Zadania oznaczone * s¡ troch¦ trudniejsze, co nie oznacza, »e trudne

Zadania oznaczone * s¡ troch¦ trudniejsze, co nie oznacza, »e trudne.
1. Zbadaj czy funkcjonaª jest dwuliniowy, symetryczny, antysymetryczny, dodatniookre±lony:
a)
f : R × R → R:
• f (x, y) = x2 − y 2 ;
• f (x, y) = −3xy ;
• f (x, y) = max(xy, −xy);
b)
g : R2 × R2 → R:
• g((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = x1 y1 + x2 y2 ;
• g((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = x1 x2 + y2 x1 ;
• g((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = 2x1 y1 − x2 y2 ;
c)
H : W2 (R) × W2 (R) → R:†
• H(v, w) = v(0) · w(1) − v(1) · w(0);
Z 1
v(x) − w(x) dx
• H(v, w) =
−1
Z 1
Z 1
• H(v, w) =
v(x)dx
w(x)dx.
0
0
2. Wyznacz macierz funkcjonaªu oraz korzystaj¡c z macierzy zbadaj, czy jest to iloczyn skalarny
a)
u : R2 × R2 → R
w bazie kanonicznej oraz w bazie
B=
2
1
B,
gdzie
−1
,
3
• u (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) = 4x1 x2 − 2x2 y1 ;
• u (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) = x1 x2 + 3x2 y1 + 2x1 y2 − y1 y2 ;
b)
v : R3 × R3 → R w bazie kanonicznej oraz w bazach C i D, gdzie
     
    

0
0
1
1
1
0
C =  1  ,  0  ,  0  ;
D =  1  ,  1  ,  0 
0
1
0
1
0
−2
• v (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ) = x1 y2 − 3x2 y1 + 2x2 z1 − z1 y2 + z2 x1 ;
• v (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ) = x2 z1 + x2 y1 + y2 y1 + z1 y2 + z2 x1 + y2 x1 + x2 x1 ;
c)
H : W2 (R) × W2 (R)
F , gdzie
2
E = x , x, 1 ;
w bazach
E
i
F = 1 − x, x + 1, 3
2
• H(v, w) = v(0) · w(1);
0
0
• H(v, w) = v (0) · w(0) + 2w (0) ;
Z 1
Z 1
• H(v, w) =
v(x)dx
w(x)dx.
0
0
Z : R3 × R3 → R, wiedz¡c »e w bazie D ma macierz:
    



1
1
5 2 0
−2
 2 2 1  , gdzie D =  1  ,  1  ,  0 
0 1 1
1
0
0
3. Wyznacz wzór funkcjonaªu
†
W2 (R)
to przestrze« wielomianów stopnia
≤2
o wspóªczynnikach rzeczywistych
1
4. Dla poni»szych wektorów oblicz
||u||, ||v||, (u|v)
oraz k¡t mi¦dzy
u
v;
a
R2 :
1
−1
• u=
,v =
;
1
1
√ 1
3
√
,v =
• u=
;
3
1
a) w przestrzeni
b) w przestrzeni

R3 :



3
−4
• u =  4 ,v =  3 
0
5




−1
0
• u =  0  , v =  −1 ;
1
1
Z
c) w przestrzeni
W2 (R)
u»ywaj¡c iloczynu skalarnego
hu|vi =
1
u(x) · v(x)dx:
0
• u(x) = x, v(x) = x2 ;
• u(x) = x − 3, v(x) = 2 − 3x2 .
5. Funkcjonaªy dwuliniowe
F
oraz
F 7−→
G
maj¡ w bazie kanonicznej macierz
3 2
2 2
G 7−→
2 −1
−1 1
(a) Wyka», »e s¡ to iloczyny skalarne;
(b) Podaj wzór funkcjonaªu
F;
(c) Czy istnieje baza przestrzeni
R2
w której
F
ma macierz diagonaln¡? Jaka? A
G?
A czy mog¡ obie macierze (w tej samej bazie) byc jednocze±nie diagonalne?
(d) Wyznacz baz¦ ortogonaln¡ wzgl¦dem iloczynu skalarnego
6. Funkcjonaª dwuliniowy
Hp
F 7−→
p
(lub
G).
ma w bazie kanonicznej macierz
(a) Dla jakich
F
2 p
p −p
jest to iloczyn skalarny?;
(b) Wyznacz baz¦ ortogonaln¡ (w zale»no±ci od
p)
wzgl¦dem iloczynu skalarnego
Hp .
7. Wyznacz baz¦ ortogonaln¡ (wzgl¦dem standardowego iloczynu skalarnego) i ortonormaln¡ poni»szych przestrzeni liniowych:

