Pomiar składowej poziomej indukcji ziemskiego pola

Ćwiczenie E-8
Pomiar składowej poziomej indukcji ziemskiego pola magnetycznego
metodą oscylacji igły magnetycznej.
Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości składowej poziomej indukcji ziemskiego pola magnetycznego.
II. Przyrządy:
zasilacz napięcia stałego, opornica dekadowa, amperomierz, solenoid, komutator, stoper.
III. Literatura:
J. L. Kacperski, I Pracownia fizyczna.
I.
IV. Wstęp
Pojęcie magnetyzmu ziemskiego zostało wprowadzone do nauki w 1600 r., kiedy Gilbert doszedł do wniosku, że pole magnetyczne Ziemi przypomina pole dipola – pole takie wytwarzałby
prąd płynący przewodnikiem opasującym Ziemię wzdłuż równika. Było to bardzo trafne uogólnienie wyników najprostszych pomiarów, wykonywanych za pomocą swobodnie zawieszonej igły
magnetycznej. Bezpośrednie obserwacje, które przeprowadzono w ostatnich latach przy użyciu
sond kosmicznych wykazały, że obszar występowania ziemskiego pola magnetycznego (magnetosfera) jest zniekształcony w porównaniu z symetrycznym polem dipola przez strumień naładowanych cząstek emitowanych ze Słońca – tzw. wiatr słoneczny. Pomimo tego zastąpienie pola geomagnetycznego przez pole dipola, umieszczonego w pobliżu środka Ziemi, jest w wielu rozważaniach dostatecznie dobrym przybliżeniem. Kąt pomiędzy osią takiego dipola i osią obrotu Ziemi
ulega powolnym zmianom: obecnie wynosi ok. 0,2 rad.
Pomiary wykazały, że ziemskie pole magnetyczne podlega wahaniom okresowym i nieregularnym, z którymi związane są m. in. burze magnetyczne i zorze polarne. Okresy wspomnianych
zmian leżą w szerokim przedziale – od wiekowych przez roczne i dzienne aż do częstości radiowych.
Spośród hipotez próbujących wyjaśnić zjawisko magnetyzmu ziemskiego najczęściej brana jest
pod uwagę teoria samowzbudzającej się prądnicy (W. M. Elsasser, E. C. Bullard, 1950), w myśl
której pole ziemskie indukowane jest przez prąd elektryczny generowany w wyniku przepływu
cieczy w ciekłym jądrze Ziemi1.
Pole magnetyczne niezbędne do zapoczątkowania działania prądnicy było przypuszczalnie pochodzenia galaktycznego (jego natężenie mogło być znacznie mniejsze od natężenia zainicjowanego pola ziemskiego). Do podtrzymania przepływu cieczy w jądrze (prędkość przepływu wynosi
ok. 1 mm/s) służy energia grawitacyjna, uwalniana w procesie przemieszczania cięższych składników jądra w kierunku jego centrum i lżejszych w kierunku peryferii.
V. Zastosowanie
Przytoczmy kilka przykładów zastosowania wyników pomiarów pola magnetycznego Ziemi:
− Pomiary zmian pola na powierzchni Ziemi pozwalają określić przewodnictwo elektryczne
różnych obszarów płaszcza. Wyniki takie znajdują zastosowanie m. in. w sejsmologii.
1
Zewnętrzna warstwa Ziemi, do głębokości kilkudziesięciu kilometrów, nazywana jest skorupą; poniżej, do około
2500 km, występuje płaszcz; pozostałą część objętości zajmuje, składające się głównie z żelaza i niklu, jadro płynne, z
wyjątkiem części centralnej o promieniu ok. 1200 km. Ciśnienie w jądrze wynosi kilka GPa, a temperatura ponad
4000 K. Lepkość płynnego żelaza i niklu jest w takich warunkach bliska lepkości wody, a przewodność elektryczna
przewyższa przewodność miedzi.
1
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-8
− Badanie magnetyzmu szczątkowego cegieł i wypalanych glin z wykopalisk dostarcza niekiedy informacji o wieku znaleziska. „Wywiad magnetyczny” archeologów polega na pomiarze pola
ziemskiego z dokładnością 10-9 T, przeprowadzonym przy użyciu magnetometru protonowego.
pozwala to nie tylko odnajdywać wypalane gliny i cegły, których magnetyzm szczątkowy związany jest z 1÷10% zawartością tlenków żelaza, lecz także wykrywać m. in. nasypy ziemne (podwyższona podatność magnetyczna) oraz ściany i drogi (obniżona podatność).
