ) nazywamy obrazem zaś Ker h = h−1 [Q]
jadrem
homomorfizmu h.
,
Twierdzenie 11.9
1. Obraz homomorfizmu pierścieni h : P → Q jest podpierścieniem pierścienia Q.
2. Jadro
homomorfizmu pierścieni h : P → Q jest idealem pierścienia P .
,
Twierdzenie 11.10 Dla dowolnych pierścieni P, Q homomorfizm pierścieni h :
P → Q jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Ker h = {0}.
Twierdzenie 11.11 (Podstawowe o izomorfiźmie pierścieni) Jeśli h : P →
Q jest epimorfizmem pierścienia na pierścień Q, wówczas zachodzi wzór
h = h̃ ◦ k
gdzie k : P → P/Ker h jest homomorfizmem kanonicznym, zaś h̃ : P/Ker h →
Q izomorfizmem przyporzadkowuj
acym
zażdej klasie elementów P/Ker h ich
,
,
wspólna, wartość w homomorfiźmie k.
Rozdzial 12
Wyklad 12. 17.XII.2009
12.1
Wielomiany wielu zmiennych
Twierdzenie 12.1 (Wzory Viety) Jeśli v ∈ K[x] v = a0 + a1 x + . . . +
an xn jest wielomianem stopnia n o n pierwiastkach α1 , . . . , αn (niekoniecznie
różnych), wówczas
v = k(x − α1 ) · . . . · (x − αn )
i zachodza, wzory (zwane wzorami Viety):
an = k
an−1 = −k(α1 + . . . + αn )
an−2 = k(α1 α2 + α1 α3 + . . . + αn−1 αn )
...
a0 = k(−1)n α1 · . . . · αn
12.1.1
Wielomiany symetryczne
r-tym podstawowym wielomianem symetrycznym Sr (x1 , . . . , xn ) nazywamy wielomian n zmiennych x1 , . . . , xn który jest suma, wszystkich różnych
iloczynów r różnych zmiennych.
Przyklad.
n = 4, r = 1: S1 (x1 , . . . , x5 ) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5
n = 5, r = 3: S3 (x1 , . . . , x5 ) = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + . . . + x3 x4 x5
Twierdzenie 12.2 Jeżeli α1 , . . . , αn ∈ L sa, pierwiastkami wielomianu v ∈
K[x] (gdzie cialo K jest podcialem ciala L), v = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 to
ar = (−1)r Sr (α1 , . . . , αn )
34
ROZDZIAL 12. WYKLAD 12. 17.XII.2009
35
Wniosek 12.3 Jeśli α1 , . . . , αn ∈ L sa, pierwiastkami wielomianu v ∈ K[x]
(gdzie K jest podcialem ciala L), to
Sr (α1 , . . . , αn ) ∈ K
dla każdego r, 1 ≤ r ≤ n.
Twierdzenie 12.4 (Podstawowe o wielomianach symetrycznych) W dowolnym opierścieniu z jedynka, D dla każdego wielomianu symetrycznego v ∈
D[x1 , . . . , xn ] istnieje dokladnie jeden wielomian w ∈ D[x1 , . . . , xn ] taki, że
v(x1 , . . . , xn ) = w(S1 (x1 , . . . , xn ), . . . , Sn (x1 , . . . , xn ))
Dow....
12.1.2
Twierdzenie Wilsona
Twierdzenie 12.5 (Twierdzenie Wilsona) Liczba p ∈ N jest pierwsza wtedy
i tylko wtedy, gdy
(p − 1)! + 1 ≡ 0( mod p)
Dow. ...
Rozdzial 13
Wyklad XIII, 7.I.2009
13.1
Zasadnicze Twierdzenie Algebry
Twierdzenie 13.1 Cialo liczb zespolonych jest algebraicznie zamkniete.
,
Dow. ...
Wniosek 13.2 Niech v ∈ R[x]. v ma nad R jednoznaczny rozklad na iloczyn
postaci:
v = an (x − c1 )s1 . . . (x − cl )sl (x2 + p1 x + q1 )t1 . . . (x2 + pr x + qr )tr
13.2
Pierścienie wielomianów nad pierścieniami
Gaussa
Mówimy, że wielomian p = a0 +a1 x+. . . an xn jest pierwotny jeżeli NWD(a0 , . . . , an ) =
1.