•
•
•
•
 

1
2
L  4  ,  −1 ;
0
1
     
1
1
1
 1   0   0 
     
L
 0  ,  1  ,  0 ;
0
0
1
(x, y) ∈ R2 : x + y = 0 ;
(x, y, z) ∈ R3 : x + y − 2z = 0 ;
2
•
(w, x, y, z) ∈ R4 : w + x + y + z = 0 ∧ w − x + 2z = 0 .
8. Wyznacz baz¦ ortogonaln¡ i ortonormaln¡ (wzgl¦dem iloczynu skalarnego z punktu 4c.) poni»szych podprzestrzeni liniowych przestrzeni
W2 (R):
• L (2x + 1);
• L (x, 2 − x);
• {w(x) ∈ W2 (R) : w(0) = 0};
• {w(x) ∈ W2 (R) : w0 (1) = 0};
• {w(x) ∈ W2 (R) : w(0) − 3w00 (2) = 0}.
9. Wyznacz rzut ortogonalny wektora
v
na przestrze«
S
oraz oblicz odlegªo±¢ wektora od tej
przestrzeni:
• v
• v
• v
• v
• v
• v
1
=
,
−2
2
=
,
0
 
1

= 1 ,
2


1
=  0 ,
−1
0
=
,
−3
 
1

= 2 ,
1
−2
4
S=L
;
1
S=L
;
2
  

1
2
S = L  4  ,  −1 ;
0
1
 
0


2 ;
S=L
1
(x, y) ∈ R2 : x + 2y = 0 ;
(x, y) ∈ R2 : x + y + z = 0 .
10. Wyznacz rzut ortogonalny (wzgl¦dem iloczynu skalarnego z punktu 4c.) wielomianu
przestrze«
S
oraz oblicz odlegªo±¢ wielomianu od tej przestrzeni:
• v(x) = x,
S = L (x − 2);
• v(x) = x2 ,
S = L (1, x);
• v(x) = 1,
S = {w(x) ∈ W2 (R) : w(1) = w0 (1) ∧ w(2) = 0}.
11. Sprawd¹, czy funkcja jest norm¡:
a)
f : R → R:
•
•
•
•
b)
f (x) = 2x2 ;
f (x) = 0;
f (x) = ex ;
p
f (x) = |x|;
g : R2 → R:
• g((x, y)) = |x − y|;
2
• g((x, y)) = |x| + |y| ;
• g((x, y)) = |x|;
• g((x, y)) = x2 + y 2 ;
3
v(x)
na
• g((x, y)) = ex−y ;
c)
H : W2 (R) → R:
• H(v) = |v(0)|;
• H(v, w) = |v(0)| + |v(1)| + |v(2)|;
Z 1
|v(x)|.
• H(v, w) =
0
d)*
K : M2×2 (R) → R†
a b
• K
= |a| + |b| + |c| + |d|;
c d
a b
• K
= |a − b| + |c − d|;
c d
a b
• K
= max |a|, |b|, |c|, |d| ;
c d
a b
• K
= max(|a|, |c|) + max(|b|, |d|);
c d
12. Zaznacz na rysunku zbiór:
A = {x ∈ R2 : ||x − (1, 1)||1 ≤ 4 ∧ ||x + (0, 1)||max ≥ 3},
|| · ||1
gdzie
oznacza norm¦ miejsk¡, a
13. Wyka», »e funkcja w
wtedy gdy
R3 ,
|| · ||max
dana wzorem
norm¦ maksimum w
||x||p =
R2 .
p
p
|x1 |p + |x2 |p + |x3 |p
jest norm¡ wtedy i tylko
p ≥ 1.
14. Wyznacz norm¦
df
|||A||| = sup ||A · v||,
o ile:
||v||=1
a) Norma u»yta w powy»szej denicji (dwa razy) to
||w||1 = |x| + |y|,
prosz¦ liczy¢ wprost z denicji
b) Norma u»yta to,
||w||2 =
p
gdzie
w=
x
y
;
x2 + y 2 .
prosz¦ policzy¢ na dwa sposoby: wprost z denicji oraz (tak jest du»o szybciej!) korzystaj¡c
