Wykład 6 - Transformacja Z, liniowe układy dyskretne

Akwizycja i przetwarzanie
sygnałów cyfrowych
Tadeusz Chmaj
Instytut Teleinformatyki
ITI PK Kraków
21 luty 2011
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Dyskretne układy LTI
Definicja analogiczna do tej, która˛ podano dla sygnałów
analogowych
Opis transmisyjny: układ – operator T wykonujacy
˛ pewna˛
operacje˛ na sygnale y = T [x]
Niech X - zbiór dopuszczalnych wejść, Y - zbiór
dopuszczalych wyjść - dziedzina i zbiór wartości operatora
T.
Proste układy - jedne wejście (wymuszenie) x(n), jedno
wyjście odpowiedź y (n)
odpowiedź impulsowa układu h(n) - odpowiedź na
wymuszenie δ(n)(= 1 dla n = 0; 0 dla pozostałych n
szczególna grupa układów - układy LTI, czyli układy:
liniowe: T [ax + by ] = aT [x] + bT [y ]
stacjonarne (niezmienne w czasie): jezeli odpowiedzia˛ na
x(n) jest y (n), to odpowiedzia˛ na x(n − n0 ) jest y (n − n0 )
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Opis dyskretnych ukladów LTI
Dla każdej próbki dowolnego sygnału x(n) możemy
zapisać:
∞
X
x(k )δ(n − k )
x(n) =
k =−∞
Ponadto – dla ukladów LTI: odpowiedź na przesuniety
˛
impuls to przesunieta
˛ odpowiedź impulsowa:
δ(n − k ) → h(n − k )
To w połaczeniu
˛
z liniowościa˛ implikuje:
x(n) =
∞
X
x(k )δ(n − k ) → y (n) =
k =−∞
∞
X
x(k )h(n − k )
k =−∞
Układ przyczynowy – taki, dla któego odpowiedź nie
poprzedza wymuszenia: h(n) = 0 dla n < 0, czyli
∞
P
y (n) =
h(k )x(n − k )
k =0
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Opis dyskretnych ukladów LTI - c.d.
Stabilność układu (w sensie BIBO) – ograniczona
amplituda wymuszenia gwarantuje ograniczoność
amplitudy odpowiedzi
WKW stabilności - bezwzgledna
˛
sumowalość odpwiedzi
∞
P
impulsowej:
|h(k )| < ∞
k =−∞
Odpowiedź impulsowa układów złożonych:
równolegle połaczenie
˛
dwóch układów LTI:
h(k ) = h1 (k ) + h2 (k )
kaskadowe połaczenie
˛
dwóch układów LTI:
∞
P
h(n) =
h1 (k )h2 (n − k ) = h1 (n) ⊗ h2 (n)
k =−∞
Sprz˛eżenie zwrotne - wyjście zależy od wejścia, ale
również od poprzednich wyjść
przykład: y (n) = x(n) − ay (n − 1)
kolejne wyjścia to: y (0) = 1, y (1) = −a, y (2) = (−a)2 . . . ,
czyli h(n) = (−a)n , stabilny gdy |a| < 1
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Ogólna postać układu dyskretnego LTI
Dopuszczajac
˛ wieksz
˛
a˛ ilość opóźnień dostajemy:
∞
∞
X
X
y (n) =
h(m)x(n − m) −
g(k )y (n − k )
m=0
k =1
Dalej interesować nas bed
˛ a˛ uklady o skończonej "pamieci"
˛
opisywane równaniami różnicowymi:
y (n) =
M
X
h(m)x(n − m) −
m=0
N
X
g(k )y (n − k )
k =1
inny zapis – zastepuj
˛ ac
˛ funkcje impulsowe h(n), g(k )
zestawem stałych:
y (n) =
M
X
bm x(n − m) −
m=0
N
X
ak y (n − k )
k =1
Projekt ukladu - określenie rz˛edów równań M, N oraz
stałych ai , bj
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Transformacja Z
Podstawowe narz˛edzie opisu ukladów dyskretnych odpowiednik transformaty Laplace’a dla układów ciagłych
˛
Niech x(n) - sygnał dyskretny. Jego transformate˛ X
