Wykład 7a - Projektowanie filtrów IIR. Funkcje okna

Akwizycja i przetwarzanie
sygnałów cyfrowych
Tadeusz Chmaj
Instytut Teleinformatyki
ITI PK Kraków
21 luty 2011
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Projektowania filtrów IIR
Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej
Podstawowa zasada określajaca:
˛
projektujemy filtr cyfrowy, którego czasowa odpowiedź
impulsowa jest spróbkowana˛ wersja˛ odpowiedzi impulsowej
znanego filtru analogowego
tak określony filtr cyfrowy bedzie
˛
wzorował swoje
charakterystyki na odpowiednich charakterystykach filtru
analogowego
główny problem tej metody: problemy z aliasingiem
rzeczywiste filtry nie moga˛ mieć ograniczonego pasma
konsekwencja (w procesie próbkowania) - nastapi
˛
nałożenie charakterystyk (problemy z rekonstrukcja)
˛
Minimalizacja tego efektu - wziecie
˛
możliwie dużej
czestotliwości
˛
próbkowania
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Projektowania filtrów IIR
Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej - c.d.
schemat metody
projektujemy prototyp filtru analogowego o pożadabej
˛
postaci transmitancji Hc (s)
ustalamy czestość
˛
próbkowania filtru cyfrowego fs (powinna
być odpowiednio duża)
zapisujemy transmitancje˛ filtru analogowego jako sume˛
transmitancji filtrów o pojedynczych biegunach (rozkład
transmitancji na ułamki proste)
z założenia o niezmienności odpowiedzi impulsowej –
kazda˛ ze składowych analogowej odpowiedzi impulsowej
aproksymujemy odpowiedzia˛ impulsowa˛ elementarnego
filtra cyfrowego
Ha (s) → Hak (s) → hak (t) → hck (n) → hc (n) → Hc (z)
lub inaczej:
Hak (s) =
Ak
Ak
→
= Hck (z)
−p
s − pk
1 − e k ts ∗ z −1
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Projektowania filtrów IIR
Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej - c.d.
taka procedura pozwoli nam wyznaczyć pełna˛ odpowiedź
impulsowa˛ - sume˛ wkładów od powyższych odpowiedzi
elementarnych - reprezentowana˛ jako iloraz dwóch
wielomianów zmiennej z.
to z kolei jest równoważne formule na równanie filtru w
dziedzinie czasowej
aby uniezależnić wzmocnienie filtra cyfrowego od odstepu
˛
prókowania ts , mnożymy impulsowa˛ odpowiedz analogowa˛
przez ts
czestość
˛
próbkowania fs powinna być duża by ograniczyć
aliasnig (nakładanie sie˛ charakterystyk Ha (jω) )
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej przykład
Problem: projekt filtra dolnoprzepustowego filtra opartego
o prototyp filtra Czebyszewa
zakladane parametry: Ts = 0.01, fs = 100Hz,
nierównomierność charakterystyki w paśmie przepustowym
≤ 1dB, czestotliwość
˛
graniczna filtru: 20Hz
Transmitancja prototypu:
c
,
s2 + bs + c
gdzie: c = 17410.145,
b = 137.94536
Podział na ułamki proste (jednobiegunowe filtry
analogowe):
Hc (s) =
Hc (s) =
ic/(2R)
−ic/(2R)
+
(s + b/2 + iR) (s + b/2 − iR)
gdzie R = |(b 2 − 4 ∗ c)/4)|
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej przykład
Ułamki proste: (opisujace
˛ jednobiegunowe filtry cyfrowe)
H(z) =
−ic/(2R)
ic/(2R)
+
1 − e−(b/2+iR)Ts z −1
1 − e−(b/2−iR)Ts z −1
pełna transmitancja filtra cyfrowego:
H(z) =
1−
(c/R)e−bTs /2 sin(RTs ) z −1
−1 + e −bTs z −2
s )]z
e−bTs /2 [2cos(RT
daje formułe˛ czasowa˛ filtra (mnożymy wspołczynniki przy
x (n − i) przez Tc ):
y (n) =
0.700595 x (n − 1) + 0.43278805 y (n − 1) − 0.25171605 y (n − 2)
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Metoda transformacji biliniowej
bardzo popularna technika projektowania filtrów IIR
polega na wykorzystanie projektu filtru analogowego Ha (s)
do uzyskania charakterystyk filtru dyskretnego Hc (z), tak
by:
Hc (eiΩ ) = Ha (iω)
zmiany pulsacji analogowej ω w zakresie (−∞, +∞)
przeszły w zmiany pulsacji cyfrowej Ω (unormowanej wzg.