ze wzoru: p
p
|||A|||2 =
Dla macierzy:
max{warto±ci wªasnych : dla macierzy AT A} =
1 1
3 0
A=
oraz B =
.
1 1
0 1
max{λ : λ ∈ sp(AT A)}
15. Sprawd¹, czy funkcja jest metryk¡:
a)
f : R × R → R:
• f (x, y) = x − y ;
• f (x, y) = 0;
• f (x, y) = |x| − |y|;
b)
g : R2 × R2 → R:
• g((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = |x1 | + |x2 | + |y1 | + |y2 |;
• g((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 ;
p
• g((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = 4 (x1 − x2 )4 + (y1 − y2 )4 ;
†
M2×2 (R)
to przestrze« macierzy o wymiarach
2×2
o elementach rzeczywistych
4
c)
H : W2 (R) × W2 (R) → R:
• H(v, w) = |v(0) − w(0)|;
• H(v, w) = |v(1) − w(1)| + |v(−1) − w(−1)|;
Z 1
Z 1
|w(x)|dx.
|v(x)| +
• H(v, w) =
0
0
τ : R2 × R2 → R+ ∪ {0} jest metryk¡, oblicz odlegªo±¢ w tej metryce punk(3, −1), a nast¦pnie narysuj w tej metryce kule B((0, 0); 1), B((1, 1); 1) oraz
16. Wyka», »e funkcja
tów (−1, 1)
B((1, 1); 2).
i
(Jest to metryka w¦zªa kolejowego):
p
(x − y )2 + (x − y )2
τ (x, y) = τ ((x1 , x2 ); (y1 , y2 )) = p 21 21 p 2 2 2 2
x1 + x2 + y1 + y2
17. Oblicz odlegªo±¢ w metryce supremum mi¦dzy funkcjami
3
2
wzorami f (x) = 2x − 2x + 1, a g(x) = −x + 3x − 1.
18. Oblicz
√
d( 3 sin x, cos x),
gdzie
d(·, ·)
zbiorze funkcji ci¡gªych o dziedzinie:
f (x) = 5x −
g ∈ C([2, 4]).
19. Dane s¡ funkcje
funkcji
f
i
dla
y2 · x1 = x2 · y1
w przeciwnym przypadku
f, g : [−2, 2] → R
dla funkcji danych
oznacza metryk¦ supremum w przestrzeni
C(R)
(czyli
R).
x2
oraz
2
g(x) = 6 ln(x).
20.* Na póªprostej rzeczywistej uzupeªnionej o
+∞
Oblicz odlegªo±¢ w metryce supremum
czyli zbiorze
R̄+ := [0, +∞]
okre±lamy funkcj¦:
d(x, y) = |e−x − e−y |,
przy czym je±li
x
(lub
y)
jest równe
Wyka», »e jest to metryka na
21.* Wyka», »e metryka
d
+∞
przyjmujemy
e−(+∞) = 0.
R̄+ .
na przestrzeni liniowej
X
pochodzi od normy wtedy i tylko wtedy gdy
ma dwie wªasno±ci:
• ∀x∈X ∀t∈R d(tx, 0) = |t| · d(x, 0)
(jednorodno±¢);
• ∀x,y,z∈X d(x, y) = d(x + z, y + z)
(przesuwalno±¢).
†
23. Zbadaj czy zbiór jest wypukªy (uzasadnij, »e jest albo podaj przykªad odcinka, którego ko«ce
le»¡ w zbiorze, a punkt z wn¦trza odcinka nie)
• A = x ∈ R : x2 > 0 ;
• B = x ∈ R : x4 + 4x2 + x3 + x ≤ 10 ;