(funkcje˛ zmiennej zespolnej z) określa równanie:
X (z) =
∞
X
x(m)z −m
m=−∞
pod warunkiem, że powyższy szereg jest zbieżny (co
zależy od z)
Gdy sygnał x(n) - impulsowy o skończonej ilości
niezerowych próbek to zawsze istnieje obszar na
płaszczyźnie z, w którym szereg zbieżny
przyklady: niech x(n) = (0 dla n < −1, 0.25 dla n = −1,
0.5 dla n = 0, 0.25 dla n = 1, 0 dla n > 1. Wtedy
X (z) = 0.25z + 0.5 + 0.25z −1 dla z 6= ∞ i z 6= 0
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Transformata a sygnał. Obliczanie transformat Z
Znajac
˛ X (z) - mozemy odczytać sygnał x(n)
przyklad: wiemy, że X (z) = 0.2 + 1/z − 2/z 2 + 3/z 3
z definicji transformaty Z dostajemy:
x(0) = 0.2, x(1) = 1, x(2) = −2, x(3) = 3
Przykłady wyznaczania transformat Z
skok jednostkowy u(n) = 1 dla x ≥ 0 oraz = 0 dla n < 0
∞
∞
P
P
z −m = 1−z1 −1 ,
X (z) =
u(m)z −m =
|z > 1|
m=−∞
m=0
przyczynowy szereg wykładniczy an u(n)
∞
∞
P
P
am u(m)z −m =
(a/z)m =
X (z) =
m=−∞
m=0
z
z−a ,
1
1−az −1
|z| > |a|
szereg wykładniczy −an dla ujemnych n, 0 dla
−1
P
nieujemnych: X (z) = −
(z/a)−m =
m=−∞
−
∞
P
m
(z/a) + 1 = 1 −
m=0
Tadeusz Chmaj
1
1−z/a
=
Wykład II
z
z−a ,
|z| < |a|
=
Obliczanie transformat Z. Transformata odwrotna
Wyrażenie typu: x(n, k ) = nk u(n); przyklad dla k=1. Dla
∞
P
k = 0 mamy: X0 (z) =
z −n = 1−z1 −1
n=0
Różniczkujac
˛ stronami dostajemy:1/z
∞
P
nz −n =
n=0
1/z 2
(1−1/z)2
co prowadzi do zwiazu:
˛
X1 (z) = z −1 /(1 − 1/z)2
Transformata odwrotna - służy wyznaczeniu sygnału x(n) z
jego transformaty X (z).
Definicja:
1
x(n) =
2πi
I
X (z)z n−1 dz
Γ
gdzie Γ kontur całkowania okrażaj
˛ acy
˛ poczatek
˛
układu
Uzasadnienie:
Tw. całkowe Cauchy’ego mówi:
H n−1
1
z
dz
=
1 dla n = 0 lub 0 dla n 6= 0
2πi
Γ
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Transformata Z - podstawowe własności
Liniowość: ax(t) + by (t) ↔ aX (z) + bY (z)
Niezależność od przesuniecia:
˛
x(n) ↔ X (z) ⇒ x(n − n0 ) ↔ z −n0 X (z)
Własność splotu – transformata Z splotu dyskretnego jest
równa iloczynowi transformat
Własność iloczynu – transformata Z iloczynu funkcji
dyskretnych jest splotem transformat
Wykorzystujac
˛ powyższe własności obliczamy
M
P
bm x(n − m):
transformate˛ Z wyrażenia typu
m=0
∞
M
P
P
bm x(n − m) z −n =
n=−∞ m=0
∞
M
M
P
P
P
−n
−m
bm
x(n − m)z
=
bm z
X (z)
m=0
n=−∞
m=0
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Transmitancja układow dyskretnych
stosujac
˛ to do ogolnego równania różnicowego
dyskretnego układu LTI postaci:
y (n) =
M
X
bm x(n − m) −
N
X
ak y (n − k )
k =1
m=0
otrzymujemy:
"
Y (z) =
M
X
#
"
bm z −m X [z] −
m=0
N
X
#
ak z −k Y (z)
k =1
dzielac
˛ obustronnie przez X (z) i dostajemy formule˛ na
transmitancje˛ dyskretnego układu LTI:
H(z) =
Y (z)
b0 + b1 /z + b2 /z 2 + · · · + bM /z M
=
X (z)
1 + a1 /z + a2 /z 2 + · · · + aN /z N
gdzie liczby M, b0 , . . . bM - opisuja˛ zależność wyjścia od (opóźnionych) wejść,
zaś N, a0 , . . . aN - sprz˛eżenie zwrotne
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Transmitancja układow dyskretnych - c.d.