czestotliwości
˛
próbkowania) w zakresie (−π, +π)
przejście Ha (s) −→ Hc (z) nie wymaga stosowania
transformacji Laplace’a ani rozkladu na ułamki proste; nie
ma też problemów z aliasingiem
podstawa metody - transformacja zespolona Φ zmiennej
zespolonej s, z = Φ(s), która stwarza relacje˛ miedzy
˛
Hc (z)
i Hz (s) postaci: Hc (Φ(s)) = Ha (s)
postać transformacji biliniowej: z =
Tadeusz Chmaj
Wykład II
1+Ts s/2
1−Ts s/2
Metoda transformacji biliniowej
własności transformacji biliniowej
szczególny przypadek transformacji holograficznej
posiada transformacje˛ odwrotna˛ s = T2s z−1
z+1
przekształca płaszczyzne˛ zespolona˛ w siebie transformujac
˛
okregi
˛ uogólnione (linie + okregi)
˛ w okregi uogólnione
1+σTs /2+iωTs /2
niech s = σ + iω; wtedy z = Φ(s) = 1−σT
s /2−iωTs /2
zaś |z|2 =
(1+σTs /2)2 +(ωTs /2)2
(1−σTs /2)2 +(ωTs /2)2
2
gdy σ > 0 to |z| > 1, gdy σ = 0 to |z| = 1, zaś gdy σ < 0 to
|z|2 < 1
wnioski: transformacja biliniowa przekszałca płaszczyzne˛
zespolonego s na płaszczyzne˛ zespolonego z tak, że
oś urojona s = iω −→koło jednostkowe z = eiΩ
bieguny lewej półpłaszczyzny (σ < 0) −→bieguny
wewnatrz
˛ koła jednostkowego
bieguny prawej półpłaszczyzny (σ > 0 −→ bieguny na
zewnatrz
˛ koła jednostkowego
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Metoda transformacji biliniowej - algorytm metody
zwiazek
˛
miedzy
˛
pulsacjami:
ω=
2
tg(Ω/2)
T
Ω = 2arctg(ωTs /2)
Algorytm metody:
wyznaczamy transmitancje˛ Ha (s) prototypu filtra
analogowego
ustalamy czestotliwość
˛
próbkowania filtra cyfrowego
podstawiamy jako zmienna˛ transmitancji Ha (s) wielkość
2 z−1
˛ Hc (z) filtra cyfrowego
Ts (z+1) – dostajemy transmitancje
sprowadzamy Hc (z) do postaci ilorazu dwóch wielomianów
z tej postaci potrafimy wypisać równania struktury filtra
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Metoda transformacji biliniowej - przykład
Zadanie - konstrukcja filtru dolnoprzepustowego w oparciu
o taki sam zestaw danych, co w poprzednim przykładzie
Transmitancja prototypu - jak wyżej (LP Czebyszew
drugiego rz˛edu, fs = 100Hz, ):
Ha (s) =
gdzie: c = 17410.145,
s2
c
,
+ bs + c
b = 137.94536
wyznaczamy Hc (z) = Ha (s = T2s 1−z
)
1+z −1
wymnożenie licznika i mianownika, zebranie wyrazów o
równych potegach,
˛
normalizacja tak, by wyraz wolny w
mianowniku był = 1 daje:
−1
Hc (z) =
c
(1 + 2z −1 + z −2 )
(a2 +2b+c)
2)
2
−1 + (a +c−ab) z −2
1 + (a(2c−2a
2 +ab+c) z
(a2 +ab+c)
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Metoda transformacji biliniowej - przykład
wstawienie danych numerycznych, wypisanie jako
równania strukturalne:
y(n) = 0.20482712712x(n) + 0.40965424x(n − 1) +
0.20482712712x(n − 2) + 0.53153089y(n − 1) −
0.35083938y(n − 2)
Porównanie metod
1.4
0
1.2
−0.5
1
−1
0.8
−1.5
0.6
−2
0.4
−2.5
0.2
−3
0
−3.5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
Amlituda
Tadeusz Chmaj
5
10
15
20
25
30
Faza
Wykład II
35
40
45
50
Filtry nierekursywne FIR
Sa˛ to cyfrowe filtry bez sprz˛eżenia
˛
zwrotnego,
przyczynowe, opisane odpowiedzia˛ impulsowa˛ h(n):
y(n) =
∞
X
h(k)x(n − k)
k =0
ze wzgledów
˛
implementacyjnych bierzemy skończona˛ ilość
(pierwsze N współczynników odpowiedzi impulsowej działanie filtra zadane przez N liczb h(n) (lub - w konwencji
Matlaba - bn ), n = 0, .., N − 1
y(n) =
N−1
X
h(k)x(n − k)
k =0
reakcja na wymuszenie impulsowe zanika w skończonym
czasie (stad
˛ nazwa FIR)
każda próbka sygnału wyjściowego – średnia ważona
ustalonej ilości ostatnich próbek sygnału wejściowego
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Filtry FIR - własności, metody projektowania
zalety:
łatwość projektowania,
stabilność,
możliwość uzyskania liniowej charaterystyki
fazowo-czestotliwościowej
˛
(filtr nie zniekształca sygnału)
wady:
konieczność stosowania dużej (w porównaniu z IIR) ilości
współczynników
wieksza
˛
złożoność obliczeniowa – konieczność wykonania
duzej ilości operacji arytmetycznych (czyli – mniejsza
szybkość działania)
najważniejsze metody projektowania
metoda próbkowania w dziedzinie czestotliwości
˛
metoda aproksymacji Czebyszewa (algorytm Remesa)
metoda okien
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Funkcje okna - pojecie
˛
i zastosowania
W dziedzinie przetwarzania sygnałów - funkcja w (t) równa
zero poza ustalonym przedziałem
typowy przyklad - okno prostokatne
˛
analiza cz˛estotliwościowa sygnałów - przypadek ciagły
˛ skończony przedział czasu
technicznie równoważne:
wyjściowy ciagły
˛ sygnał analizowany x (t) (na ogół
nieskończony)
wycinamy zakres czasowy odpowiadajacy
˛ interesujacemu
˛
nas obszarowi - odpowiada to iloczynowi xw (t) = x (t)w(t)
analiza czestotliwościowa
˛
takiego sygnału - widmo sygnału
na obszarze skończonym określone przez splotow widma
sygnału i widma funkcji okna
jak oddzielić sygnał od okna?