• C = x ∈ R : ex − x2 > 0 ∧ x ≤ 1 ;
• D = (x, y) ∈ R2 : x + 3y + 1 ≤ 0 ;
• E = (x, y) ∈ R2 : x2 − y 2 = 0 ;
• F = (x, y) ∈ R2 : y 2 ≤ 4 − x2 ≤ 0 ;
• G = (x, y) ∈ R2 : 2x2 − 1 ≤ 2y ≤ 3 − x2 ;
• H = (x, y) ∈ R2 : y ≥ ex − 2 ∧ y ≤ ln(x) + 3 ;
• I = (x, y) ∈ R2 : |y| + |x| < 4 ;
• J = (x, y) ∈ R2 : |x| < 1 − y 2 ;
• K = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 4 − x ≤ 3 ;
†
patrz te» zadanie 17
5
• L = (x, y) ∈ R2 : x4 + y 2 + xy ≤ 7 ∧ 2x ≥ 1 ;
• M = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + 2y 2 − xy ;
• N = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + 3y − 2z ≥ 0 ;
• O = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ |x| + |y| ;
• P = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ |3x| + ey − ln(x) ;
• R = (x, y, z) ∈ R3 : y ≥ 6 + max(x2 , z 2 + z) ;
• S = (x, y, z) ∈ R3 : − z 2 + 2y ≥ x ≥ y 2 − y + 2z 2 ;
• T = (x, y, z) ∈ R3 : z ≤ min(y, x) ∧ z 2 ≤ 1 − x2 − y 2 ;
• U = (x, y, z) ∈ R3 : x + 3y + z ≤ 3 ∧ x + 3y ≥ 0 ∧ y ≥ −1 ∧ z + y ≥ 0 ;
• V = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + 2y 2 − xy ;
• W = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 4 + 3z 6 ≤ 3 ∧ ln(1 + x + y) − ez ≥ −1 ;
• X = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 + 4xy ≤ 1 .†
24. Zbadaj czy funkcja jest wypukªa:
• α(x) = x4 − 4x3 + 6x2 ;
• β(x) = max(x4 , x2 );
• γ(x) = ex−x
2
;
• δ(x) = 3 − min
√
x, ln(x)
;
• (x) = |x4 − x2 |;
• ζ(x) = 3|x| + 2arctg(x);
• η(x, y) = x2 − 2xy + 6y 2 ;
• θ(x, y) = x2 − 2xy + y 2 ;
• ι(x, y) = x4 − 2x + 6y 2 ;
• κ(x, y) = x4 − xy + y 2 ;
• λ(x, y) = x4 − 2xy + 6y 2 ;
• µ(x, y) = exy + 2xy + y + 2;
• ν(x, y) = − ln(x2 + y 2 + 1) + x;
• ξ(x, y) = |x + y| + 3|x2 − 2y|;
• o(x, y) = |x2 − 2| + y 2 ;
• π(x, y, z) = x4 + 6y 2 + 3z 4 ;
• ρ(x, y, z) = x2 − xy + 6y 2 + z 2 − yz + xz ;
• σ(x, y, z) = x2 − 2xy + y 2 − z 2 ;
• τ (x, y, z) = x2 + 3y − zy + z 3 ;
• υ(x, y, z) = x2 + y 2 + 2xy + 4xz + z 2 ;
• φ(w, x, y, z) = w2 + wx + x2 − 2xy + 6y 2 + wy + 3z 2 − 2wz .
25. Wyznacz wierzchoªki (punkty ekstremalne) zbioru:
• Q = (x, y) ∈ R2 : x ≤ 3 ∧ x ≥ 2y ∧ x ≥ 1 − 2y ∧ x ≤ 3 − y ;
• R = (x, y) ∈ R2 : x ≥ y 2 ;
†
wyka», »e prosta styczna np. w (1,0) przecina zbiór.
6
• S = (x, y) ∈ R2 : − x2 + 2 ≥ y ≥ x2 − x − 3 ;