− Ponieważ historia ziemskiego pola magnetycznego znana jest z pomiarów bezpośrednich dla
ostatnich 300 lat (dokładne mapy magnetyczne sporządzano dla celów nawigacyjnych), a pośrednio dla miliardów lat, ze znajomości magnetyzmu szczątkowego skał wnioskuje się m. in. o powolnych ruchach kontynentów. Pozwoliło to potwierdzić zarzuconą swego czasu teorię Wegnera o
połączeniu istniejącym w przeszłości pomiędzy kontynentem amerykańskim a Afryką i Europą.
Pole ziemskie istnieje co najmniej 2,7 mld lat, a więc ponad połowę wieku Ziemi. W tym czasie
wielokrotnie zmieniało swoją biegunowość, jak o tym świadczą badania skał osadowych. Dodajmy jeszcze, że nie wykryto pola magnetycznego u sąsiednich planet (Wenus i Mars), a pole magnetyczne Księżyca posiada indukcję o wartości wynoszącej mniej niż 1% ziemskiej i nie można
go opisać przez pole dipola (również ziemskie na dużych głębokościach ma prawdopodobnie
znaczne bardziej skomplikowany charakter, maskowany jednak przewodnictwem elektrycznym
warstw wyżej leżących).
VI. Metoda pomiaru
r
Swobodnie zawieszony magnes o momencie magnetycznym p m , umieszczony w polu o indukr
cji B , dąży do zajęcia położenia odpowiadającego minimum energii potencjalnej, w którym wekr
r
r
tory p m i B są równoległe i mają zgodne zwroty. Momentowi magnetycznemu p m przypisujemy
wektor o kierunku wyznaczonym przez bieguny magnesu i o zwrocie od bieguna S do bieguna N.
r
Po odchyleniu magnesu z położenia równowagi pojawia się moment siły M :
r
r
r
M = −p m × B , czyli
M = −p m B sin ϕ
(1)
r
r
gdzie ϕ oznacza kąt pomiędzy wektorami p m i B .
Dla małych kątów ϕ można przyjąć sinϕ ≈ ϕ i moment siły jest proporcjonalny do wychylenia:
M = −p m Bϕ ,
czyli
M + p m Bϕ = 0
(2)
Magnes wychylony z położenia równowagi i puszczony swobodnie wykonuje wówczas drgania
d 2ϕ
harmoniczne. Po podstawieniu M = I 2 do równania (2), gdzie I oznacza moment bezwładności
dt
2
2
magnesu, a d ϕ/dt przyspieszenie kątowe, otrzymamy:
d 2ϕ p m B
+
ϕ=0
dt 2
I
(3)
Jest to równanie ruchu harmonicznego o częstości kołowej ω:
d 2ϕ
+ ω2ϕ = 0
dt 2
(4)
gdzie:
ω2 =
4π2 p m B
=
T2
I
(5)
2
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-8
Z równania tego można wyznaczyć poszukiwany związek pomiędzy okresem T wahań magnesu i indukcją magnetyczną B:
T−2 =
pmB
4π2 I
(6)
Zależność (6) dostarcza nam metody pomiaru pola magnetycznego Ziemi. W ćwiczeniu będzie
nas interesowała tylko składowa pozioma Be. Idea doświadczenia polega na skompensowaniu
składowej Be przez znane pole magnetyczne solenoidu Bs. Rozpatrzmy przykład, gdy wektory
natężenia pola solenoidu i składowej poziomej są antyrównoległe – wówczas pole wypadkowe
B = Be – Bs i zależność (6) uzyska postać:
T−2 =
p m ( Be − Bs ) p m Be p m Bs
=
−
4π 2 I
4π 2 I 4π 2 I
(7)
Pole solenoidu, którego długość l jest znacznie większa od promienia r, ma wartość:
Bs =
µ o ni
l
(8)
gdzie n oznacza liczbę zwojów, i – natężenie przepływającego prądu, l – długość solenoidu,
µo = 4π⋅10-7 Hm-1 jest przenikalnością magnetyczną próżni. Wszystkie wielkości należy mierzyć w
jednostkach układu SI.
