Model elektronów swobodnych

Prof. dr hab. Adam Kiejna
Fizyka fazy skondensowanej I
Wykład 8 v.16
Model elektronów swobodnych
Model elektronów swobodnych
pozwala zrozumieć wiele właściwości fizycznych metali
Elektrony walencyjne atomów => elektrony przewodnictwa w metalu
(poruszają się swobodnie w objętości metalu)
Metale proste: metale alkaliczne (Li, Na, K, Cs, Rb)
Na+
Na+
Atom Na – 11 elektronów (1s2 2s2p6 3s)
Jon Na+ – 10 elektronów
Na+
Na+
Na+
Elektron 3s => elektron przewodnictwa
Elektrony 3s tworzą pasmo przewodnictwa 3s
Punktowe rdzenie jonów
zanurzone w morzu
elektronów przewodnictwa
Metal złożony z N jednowartościowych atomów:
=> N elektronów przewodnictwa
=> N dodatnich rdzeni jonowych
Gaz elektronów swobodnych
Na+
Na+
W metalach prostych jony (rdzenie atomowe)
zajmują niedużą część (~15%) objętości metalu
Na+
Na+
Na+
Model elektronów swobodnych => znany przed
sformułowaniem mechaniki kwantowej
Teoria klasyczna
Sukcesy:
• Mikroskopowe wyprowadzenie
prawa Ohma
• Związek pomiędzy przewodnictwem
elektrycznym i przewodn. cieplnym
(prawo Wiedemanna-Franza)
Porażki:
• Elektronowe ciepło właściwe
• Wyjaśnienie podatności magnetycznej
elektronów przewodnictwa
Porażki te wynikają z zastosowania klasycznego
rozkładu Maxwella-Boltzmanna -- nie z modelu
elektronów swobodnych !
Model elektronów swobodnych
Dalsze problemy:
• Średnia droga swobodna elektronu => wielokrotność (duża) odległości
międzyatomowych ( w niskich temp. nawet ~108 a0 ~ 1 cm )
• Dlaczego ciało stałe jest tak przeźroczyste dla elektronów przewodnictwa ?
Odpowiedź:
Ponieważ atomy są ułożone w
regularnej sieci w której fale materii
są propagowane swobodnie
Ponieważ elektron przewodnictwa
jest rozpraszany tylko z rzadka
przez inne elektrony przewodnictwa
Konsekwencja zakazu Pauliego
Gaz Fermiego elektronów swobodnych =>
Gaz elektronów swobodnych podlegających zasadzie Pauliego
V(x) = const = 0
funkcja falowa jednego elektronu
(jednoelektronowa) będąca rozwiąz.
r. Schrodingera dla jednego elektronu
(nieskończone
bariery potencjału)
Poziomy energii w modelu 1-wymiarowym
Podstawiamy do równania:
Energia własna w stanie n
Chcemy umieścić N elektronów na jednej linii => zakaz Pauliego
(dwa elektrony nie mogą mieć identycznych wszystkich liczb kwantowych)
Każdy orbital obsadzony tylko przez jeden elektron
W jednowymiarowym krysztale – dwie liczby kwantowe:
n – dowolna liczba dodatnia
ms – magnetyczna l. kwantowa, ms = ± ½ (w zależności od orientacji spinu
Obsadzamy N elektronami stany od najniższego (n = 1) do najwyższego nF
(zakładamy, że N parzyste, wtedy 2nF = N)
Energia najwyższego z
obsadzonych poziomów:
Wpływ temperatury na funkcję rozkładu Fermiego-Diraca
Stan podstawowy => stan układu w temperaturze 0 K.
Co się dzieje gdy temperatura wzrasta?
Zagadnienie fizyki statystycznej => funkcja rozkładu Fermiego-Diraca
Energia kinetyczna gazu elektronowego rośnie ze wzrostem temperatury:
=> obsadzone są niektóre poziomy energii (nieobsadzone w 0 K),
=> zwalniane są pewne poziomy energii (obsadzone w T = 0 K ).
Funkcja rozkładu
Fermiego-Diraca
Funkcja rozkładu Fermiego—Diraca
w różnych temperaturach dla TF = EF /kB = 50000 K (odpowiada EF= 4,3 eV)
μ jest funkcją temperatury.
μ jest wybrany w ten sposób by
całkowita liczba cząstek była
równa N.
ε/kB [104 K ]
rozkład Maxwella-Boltzmanna
Funkcja rozkładu Fermiego—Diraca
w różnych temperaturach dla TF = EF /kB = 50000 K (odpowiada EF= 4,3 eV)
μ jest funkcją temperatury.
ε /kB [104 K ]
W temperaturze 0 K => μ = EF bo f(E) zmienia się skokowo od 1 do 0, dla E = EF = μ
We wszystkich temperaturach f(E) = ½, gdy E = μ
(*)
W 300 K, kBT = 0,026 eV
( kB = 8,617 x 10-5 eV/K )
Swobodny gaz elektronowy
w trzech wymiarach
ℏk – wartość własna.
ky
Zajęte orbitale mogą być
przedstawione jako punkty
wewnątrz koła (kuli)
w przestrzeni k
kx
Gęstość elektronowa
Z
Metal
n [e/cm3]
kF [cm-1]
vF [cm/s]
1,07x108
EF
[eV]
3,23
1
Na
2,65x1022
0,92x108
1
Cu
8,45
2
Mg
2
TF [K]
3,75x104
1,36
1,57
7,00
8,12
8,60
1,37
1,58
7,13
8,27
Zn
13,10
1,57
1,82
9,39
10,90
3
Al
18,06
1,75
2,02
11,63
13,49
4
Pb
13,20
1,57
1,82
9,37
10,87
D(E)
D(E)
T=0
kBT
W wyższych temperaturach:
D(E) f (E)
fcja Fermiego-Diraca
Ciepło właściwe gazu elektronowego
Klasyczna mechanika statystyczna: cząstka swobodna => Cv = 3/2 kB
N atomów jednowalencyjnych =>
3/2 NkB
Obserwowany doświadczalnie wkład elektronów ~100 razy mniejszy !
P: Czemu elektrony wnoszą taki wkład do przewodnictwa jak gdyby mogły
poruszać się swobodnie a nie przyczyniają się do ciepła właściwego ?
O: Przyczyną jest zasada Pauliego i funkcja rozkładu Fermiego-Diraca !
Tylko elektrony o energii kBT wokół poziomu Fermiego
są wzbudzane termicznie
Ciepło właściwe gazu elektronowego
Jeżeli N jest liczbą elektronów to tylko ich część T / TF
może być wzbudzona termicznie w temperaturze T
( bo tylko one leżą w przedziale energii kBT wokół EF )
D(E)
Każdy z nich ma energię rzędu kBT
Ciepło właściwe gazu elektronowego