powyższa postać transmitancji jednoznacznie wyznacza
równania czasowe układu, który ja˛ realizuje
2
oznacza, że
Przykład: Transmitancja postaci 2+3/z−1/z
1+2/z−4/z 3
równanie czasowe ma postać:
y (n) = 2∗x(n)+3∗x(n−1)−x(n−2)−(2y (n−1)−4∗y (n−3)
inne formy transmitancji dyskretnej:
mnożac
˛ licznik i mianownnik przez z M+N otrzymujmy
postać:
H(z) =
z N b0 z M + b1 z M−1 + . . . bM−1 z + bM
z M z N + a1 z N−1 + · · · + aN−1 z + aN
zaś zapisujac
˛ wielomiany w postaci czynnikowej (poprzez
zera zk i bieguny pk transmitancji) dostajemy:
H(z) = z N−M b0
Tadeusz Chmaj
(z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zM )
(z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pN )
Wykład II
Projektowanie układów dyskretnych
Projekt dyskretnego układu LTI - projekt transmitancji
ukladu, czyli określenie liczb
M, N, bj , j = 1 . . . M, ak , k = 1 . . . N
Ograniczenia - warunek stabilności – równoważny
ograniczeniu |pk | < 1 - bieguny transmitancji musza˛ leżeć
wewnatrz
˛ okregu
˛
jedostkowego
Główna przesłanka projektowania - interpretacja
cz˛estotliwościowa transmitancji
Dla układów analogowych - transmitancja H(jω) to widmo
odpowiedzi impulsowej; ω ma sens rzeczywistej cz˛estości
– rzeczywiste pulsacje odpowiadaja˛ osi urojonej na
płaszczyźnie zespolonego s
dla transmitancji dyskretnej - konieczne jest określenie
relacji pomiedzy
˛
zespolomym z a cz˛estościa˛ (pulsacja)
˛
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Interpretacja cz˛estotliwościowa
Kluczowa obserwacja - zwiazek
˛
pomiedzy
˛
transformacja˛ Z
X (z) sygnału dyskretnego x(n) a jego transformacja˛
Fouriera X (ejΩ ):
∞
P
X (z) =
x(n)z −n
X (ejΩ )
n=−∞
∞
P
=
x(n)e−jΩn
n=−∞
Wielkości te sa˛ sobie równe dla z = ejΩ
gdzie Ω - pulsacja unormowane wzgledem
˛
cz˛estości
próbkowania Ω = 2πF = 2π fprf
Tak wiec
˛ rzeczywistym, dozwolomym wartosciom pulsacji
unormowanej Ω ∈ (0, 2π) odpowiadaja˛ wartości z na
okregu
˛
jednostkowym.
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Przesłanki do projektowania
Podstawowe zasady - podobne do przypadku
analogowego
jeżeli pulsacja Ω jest liczba˛ rzeczywista,
˛ to zmianie
wartości Ω od −π do π odpowiada przejście przez wielkość
eiΩ okregu
˛
jednostkowego
Podstawienie z = eiΩ prowadzi do wyrażenia na
transmitancje:
˛
H(eiΩ ) = (eiΩ )M−N b0
(eiΩ − z1 )(eiΩ − z2 ) . . . (eiΩ − zM )
(eiΩ − p1 )(eiΩ − p2) . . . (eiΩ − pN )
główne zasady projektowania – podobne do tych, jakie
obowiazuj
˛ a˛ dla zmiennych analogowych
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Porównanie zasad projektowania
uklad
płaszczyzna
zmienna
zakres
linia
zera
bieguny
osłab.
wzmoc.
analogowy
zesp. s
ω
0...∞
oś urojona s
cała płaszcz. s
Res < 0
zero na osi urojonej
biegun bliski osi urojonej
Tadeusz Chmaj
Wykład II
dyskretny
zespol. z
Ω
−π . . . π
okrag
˛ jednostkowy
cała płaszcz. z
wnetrze
˛
okregu
˛
jednost.
zera na okregu
˛
K (0, 1)
biegun blisko K (0, 1)
Projektowanie - przykłady
Ilustracja graficzna zasad projektowania transmitancji
układów dyskretnych
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Metody projektowania
Przykład projektowania - metoda zer i biegunów
problem: sygnał zawiera skladowa˛ o cz˛estotliwości fs =10
Hz (właściwy sygnał) oraz fz =50 Hz (przydźwiek
˛ sieci
energetycznej); cz˛estotliwość próbkowania - fp =1000 Hz.
zadanie - zaprojektować filtr, który usunie zakłócenia
sieciowe
stosowana metoda - "zer i biegunów"
realizacja: pulsacje unormowane odpowiadajace
˛
składowym synału to:
sygnał właściwy: Ωs = 2πfs /fp = π/50
zakłócenie: Ωz = 2πfz /fp = π/10
usuniecie
˛
zakłócenia:
zero transmitancji na okregu
˛
jednostkowym dla kata
˛
ϕz = Ωz , zz = eiϕz
by uzyskać rzeczywisty wielomian - licznik transmitancji dodajemy drugie zero, sprz˛eżone z zz
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Metoda zer i biegunów
wzmocnienie sygnału właściwego - umieszczenie bieguna
w pobliżu punktu na okregu
˛
jednostkowym zadanym przez
kat
˛ ϕs = Ωs , czyli ps = 0.98eiϕs oraz bieguna z nim
sprz˛eżonego
to daje transmitancje:
˛
H(z) =
(1 − zz /z)(1 − zz∗ /z)
1 − 1.9021/z + 1/z 2
=
(1 − ps /z)(1 − ps∗ /z)
1 − 1.9561/z + 0.9604/z 2
by uzyskać charakterystyk˛e cz˛estotliwościowa˛ robimy
podstawienie: z = eiΩ co prowadzi do:
1 − 1.9021e−iΩ + e−2iΩ
1 − 1.9561e−iΩ + 0.9604e−2iΩ
efekty działania dla składowych sygnału:
H(Ωs ) = 37.23ei1.4 - wzmocnienie sygnału 37 razy,
przesuniecie
˛
w fazie (opóźnienie) o 1.4 radiana; H(Ωz ) = 0
- całkowite usuniecie
˛
zakłóceń
H(eiΩ ) =
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Metoda zer i biegunów - c.d.