Z ostatnich związków otrzymamy;
T−2 =
p m B e µ o p m ni
−
4π 2 I
4π 2 Il
(9)
albo po wprowadzeniu oznaczeń:
a=
p m Be
;
4π2 I
b=−
µo pm n
4π 2 Il
(10)
i wykorzystaniu skali funkcyjnej y = T-2 , x = i:
y = a + bx
(11)
Jeśli pole magnetyczne solenoidu całkowicie kompensuje składową poziomą pola ziemskiego,
wówczas igła obraca się swobodnie, co odpowiada nieskończonemu okresowi drgań:
Tk = ∞
czyli
yk = 0
Z wykresu funkcji (9) można odczytać odpowiednią wartość natężenia prądu ik i obliczyć na tej
podstawie składową poziomą indukcji pola ziemskiego:
(Bs )k = Be = µ o nik
(12)
l
VII. Układ pomiarowy
Podstawową częścią układu jest długi solenoid z zawieszonym na niesprężystej nici magnesem
sztabkowym (igła magnetyczna). Schemat układu przedstawia rys. 1.
3
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-8
K
R
U +
−
komutator
L
A
Rys.1 Układ pomiarowy do wyznaczenia składowej poziomej indukcji B pola ziemskiego.
VIII. Pomiary
1. Zmierzyć długość solenoidu l i policzyć jego liczbę zwojów n.
2. Zbudować układ doświadczalny wg schematu z rysunku 1. Oś solenoidu powinna pokrywać się
z kierunkiem pola ziemskiego czyli kierunkiem Pd – Pn.
3. Komutator ustawić w położeniu, w którym zwroty natężenia pola magnetycznego solenoidu i
składowej poziomej pola ziemskiego są przeciwne. Jeden ze sposobów tego ustalenia jest następujący. Ustalić natężenie prądu i = 0,005 A (patrz następny punkt 4) i zmierzyć czas t20 20-tu
wahnięć dla jednego ustawienia komutatora a następnie czas 20-tu wahnięć dla drugiego ustawienia. Właściwym ustawieniem komutatora jest to położenie, dla którego czas t20 wahnięć igły
podczas przepływu prądu jest większy (patrz wykres na rys 2). Do odchylenia igły z położenia
równowagi służy magnes sztabkowy.
4. Zmierzyć czas t20 20-tu wahnięć igły magnetycznej dla natężeń prądu i = 0,005A, 0,010A,
0,015A, … 0,100A. Wyniki zebrać w tabeli 1
Tabela 1
Lp
Natężenie prądu i
[A]
Czas 20 wahnięć t20
[s]
Okres T
[s]
1
2
3
…
IX. Opracowanie
1. Na podstawie danych z tabeli 1 sporządzić wykres zależności okresu drgań igły od natężenia
prądu przepływającego przez solenoid (rys.2).
2. Wyniki otrzymane dla natężeń prądu i > ik nanieść na wykres sporządzony w skali x = i, y = T-2.
3. Metodą najmniejszych kwadratów lub graficznie znaleźć parametry a i b (oraz niepewności ∆a i
∆b) i na tej podstawie natężenie prądu ik. Ze wzoru (11) dla yk = 0 (Tk = ∞) otrzymujemy:
a
ik = −
b
Do wyznaczenia parametrów a, b oraz ∆a i ∆b można wykorzystać funkcję REGLINP programu Excel.
4
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-8
T [s]
i > ik
0
ik
i [A]
Rys.2 Zależność okresu drgań igły magnetycznej od natężenia prądu w uzwojeniu solenoidu.
4. Ze wzoru (12) obliczyć wartość składowej poziomej Be. Wynik zapisać w układzie SI (w teslach T).
5. Obliczyć niepewność ∆Be ze wzoru:
 ∆a ∆b ∆l ∆n 
∆Be = Be 
+
+
+

l
b
n 
 a
6. Skomentować uzyskany rezultat.
Składowa pozioma indukcji ziemskiego pola magnetycznego Be w pobliżu Warszawy wynosi
ok. 19 µT (indukcja B jest równa ok. 49 µT).
Wartość składowej Be wyznaczona w tym ćwiczeniu jest obarczona błędem systematycznym
pochodzącym stąd, że pomiar przeprowadzany jest w budynku. W ścianach budynku umieszczone są rury wodociągowe, gazowe, centralnego ogrzewania, żelazne zbrojenia żelbetonowych
konstrukcji budynku, kątowniki metalowe stołów laboratoryjnych. Obecność tych wszystkich
żelaznych elementów powoduje zakłócenia pola ziemskiego.
5
I PRACOWNIA FIZYCZNA