Każdy wielomian nierozkladalny jest pierwotny (na odwrót nie).
Twierdzenie 13.3 Każdy element pierwszy dowolnego pierścienia P jest także
elementem pierwszym P [x].
Dow. ...
Twierdzenie 13.4 (Lemat Gaussa) Jeśli P jest pierścieniem Gaussa, p, q ∈
P [x] sa, wielomianami pierwotnymi to iloczyn pq jest wielomianem pierwotnym.
Dow. ...
Twierdzenie 13.5 Iloczyn dowolnej liczby wielomianów pierwotnych nad pierścieniem
Gaussa jest wielomianem pierwotnym.
36
ROZDZIAL 13. WYKLAD XIII, 7.I.2009
37
Twierdzenie 13.6 Jeśli p jest wielomianem nierozkladalnym nad pierścieniem
Gaussa P , wówczas p jest także nierozkladalny nad cialem ulamków pierścienia
P.
Dow. ...
Wniosek 13.7 Niech P bedzie
pierścieniem Gaussa. Każdy wielomian nie,
rozkladalny w P [x] jest elementem pierwszym pierścienia P [x].
Dow. ...
Rozdzial 14
Wyklad XIV, 14.I.2009
14.1
Twierdzenie Gaussa
Twierdzenie 14.1 Pierścień wielomianów nad pierścieniem Gaussa jest pierścieniem
Gaussa.
Dow. ...
14.2
Rozszerzenia cial
Rozszerzeniem ciala K nazywamy cialo L takie, że K jest podcialem ciala L.
(czasami cialo K nazywamy malym zaś L dużym).
Jeśli cialo L jest rozszerzeniem ciala K, piszemy L : K.
Cialem generowanym przez X ⊂ K nazywamy najmniejsze cialo zawierajace
K.
,
Cialo generowane przez X ⊂ K jest równe:
• przecieciu
wszystkich podcial ciala K zawierajacych
X,
,
,
• zbiorowi elementów które można otrzymać w ciagu
skończonym operacji
,
(dzialań w ciele) na elementach z X (o ile X =
6 ∅).
Niech L : K, X ⊂ L. Cialem powstalym z K przez dolaczenie
X nazywamy
,
cialo generowane w L przez K ∪ X.
√
Przyklad 14.1 Q(i, 2)
Rozszerzenie ciala K o element a ∈ L nazywamy rozszerzeniem prostym
i oznaczamy przez K(a) (zamiast K({a})). Rozszerzenia o zbiór skończony
{a1 , . . . , an } oznaczamy przez K(a1 , . . . , an ).
√
√
Ćwiczenie 14.1 Sprawdź, że Q(i, −i, 3, − 3) jest rozszerzeniem prostym.
38
ROZDZIAL 14. WYKLAD XIV, 14.I.2009
14.2.1
39
Rozszerzenia skończone, algebraiczne i przestepne
,
Jeśli L i K sa, cialami i L : K i wymiar przestrzeni wektorowej L nad cialem K
wynosi n to mówimy, że n = [L : K] jest wymiarem ciala L nad K. Rozszerzenie
L nazywamy wówczas skończonym. Baza, ciala L nad K nazywamy baze, L
(traktowanego jako przestrzeń wektorowa nad K). L jest rozszerzenienm
nieskończonym L, jeśli nie jest rozszerzeniem skończonym.
Element a ∈ L nazywamy algebraicznym nad K jeśli a jest pierwiastkiem
pewnego, nie zerowego wielomianu v ∈ K[x]. Liczba, algebraiczna, nazywamy
dowolny element algebraiczny nad cialem Q.
√
√
√ p
Przyklad 14.2 Sprawdź, że i, 3, 2 + 2 oraz i + 3 sa, liczbami algebraicznymi. Wskaż ich wielomiany minimalne.
Twierdzenie 14.2 (Cantora) Zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny.
Element a ∈ L nazywamy elementem przestepnym
nad K (gdzie L : K),
,
jeżeli a nie jest algebraiczny nad K. Elementy przestepne
nad Q nazywamy
,
liczbami przestepnymi.
,
Wniosek 14.3 (O liczbach przestepnych)
Zbiór liczb przestepnych
jest nie,
,
przeliczalny.
