Algebra. Grupy i pierścienie
Transkrypt
Algebra. Grupy i pierścienie
Uniwersytet Mikołaja Kopernika Artur „Kozaq” Sowiński Minimum programowe Algebra Toruń 2009 1 Struktury Algebraiczne Lp 1 2 3 4 5 6 Nazwa Własności Wewnetrzność ˛ Łaczność ˛ Element Neutralny Element Przeciwny Przemienność Rozdzielność Własność ∀ x,y∈G x + y ∈ G ∀ x,y∈G x + y = y + x ∃e∈G ∀ x∈G x + e = e + x = x ∀ x∈G ∃y∈G x + y = y + x = e ∀ x,y∈G x + y = y + x ∀ x,y,z∈G x · (y + z) = (x · y) + (x · z) ∧ (y + z) · x = (y · x) + (z · x) Nazwa Struktury Oznaczenie Własn. (G, +) Półgrupa (G, +) 1-2 Monoid (G, +) 1-3 Grupa (G, +) 1-4 Grupa Abelowa (G, +) 1-5 Pierścień (G, +, ·) 1-5 Pierścień z 1 (G, +, ·) 1-5 Pierścień Przemienny z 1 (G, +, ·) 1-5 Ciało (G, +, ·) 1-5 Własn. (G, ·) Własn. +/· 1-2 1-3 1-3, 5 1-5 6 6 6 6 & 0,1 Definicja 1 . Podgrupa (H, ∗) grupy (G, ∗) (oznaczenie H ⊆ G ) spełnia własności: 1. H ⊂ G 2. 1G ∈ H 3. ∀h,k∈H h ∗ k ∈ H 4. ∀h∈H ∃k∈H h ∗ k = 1G 5. ∀h∈H h−1 ∈ H 1 2 Przykłady grup Przykład 1 . • Permutacja σ = (4 8 1 3 7 6 5 2) rozkłada sie˛ na cykle (1 4 3) (2 8) (5 7) • Jej znak wynosi sgn(σ) = (−1)(3−1) · (−1)(2−1) · (−1)(2−1) = 1 • Cykl (1 4 3) rozkłada sie˛ na transpozycje (12) (23) (34) (12) • Permutacje˛ σ nazywa sie˛ parzysta˛ gdy sgn(σ) = 1, a nieparzysta˛ gdy sgn(σ) = −1 Twierdzenie 1 . Własności transpozycji • Grupa permutacji stopnia n jest generowana przez n − 1 transpozycji • sgn : S n → {−1, 1} jest homomorfizmem grup Przykład 2 . Przykłady grup: • Grupa Symetryczna S n — zbiór permutacji zbioru {1, ..., n} w siebie • Grupa Alternujaca ˛ An — zbiór permutacji parzystych zbioru {1, ..., n} w siebie • Grupa addytywna liczb wymiernych (Q, +) • Grupa multiplikatywna liczb wymiernych (Q\{0}, · ) = Q∗ Twierdzenie 2 . Każda podgrupa grupy (Z, +) jest postaci (nZ, +) dla n ∈ N Definicja 2 . Grupa addytywna reszt (Zn , ⊕) 1. n ∈ N 2. Zn = {0, ..., n − 1} 3. ∀k,l∈Zn k ⊕ l := (k + l) mod n (reszta z dzielenia k + l przez n) Twierdzenie 3 . Własności grupy (Zn , ⊕) 1. Cykliczna, generatorem jest dowolna liczba wzglednie ˛ pierwsza z n L 2. G — skończenie generowana ⇒ G = (Zni , ⊕) i 2 3 Morfizmy Grup f : (G, ∗) → (H, ) Homomorfizm Monomorfizm Epimorfizm Izomorfizm Endomorfizm Automorfizm Wymagania ∀a,b∈G f (a ∗ b) = f (a) f (b) Homomorfizm różnowartościowy Homomorfizm „na” Homomorfizm odwracalny Homomorfizm ∧ (G, ∗) = (H, ) Izomorfizm ∧ (G, ∗) = (H, ) Definicja 3 . Dla dowolnego homomorfizmu f : (G, ∗) → (H, ) definiujemy: • Jadro ˛ homomorfizmu jako Ker( f ) = {g ∈ G : f (g) = 1H } = f −1 (1H ) ⊆ (G, ∗) • Obraz homomorfizmu jako Im( f ) = {h ∈ H : ∃g∈G f (g) = h} = ( f (G), ∗) ⊆ (H, ) Twierdzenie 4 . Niech f : (G, ∗) → (H, ) bedzie ˛ homomorfizmem grup • f jest monomorfizmem ⇔ Ker( f ) = {1G } • f jest epimorfizmem ⇔ Im( f ) = H Przykład 3 . Niech f, g, h, i : (Z, +) → (Z, +) Homo Mono Epi Izo 2 f (x) = x NIE NIE NIE NIE g(x) = x mod 5 TAK NIE NIE NIE h(x) = 2 · x TAK TAK NIE NIE i(x) = −x TAK TAK TAK TAK Ponadto g∗ : (Z, +) → (Z5 , +) dane wzorem g∗ (x) = g(x) jest epimorfizmem. Definicja 4 . (G, ∗), (H, ) sa˛ izomorficzne ⇔ istnieje izomorfizm f : (G, ∗) → (H, ), ozn. (G, ∗) ' (H, ) Przykład 4 . • (G, ∗) ' (G, ∗) • (Q, +) ; Q∗ Twierdzenie 5 . Cayley. ∀(G,∗),|G|=n (G, ∗) ' (Im(G), ∗) ⊂ S n 3 4 Twierdzenia o Izomorfizmie dla Grup Definicja 5 . Dzielnik Normalny grupy (G, ∗) — podgrupa H ⊂ G o własności: ∀h∈H ∀g∈G g ∗ h ∗ g−1 ∈ H, oznaczenie H C G Przykład 5 . • 1G C G oraz G C G • G — abelowa ⇒ ∀H∈G H C G • Ker( f ) C G Definicja 6 . Niech (G, ∗) —grupa, N C G oraz H ⊆ G 1. Warstwa elementu g ∈ G w H ⊆ G — zbiór gH = {g ∗ h : h ∈ H} ⊂ G 2. Indeks podgrupy H — liczba warstw, oznacza sie˛ [G : H] 3. Zbiór ilorazowy (G /N ) = {g ∗ N : g ∈ G} 4. Grupa Ilorazowa (G /N , ), gdzie gN hN = {(g ∗ h)N} Twierdzenie 6 . Lagrange’a. Jeżeli H ⊆ G, to |G| = |H| · [G : H] Twierdzenie 7 . I Twierdzenie o Izomorfizmie. Jeżeli f : (G, ∗) → (H, ) jest homomorfizmem, to: G /Ker( f ) ' Im( f ) Twierdzenie 8 . II Twierdzenie o Izomorfizmie. Niech H ⊆ G, K C G. Wówczas: H /(H∩K) ' 4 HK /K 5 Centrum Grupy i Komutant Definicja 7 . Centrum grupy (G, ∗) — podgrupa C(G) = {g ∈ G : ∀a∈G g ∗ a = a ∗ g} Definicja 8 . • Komutator elementów a, b ∈ G — element [a, b] = a ∗ b ∗ a−1 ∗ b−1 • Komutant grupy G — [G, G] = [a1 , b1 ] ∗ ... ∗ [an , bn ], gdzie ∀i=1,...,n ai , bi ∈ G Twierdzenie 9 . O komutantach 1. [G, G] C G 2. Grupa ilorazowa G /[G,G] jest abelowa 3. H C G ⇒ (G /H abelowa ⇔ [G, G] ⊂ H) 4. H ⊂ G oraz [G, G] ⊂ H ⇒ H C G Definicja 9 . Niech (G, ∗) — grupa, B ⊂ G Podgrupa˛ generowana˛ przez zbiór B ⊂ G nazywamy hBi = {g ∈ G : g = bk11 ∗ ... ∗ bknn , bi ∈ B, ki = 1} Twierdzenie 10 Własności: • hBi jest najmniejsza˛ podgrupa˛ zawierajac ˛ a˛ B • hBi = G ⇒ B jest zbiorem generatorów G • G jest grupa˛ cykliczna˛ ⇔ ∃g∈G G = hgi 5 6 Pierścienie i Ideały Przykład 6 Przykłady pierścieni: • Pierścień liczb całkowitych (Z, +, ·) • Pierścień wielomianów • Pierścień macierzy kwadratowych nad ciałem (Mn (K), +m , ·m ) • Pierścień reszt (Zn , ⊕, ) Twierdzenie 11 Zn — ciało ⇔ n — liczba pierwsza Definicja 10 Ideał (I, , ) pierścienia (R, , ) spełnia nastepuj ˛ ace ˛ własności: 1. (I, ) ⊆ (R, ) 2. r ∈ R ∧ i ∈ I ⇒ (r i) ∈ I Oznaczenie: (I, , ) C (R, , ) Definicja 11 Ideał (I, , ) pierścienia (R, , ) jest: 1. Pierwszy, gdy (r s ∈ I ⇒ r ∈ I ∧ s ∈ I) 2. Maksymalny, gdy ∀ J I ∈ J ⇒ I = J, gdzie (J, , ) C (R, , ) 3. Właściwy, gdy I , R P 4. Skończenie generowany, gdy ∃A⊂R, |A|<∞ I = hAi = { ki ai } ki ∈ R, ai ∈ A 5. Główny, gdy jest skończenie generowany ∧ |A| = 1 Twierdzenie 12 W dowolnym pierścieniu (R, , ) każdy ideał maksymalny jest pierwszy 6