wyznaczanie ruchu cieczy lepkiej metodą sztucznej ściśliwości na

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
32, s. 267-272, Gliwice 2006
ISNN 1896-771X
WYZNACZANIE RUCHU CIECZY LEPKIEJ
METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI
NA SIATKACH NAKŁADAJĄCYCH SIĘ
ZBIGNIEW KOSMA
BOGDAN NOGA
PRZEMYSŁAW MOTYL
Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Radomska
Streszczenie. Przedstawione zostały własne algorytmy numeryczne, przeznaczone
do wyznaczania dwuwymiarowego, stacjonarnego ruchu cieczy lepkiej metodą
sztucznej ściśliwości w obszarach kanałów prostoliniowych, podwójnie zagiętych.
Kanały wlotowe i wylotowe mają stałe długości, różne są długości kanałów
pośrednich. Zagadnienia te rozwiązywano metodą prostych, sprowadzając
zagadnienia początkowo-brzegowe dla układów równań różniczkowych
cząstkowych do zagadnień początkowych dla układów równań różniczkowych
zwyczajnych. Obliczenia wykonano na trzech równomiernych, nakładających się
siatkach 30 L × 30 w kanałach o długościach L = 2 ÷ 9 dla Re ≤ 200.
1. METODA SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI
Wyznaczanie płaskiego ruchu cieczy lepkiej metodą sztucznej ściśliwości [1] polega na
rozwiązywaniu zagadnienia początkowo-brzegowego dla układu równań różniczkowych
cząstkowych – utworzonego ze zmodyfikowanego równania ciągłości
∂p 1
+
∂τ β
 ∂ u + ∂v  = 0
 ∂x ∂y 


(1)
oraz równań Naviera-Stokesa, zapisanych w postaci diwergentnej:
∂ u ∂ ( u 2 + p) ∂ ( u v )
1 r2
+
+
=
∇ u,
∂t
∂x
∂y
Re
∂ v ∂ ( u v ) ∂ (v 2 + p ) 1 r 2
+
+
=
∇ v.
∂t
∂x
∂y
Re
(2)
Układ równań (1) – (2) zawiera trzy funkcje niewiadome: ciśnienie p ( x, y, τ ) oraz dwie
r
składowe prędkości u ( x, y , t ) i v ( x, y, t ) , ∇ 2 oznacza operator laplasjanu, Re jest liczbą
Reynoldsa. Występujący w równaniu ciągłości (1) parametr relaksacyjny β wynika z założenia
268
Z. KOSMA, B. NOGA, P. MOTYL
zmiennej gęstości cieczy lepkiej i zastąpienia równania ciągłości dla cieczy nieściśliwej
zlinearyzowanym równaniem ciągłości dla gazu.
Zaletą metody sztucznej ściśliwości w rozważanej postaci jest fakt pojawienia się
w układzie równań opisujących ruch cieczy lepkiej (1) – (2) pochodnej ciśnienia względem
pseudo-czasu τ (przyjęto τ = t ), a jej zasadniczą wadą – ograniczenie stosowania tylko do
wyznaczania ruchu stacjonarnego.
2. SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA
Rozważymy zagadnienie wyznaczania ruchu cieczy lepkiej w obszarach kanałów
prostoliniowych, podwójnie zagiętych z dwoma wklęsłymi narożami [2 – 5]. Przyjęto (rys. 1),
że wszystkie kanały mają jednakową wysokość – H = 1, a ich długości są następujące: kanał
górny – L1 = 2 , kanał dolny – L 3 = 9, kanał pośredni – L 2 = ( 2 ÷ 4 ) H .
y
L1
1
H
0
2
1
3
4
5
6
7
8
9
10
x
L2
−1
H
−2
−3
L3
H
Rys. 1. Prostoliniowy kanał podwójnie zagięty
Dla określenia warunków brzegowych dla układu równań (1) – (2) w zakresie przepływu
laminarnego przyjmiemy paraboliczne rozkłady składowej prędkości u na wlocie do kanałów
i wylocie z kanałów oraz ponadto założymy, że wydatek przepływającego strumienia cieczy
jest równy Q = 1. Stąd mamy
u
x= 0
= 6 y (1 − y ),
v
x= 0
= 0.
Warunki brzegowe dla składowych prędkości na ściankach kanałów wyrażają nieprzenikalność
i brak poślizgu.
Ciśnienie spełnia na ściankach kanałów warunek brzegowy wynikający z równań NavieraStokesa
∂p
r
∂n
=
∂Ω
1 r2 r
∇ V
Re
,
∂Ω
w przekrojach wlotowych założono ∂ p ∂ x = 0, w przekrojach wylotowych – p = 1.
(3)
WYZNACZANIE RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI...
269
3. OBLICZENIA NUMERYCZNE
Obszary kanałów podwójnie zagiętych (rys. 1) podzielono na trzy nakładające się
prostokątne kanały (rys. 2) o długościach – L = 2 ÷ 9, w których wygenerowano trzy
równomierne, nakładające się siatki 30 L × 30.
Przy rozwiązywaniu zagadnień początkowo-brzegowych dla układów równań (1) – (2)
w każdym kanale (prostokącie) wszystkie pochodne względem zmiennych przestrzennych
aproksymowano przy wykorzystaniu klasycznych ilorazów różnicowych drugiego rzędu
dokładności [6]. Przy zachowaniu czasu t jako zmiennej niezależnej ciągłej uzyskano
zagadnienia początkowe dla układów równań różniczkowych zwyczajnych postaci:
dU
= F ( U ),
dt
(4)
gdzie U = [ p, u , v ] jest wektorem zmiennych zależnych, a F – różniczkowym operatorem
przestrzennym.
