Przykład 1.3. Wyznaczanie toru, prędkości i przyśpieszenia punktu

Przykład 1.3. Wyznaczanie toru punktu, jego prędkości i przyśpieszenia oraz promienia
krzywizny toru – współrzędne biegunowe.
Punkt na płaszczyźnie porusza się tak, że jego równania ruchu we współrzędnych
biegunowych (gdzie k i ω są stałymi dodatnimi) są postaci:
r ( t ) = k e ω t

 ϕ (t ) = ω t
Wyznaczyć tor punktu, jego prędkość i przyśpieszenie oraz promień krzywizny toru.
ROZWIĄZANIE
1. Wyznaczenie toru punktu
Równanie toru uzyskamy rugując z równań ruchu parametr czasu. W tym celu
wystarczy podstawić ω t = ϕ ( t ) do równania r ( t ) . Otrzymamy wtedy
r = k eϕ .
Zatem torem punktu jest spirala logarytmiczna.
2. Wyznaczenie prędkości punktu
Obliczamy składowe: promieniową i obwodową prędkości punktu, które określone są
związkami:
dr ( t )
= k ω eω t
dt
dϕ ( t )
Vϕ = r
= r ω = kω eω t
dt
Vr =
Prędkość całkowita punktu wynosi zatem
V ( t ) = Vr2 + Vϕ2 = 2 kω eω t = 2 ω r ( t ) .
3. Wyznaczenie przyśpieszenia punktu
Składowe: promieniowa i obwodowa przyśpieszenia wyrażają się związkami:
ar =
d 2 r( t )
 dϕ ( t ) 
−r 

 dt 
2
dt 2
1 d  dϕ 
aϕ = ⋅  r 2

r dt  dt 
Obliczając potrzebne pochodne
1
dr ( t )
ωt
= kω e
dt
d 2 r( t )
ωt
= k ω 2e
dt 2
dϕ
=ω
dt
d  2 dϕ  d  2 2ω t 
2ω t
 = 2 k 2ω 2 e
r
 =  k ω e

dt  dt
dt 
i podstawiając do związków określających a , a mamy:
r ϕ
ar = 0
aϕ = 2 kω 2 e ω t
Z powyższego wynika, że wektor przyśpieszenia punktu jest prostopadły do promienia
wodzącego, a jego długość wynosi
a = aϕ = 2 kω 2 eω t = 2ω 2 r ( t ) .
4. Wyznaczenie promienia krzywizny toru
Promień krzywizny ρ związany jest ze składową normalną przyśpieszenia zależnością:
V2
n
a =
, która pozwoli nam obliczyć jego długość.
ρ
Obliczmy składową a n poprzez rozkład przyśpieszenia na kierunki styczny i normalny:
( ) + (a )
a2 = a n
Mamy stąd
2
τ 2
.
( )
a n = a2 − a τ
2
.
Składową styczną przyśpieszenia możemy obliczyć jako a τ =
uzyskując
aτ =
d
dt
(
)
2ω r ( t ) = 2 kω 2 eω t .
n
Wartość składowej a wynosi więc
an =
(2kω
2 ωt
e
) −(
2
2 kω 2 e ω t
)
2
= 2 kω 2 eω t ,
a szukany promień krzywizny ρ wynosi
(
ρ=
2 kω eω t
)
2 ωt
2 kω e
2
= 2 keω t = 2 r ( t ) .
2
dV
dt