• T = (x, y) ∈ R2 : y ≤ 4 − x2 ∧ y ≥ 2x ∧ y ≥ 1 − 2x ;
• U = (x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0 ∧ y ≥ −1 ∧ z ≥ 1 ∧ x + y + z ≤ 5 ;
• V = (x, y, z) ∈ R3 : 4 ≥ z ≥ y 2 + x2 ;
26. Podaj funkcj¦
y(x)
speªniaj¡c¡ równanie ro»niczkowe:
4
z warunkiem y(1) = π
+4
2x + 1
• y 0 (x) =
z warunkiem y(3) = −4
x−2
x3
• y 0 (x) =
z warunkiem y(0) = 1
x+1
• y 0 (x) =
x2
27. Narysuj pole wektorowe (wektorów stycznych) dla równania ró»niczkowego oraz na tym rysunku
narysuj rozwi¡zania równania dla warunków pocz¡tkowych:
y(0) = −1
oraz
y(0) = 1.
• y 0 (x) = 1
• y 0 (x) = x
• y 0 (x) = sin(x)
28. Podaj rozwi¡zanie zagadnienia Cauchy'ego oraz narysuj kilka linii caªkowych (rozwi¡za« dla
ró»nych warunków pocz¡tkowych)
xy 0 + y = 0
y(−2) = 4
x2 y 0 + y 2 = 0
y(−1) = 1
•
•
x2 y 0 + y = 0
y(1) = e2
0√
2y x = y
•
y(4) = 1
•
†
29. Rozwi¡» równanie
• y 0 x3 = 2y
• (1 + x2 )y 0 + 1 + y 2 = 0
√
• (1 + x2 )y 0 + y 1 + x2 = xy ∗
• (x2 + x)y 0 = 2y + 1
‡
30. Rozwi¡» równanie
• ṡ = st−1 − ts−1
y
0
• xy = y 1 + ln
x
0
2
• y = (x − y) + 1
• xy 2 (xy 0 + y) = 4
31. Wyznacz wszystkie rozwi¡zania
†
Ka»dy kolejny punkt licz¡c od 35. zawiera równania ró»niczkowe innego typu
‡
Nale»y samemu rozpozna¢ typ równa«, tj. jak rozwi¡za¢ dane równania
7
• xy 0 + 2y = 3x
2
• y0 − y = x
x
0
• xy + y = ln(x) + 1
2y
e−x
• y +
=
x
x
2
0
32. Wyznacz wszystkie rozwi¡zania
• xy 0 + y = −xy 2
• y 0 − xy = −y 3 e−x
2
• x2 y 0 = y 2 + xy
33. Rozwi¡»
• (3x2 + 2y)dx + (2x − 3)dy = 0
• 3x2 y − 4xy 2 + (x3 − 4x2 y + 12y 3 )y 0 = 0
• x2 sin(2y)y 0 = x cos(2y) + 1
34. Wyznacz czynnik czynnik caªkuj¡cy i rozwi¡»:
• y 2 dx + (yx − 1)dy = 0
2
2
w razie czego tu jest czynnik caªkuj¡cy: cz. caªk to
0
• x − 3y + 2xyy = 0
tu te»: cz. caªk to
35. Rozwi¡» ukªad równa«:

ẋ + x − y = et



ẏ − x + y = et
•
x(0) = 3



y(0) = 1
5ẋ − 2ẏ + 4x − y = e−t
•
ẋ + 8x − 3y
= 5e−t
36. Rozwi¡» równanie:
• y 00 + 3y 0 = 9x
• y 00 − 4y = 8x3
• y 00 + 3y 0 + 2y = sin(2x) + 2 cos(2x)
• y 00 + 4y 0 + 4y = 2x2 + 4x + 1
• y 00 + y = x − 2ex
• y 00 + y 0 − 2y = ex
• y 00 − y 0 − 2y = e2x + e−x
• y 000 − 2y 00 + y 0 = 1
• y 000 − 4y 00 + 3y 0 = ex + 2x
• y 000 − y = sin(x)
• y IV − 3y 00 − 4y = x
8
1/y
1/x4