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Funkcje okna - c.d.
przykład - analiza sygnału x(t) = cos(ω0 t)
zakres nieskończony X (ω) = 0.5δ(ω − ω0 ) + 0.5δ(ω + ω0 )
wyciecie
˛
- okno prostokatne
˛
o szerokości T ;
)
W (ω) = 2 sin(ωT
T
widmo sygnału obcietego:
˛
Xw (ω) =
sin((ω − ω0 )T ) sin((ω + ω0 )T )
+
ω − ω0
ω + ω0
wpyw okna - oscylacje Xw (ω)
podobnie dla sygnału dyskretnego - DFT używa
skończonego ciagu
˛ próbek - konieczność stosownania
okien
- wynik - jak dla przypadku ciagłego
˛
- prażki
˛ w widmie
spróbkowanego sygnału, ponadto powielenie widma
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Funkcje okna - c.d.
struktura widm - listek główny (wysokość, szerokość ∆ml
zdefiniowana np. przez pozycje˛ zer), listki boczne (główny
parametr - tłumienie Asl w stosunku do listka głównego)
możliwe inne okna - różne charakterystyki, wpływ na
kształt obcietego
˛
sygnału
nazwa
prostokatne
˛
trojkatne
˛
Hamminga
definicja
1
1 − 2|n−(N−1)/2|
N−1
2πn
0.54 − 0.46cos( N−1
)
∆ml
4π/N
8π/N
8π/N
Asl
13.3 dB
26.5 dB
42.7 dB
wzrost N – spadek ∆ml , bez wpływu na tłumienie Asl
inne możliwość - okna parametryczne
(Dolpha–Czebyszewa, Kaisera)
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Metoda okien - cechy
prosta pod wzgledem
˛
teoretycznym i implementacyjnym
efektywna – z tych powodów: szeroko stoswana
Algorytm metody:
wybierz typ filtra (LP, HP, BP, BS, jego pulsacje graniczne) to zadaje jego idealna˛ (prostokatn
˛ a)
˛ transmitancje˛ H(eiΩ )
wyznacz analityczna˛ formułe˛ na dyskretna˛ odpowiedź
impulsowa˛ filtra h(n) (dla idealnych filtrów gotowe
wyrażenia) - zazwyczaj h(n) - gasnace,
˛
nieskończone
oscylacje
wymnóż obliczona˛ odpowiedź impulsowa˛ z wybrana˛
funkcja˛ okna
hw (n) = h(n) ∗ w (n)
o skończonej ilości niezerowych próbek, w (n) = 0 dla
|n > M|
przesuń uzyskana˛ funkcje˛ hw (n) w prawo o M probek,
pobierz 2M + 1 probek
M (n) gotowy
filtr hw
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Metoda okien - dyskusja wpływu okna
Rola okna - wybór z nieskończonej odpowiedzi impulsowej
filtra jej skonczonego, najbardziej istotnego fragmentu
dobór długości (N = 2 ∗ M + 1) oraz kształtu - ważny dla
uzyskania liniowości charakterystyki amplitudowej w
pasmie przepuszczania, odpowiedniego tłumienia w
paśmie zaporowym oraz właściwej stromości filtra
Zależność widma okna od parametrów
ustalony kształt okna - zwiekszanie jego długości zmniejszenie szerokości listka głównego filtra, brak wpływu
na poziom tłumienia listków bocznych
by zwiekszyć
˛
tłumienie listków bocznych - weź "lepsze"
okno
Zależność widma filtra od wyboru okna
aby zwiekszyc stromość - wydłuż okno
aby zwiekszyc tlumienie w pasmie zaporowym - wybierz
inny typ okna (z mniejszym poziomem listkow bocznych)
Do projektowania filtrów korzystnie jest zastosowac okna
parametryczne (np. Kaisera, Dolpha-Czebyszewa).
Tadeusz Chmaj
Wykład II