Realizacja w dziedzinie czasu - z definicji transmitancji:
(z)
H(z) = YX (z)
oraz uzyskanej postaci transmitancji mamy:
(−1.9561/z +0.9604/z 2 )Y (z) = (1−1.9021/z +1/z 2 )X (z)
co sie˛ tłumaczy na równanie czasowe opisujace
˛ układ:
y (n) = x(n) − 1.9021x(n − 1) + x(n − 2) + 1.9561y (n −
1) − 0.9604y (n − 2)
Analiza odpowiedzi filtra na impuls jednostkowy - sygnał
ustala sie˛ bardzo długo ( 200 – 300)
pytanie - dlaczego, skoro filtr ma tylko kilka
współczynników?
odpowiedz – bo jest to filtr ze sprz˛eżeniem zwrotnym, może
mieć nieskończna˛ odpowiedź impulsowa˛
analiza (rozkład transmitancji na czynniki proste) pokazuje
nastepuj
˛ ac
˛ a˛ postać odpowiedzi
h(n) = 2 ∗ 0.7669 ∗ (0.98)n cos(πn/50 − 1.5977)
Wynik analizy - czas ustalania sie˛ odpowiedzi długość
opowiedzi impulsowej
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Filtry IIR
Poprzedni przyklad pokazuje - gdy jest sprz˛eżenie
zwrotne, to filtr jest typu IIR (ma nieskończona˛ odpowiedź
impulsowa)
˛ - filtr rekursywny
Matematycznie - takie filtry maja˛ wielomianowy mianownik
w transmitancji
Własności fitrów IIR
zaleta: możliwość uzyskiwania bardzo stromych
charakterystyk przy małej liczbie współczynników an , bk
aby uzyskać ten sam efekt dla filtru nierekursywnego (FIR)
trzeba użyć użyć znacznie wiecej
˛
współczyników bk i o
wiele dłuższej linii opóźniajacej
˛
wady: nieliniowosć charakterystyki
fazowo-cz˛estotliwościowej – różnicowanie czasów
opóźnień – zniekształcenia sygnału
wady: niebezpieczeństwo niestabilności – konieczność
bardzo starannego projektowania
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Metody projektowania filtrów IIR
Punkt startu - określenie wymagań stawianym filtrom
Przykład: filtry LP zadane przez:
parametry: δpass , δstop , Ωpass , Ωstop
relacje: |HLP (eiΩ )| = 1 ± δpass dla |Ω| < |Ωpass |
|HLP (eiΩ )| = 0 + δstop dla |Ω| > |Ωstop |
charakterystyka amplitudowo-cz˛estotliwościowa - w "tunelu"
wyznaczonym przez parametry i relacje miedzy
˛
nimi
Dwie podstawowe grupy metod projektowania filtrów IIR
projektowanie bezpośrednie
projektowanie pośrednie
Metody bezpośrednie
nie odwołuje sie˛ do wyników uzyskanych dla filtrów innego
rodzaju
dobór współczynników wielomianów filtra przez
minimalizacje˛ średniego kwadratu odchylenia od żadanej
˛
charakterystyki filtra
przykład - metoda Youe’a-Walkera
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Projektowania filtrów IIR
Metody pośrednie
wykorzystuja˛ umiejetność
˛
projektowania odpowiednich
filtrów analogowych
dokonuja˛ transformacji z dziedziny analogowej do
dyskretnej
Najważniejsze metody tego rozaju:
niezmienności odpowiedzi impulsowej
dopasowanej transformacji Z (rzadko stosowana, problemy
z aliasingiem)
transformacji biliniowej
Metoda transformacji biliniowej
najważniejsza z metod pośrednich projektowania filtrów IIR
zakłada, że każdemu filtrowi analogowemu Ha (s)
odpowiada pewien filtr cyfrowy Hc (eiΩ ) taki, że
Hc (eiΩ ) = Ha (iω)
oznacza to istnienie transformacji wiaż
˛ acej
˛ s i z: z = φ(s),
spełniajacej
˛ pewne określone wymagania - patrz nastepny
˛
wykład.
Tadeusz Chmaj
Wykład II