Zagadnienia początkowe dla układów równań różniczkowych zwyczajnych (4)
rozwiązywano dwukrokową metodą predyktor-korektor wstecznego różniczkowania [7].
Wartości ciśnienia na ściankach kanałów i na wlocie określano z warunków brzegowych (3)
oraz ze znikania gradientu ciśnienia, po uprzedniej aproksymacji pochodnych ciśnienia
względem normalnej do brzegów obszarów klasycznymi, jednostronnymi ilorazami
różnicowymi O ( h 2 ) .
T
I
II
III
Rys. 2. Podział kanału podwójnie zagiętego na trzy nakładające się kanały prostokątne
Zagadnienia początkowe dla układów równań (4) rozwiązywano oddzielnie w każdym
kanale prostokątnym z przekazywaniem wartości ciśnienia i składowych prędkości na
nakładających się granicach w dwóch sąsiadujących ze sobą kanałach. Obliczenia wykonano
dla Re ≤ 200. Pierwsza iteracja z warunkami początkowymi określającymi stan spoczynku
została pokazana na rys. 3, do ustalenia się pól prędkości i ciśnienia niezbędne było wykonanie
około 100 iteracji globalnych i 50 000 ÷ 900 000 iteracji lokalnych na każdej siatce. Przyjęto
następujące dane sterujące przebiegiem obliczeń: parametr relaksacyjny β = 0.8, krok
czasowy –
∆ t = 1⋅10 −3 , dokładność korekcji metody wstecznego różniczkowania –
ε 2 = 1⋅10 −8 , dokładność ustalania się modułów pochodnych układów równań (4) –
ε1 = 1 ⋅10 −10. Rezultaty obliczeń numerycznych dla L 2 = 2 i L 2 = 4 zostały przedstawione na
rys. 4 – 5.
270
Z. KOSMA, B. NOGA, P. MOTYL
I
II
III
Rys. 3. Warunki początkowe w nakładających się obszarach kanału podwójnie zagiętego
Rys. 4. Obrazy funkcji prądu w kanale podwójnie zagiętym dla L 2 = 2
WYZNACZANIE RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI...
Rys. 5. Obrazy funkcji prądu w kanale podwójnie zagiętym dla L 2 = 4
271
272
Z. KOSMA, B. NOGA, P. MOTYL
4. PODSUMOWANIE
Stwierdzono dużą skuteczność i szybkość działania opracowanych algorytmów
numerycznych wyznaczania ruchu cieczy lepkiej w obszarach o geometrycznie
skomplikowanych kształtach, polegających na zastosowaniu siatek nakładających się oraz
sprowadzaniu zagadnień początkowo-brzegowych dla układów różniczkowych cząstkowych
do zagadnień początkowych dla układów równań różniczkowych zwyczajnych (metoda
prostych). Algorytmy te są proste koncepcyjnie i mogą być łatwo przystosowane do
wyznaczania laminarnego ruchu cieczy lepkiej w różnych obszarach płaskich.
Uzyskano zadowalającą zgodność położenia stref recyrkulacyjnych w rozważanych
obszarach prostoliniowych kanałów podwójnie zagiętych, w porównaniu z wynikami obliczeń
numerycznych innych autorów [3 – 5]. Założenie stacjonarności przepływów okazało się
istotną trudnością, uniemożliwiającą wykonanie obliczeń dla wyższych liczb Reynoldsa.
LITERATURA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Hirsch Ch.: Numerical computational of internal and external flows. Vol 2: Computational
methods for inviscid and viscous flows. New York: John Wiley & Sons, 1990.
Tulapurkara E.G., Lakshmana Gowda B.H., Balachandran N.: Laminar flow through
slots, J. Fluid Mech., 190, 1988, s. 179-200.
Hwang Y.-H.: Arbitrary domain velocity analyses for the incompressible Navier-Stokes
equations, J. Comp. Phys., 110, 1994, s. 134-149.
Bathe K.-J., Zhang H.: A flow-condition-based interpolation finite element procedure for
incompressible fluid flows, Comp. Struct., 80, 2002, s. 1267-1277.
Ramšak M., Škerget L.: A subdomain boundary element method for high-Reynolds laminar flow using stream function-vorticity formulation, Int. J. Numer. Meth. Fluids, 46,
2004, s. 815-847.
Kosma Z.: Metody numeryczne dla zastosowań inżynierskich. Radom: WPR, 2004.
Hairer E., Norsett S.P., Wanner G.: Solving ordinary differential equations I. Nonstiff
problems. Berlin: Springer-Verlag, 1993.
NUMERICAL SIMULATIONS OF VISCOUS FLUID MOTIONS
ON OVERLAPPING GRIDS USING THE ARTIFICIAL
COMPRESSIBILITY METHOD
Summary. The artificial compressibility method is designed for computation of
stationary viscous incompressible flows in double bent channels. The spatial derivatives and the boundary conditions are discretized by means of the classical secondorder finite-difference schemes on three overlapping uniform grids, while preserving the time-variable continuos. The resulted system of ordinary differential equations has been integrated using the two-step backward-differentiation predictorcorrector method. Calculations have been made for Re ≤ 200 on three uniform
30 L × 30 grids for the channels lengths L = 2 ÷ 9.