Rozszerzenie L ciala K nazywamy algebraicznym jeźeli każdy element a ∈
L jest algebraiczny nad K.
Przyk
Wszystkie dotychczasowe przyklady.
√ 14.3
√
√ lad
Q( 2, 3 2, 4 2, . . .)
Podaj inne, nietrywialne przyklady.
Twierdzenie 14.4 (O rozszerzeniach skończonych) Każde rozszerzenie
skończone jest rozszerzeniem algebraicznym. Co wiecej,
jeśli [L : K] = k i
,
a1 , . . . , ak jest baza, L nad K, to L = K(a1 , . . . , ak ) i każdy element b ∈ L jest
elementem algebraicznym stopnia co najwyżej k nad K.
Twierdzenie 14.5 (O wielomianie minimalnym) Dla każdego elementu
a ∈ L algebraicznego nad K istnieje dokladnie jeden wielomian unormowany1
v ∈ K[x] taki, że
• v jest nierozkladalny na K,
• v(a) = 0,
• v dzieli każdy wielomian w ∈ K[x] którego a jest pierwiastkiem.
Wielomian v o którym mówi twierdzenie 14.5 nazywamy wielomianem minimalnym elementu algebraicznego a, zaś stopień tego wielomianu stopniem elementu a.
1 To znaczy taki, którego wspólczynnik dominujacy (przy najwyższej potedze) jest równy
,
,
jedynce.
Rozdzial 15
Wyklad XV, 21.I.2009
15.1
Cialo rozkladu
Cialem rozkladu wielomianu v ∈ K[x] nazywamy najmniejsze cialo, w którym
v rozklada sie, na iloczyn czynników liniowych
v = a(x − b1 ) . . . (x − bn )
Inaczej mówiac,
, jest to cialo K(b1 , . . . , bn )
Lemat 15.1 (O izomorficznych rozszerzeniach cial izomorficznych) Niech
0
0
K i K 0 bed
, a, izomorficznymi cialami, h : K → K izomorfizmem, zaś L rozsze0
rzeniem ciala K . Wówczas istnieje rozszerzenie L ciala K takie, że
1. L jest izomorficzne z L0 , oraz
2. istnieje izomorfizm g : L → L0 taki, że gK = h.
Dow. ...
Twierdzenie 15.2 (O ciele rozkladu) Dla dowolnego ciala K i wielomianu
v ∈ K[x] istnieje rozszerzenie L : K w którym v rozklada sie, na iloczyn czynników liniowych.
Dow. ...
40
Bibliografia
[1] M. Aigner i G.M. Ziegler, Dowody z ksiegi,
PWN, Warszawa 2002.
,
[2] A. Bialynicki-Birula, Algebra, PWN, Warszawa 1980.
[3] G. Birkhoff i S. Mac Lane, Przeglad
, Algebry Wspólczesnej, PWN, Warszawa 1963.
[4] G. Birkhoff i S. Mac Lane, Algèbre, Gauthier-Villars, Paryż 1971.
[5] G. Birkhoff i T.C. Bartee, Wspólczesna algebra stosowana, PWN, Warszawa 1983.
[6] D.A. Cox, Galois theory, Wiley 2004.
[7] W.J Gilbert, W.K. Nicholson, Algebra wspólczesna z zastosowaniami,
WNT, Warszawa 2008.
[8] D.W. Hardy i C.L. Walker, Applied algebra: codes, ciphers and discrete
algorithms, Prentice Hall 2003.
[9] N. Koblitz, Algebraiczne aspekty kryptografii, WNT, Warszawa 200
[10] A.I. Kostrykin, Wstep
, do algebry, cz. 1 Podstawy algebry, PWN Warszawa
2004.
[11] A.I. Kostrykin, Wstep
, do algebry, cz. 3 Podstawowe struktury algebraiczne,
PWN Warszawa 2005
[12] W.K. Nicholson, Introduction to abstract algebra, Third Edition, Wiley
2007.
[13] Z. Opial, Algebra Wyższa, PWN, Warszawa 1975.
[14] E.R. Scheinerman, Mathematics - discrete introduction, Brooks/Cole 2000.
[15] I. Stewart, Galois Theory, Chapman and Hall Mathematics, Londyn, Nowy
York 1989.
41