Prosta i płaszczyzna w przestrzeni
Transkrypt
Prosta i płaszczyzna w przestrzeni
MiBM; S-I 0 .inż. dr Krzysztof Żyjewski 15 listopada 2014 Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P0 = (x0 , y0 , z0 ) o wektorze wodzącym r~0 i równoległej do wektora ~v = [a, b, c] : • postać parametrycznego prostej w R3 x = x0 + at l: y = y0 + bt z = z0 + ct, gdzie t ∈ R; • postać kierunkowa prostej: l: y − y0 z − z0 x − x0 = = . a b c Prosta przechodząca przez dwa różne punkty P0 (x0 ; y0 ; z0 ) i P1 (x1 ; y1 ; z1 ) • równanie w postaci parametrycznej x = x0 + t(x1 − x0 ) l: y = y0 + t(y1 − y0 ) z = z0 + t(z1 − z0 ), gdzie t ∈ R. • równanie w postaci kierunkowej l: x − x0 y − y0 z − z0 = = . x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0 Równanie płaszcyzny przechodzącej przez punkt P0 = (x0 , y0 , z0 ) o wektorze normalnym ~n = [A, B, C] : A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0. Niech P1 = (x1 , y1 , z1 ), P2 = (x2 , y2 , z2 ) i P3 = (x3 , y3 , z3 ) będą trzema ustalonymi niewspółliniowymi punktami i P = (x, y, z) będzie dowolnym punktem płaszczyzny π. Wówczas równanie na wyznaczenie płaszczyzny: x − x1 y − y1 z − z1 π : x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0. x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 1 dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0 .inż. 15 listopada 2014 Albo wektor normalny tej płaszczyzny wyznaczamy z ~i ~k ~j −−→ −−→ P1 P2 × P1 P3 = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 . x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 Odległość punktu P0 = (x0 , y0 , z0 ) od płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża się wzorem: d(P0 , π) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ . A2 + B 2 + C 2 Rozważmy teraz dwie równoległe płaszczyzny π1 : Ax + By + Cz + D1 = 0 oraz π2 : Ax + By + Cz + D2 = 0. Wzór na odległość pomiędzy nimi ma postać: d(π1 , π2 ) = √ |D2 − D1 | . A2 + B 2 + C 2 Odległość punktu P0 = (x0 , y0 , z0 ) od prostej k : przechodzącej przez punkt P1 = (x1 , y1 , z1 ) o wektorze ~v wyraża się wzorem: −−→ |P0 P1 × ~v | . d(P0 , k) = |~v | Wzór na odległość pomiędzy dwiema prostymi skośnymi k i l o wektorach odpowiednio ~v , ~u i przechodzącymi odpowiednio przez punkty P0 i P1 ma postać: −−→ |(~v , ~u, P0 P1 )| d(k, l) = . |~v × ~u| Wzór na odległość punktu P0 od płaszczyzny przechodzącej przez P1 o wektorze normalnym ~n ma postać: −−→ |P0 P1 ◦ ~n| d(P1 , π) = . |~n| 2 MiBM; S-I 0 .inż. dr Krzysztof Żyjewski 15 listopada 2014 Zadania na ćwiczenia 1. Znajdź równanie płaszczyzny: a) przechodzącej przez punkt P0 = (3, 1, −2) i równoległej do płaszczyzny 2x−y+3z+5 = 0; b) przechodzącej przez dwa punkty P1 = (0, 2, 1), P2 = (−1, 0, 1) i prostopadłej do płaszczyzny o równaniu x + y − z = 0; c) przechodzącej przez punkty P1 = (1, 3, 5), P2 = (1, 0, −1), P3 = (0, 4, 1); −→ d) prostopadłej do wektora AB, gdzie A = (1, 4, −2), B = (5, −2, 2) i przechodzącej przez środek odcinka AB; e) przechodzącej przez punkt P0 = (, 2−, 1, 0) i równoległej do płaszczyzny w której leży trójkąt ABC, gdzie A = (0, 0, 0), B = (1, 2, 3), C = (−1, −3, 5); f) przechodzącej przez punkt P0 = (4, 3, 1) i równoległej do wektorów ~u = [1, 1, 0], ~v = [0, 1, 1]; ( 4x − 3y + 2z + 5 = 0 g) przechodzącej przez punkt P0 = (6, 2, −1) i prostopadłej do prostej −5x + 8y − 7z + 2 = 0; h) zawierającej punkt P0 = (1, −2, 3) i prostopadłej do płaszczyzn o równaniach x − 3y + 2z − 7 = 0, 2x − 2y − z + 3 = 0; i) przechodzącej przez punkt P0 = (4, 2, −1) i oś Ox; j) zawierającej punkty P1 = (4, 0, −1) i P2 = (2, 3, 1) i równoległej do osi Oy; k) płaszczyzn równoległych do płaszczyzny −6x − 3y − 2z + 2 = 0 i odległych od niej o 5; l) zawierającej punkt (2, 0, −7), która jest prostopadła do płaszczyzny x + 5z = 0 i jedy = −1 = z−2 ; nocześnie równoległa do prostej x−1 2 3 m) przechodzącej przez oś Oy i tworzącej z płaszczyzną 2x + 5 y + z + 4 = 0 kąt π3 ; n) przechodzącej przez punkty P1 = (1, −3, 4), P2 = (2, 0, −1) i prostopadłej do płaszczyzny xOz; 2. Znajdź równanie prostej a) przechodzącej przez punkty P1 = (1, 0, 2) i P2 = (2, −1, 1); b) przechodzącej prze punkt P0 = (1, 3, −4) i równoleglej do wektora ~u = [−3, 0, 1]; c) przechodzącej przez punkt P0 = (5, −2, 0) i prostopadłej do płaszczyzny 2x+6y−2z+5 = 0; d) przechodzącej przez punkt P0 = (−1, 1, 1) i prostopadłej do wektorów ~u = [2, 0, −1] i ~v = [−3, 2, 1], ( 3x + y = 0 e) przechodzącej przez środek układu współrzędnych i równoległej do prostej x − 2z + 5 = 0; x = 2 + 3t f) przechodzącej przez punkt P0 = (4, 1, −2) i przecinającej prostą y = −1 + 2t pod z =1−t kątem prostym; 3 MiBM; S-I 0 .inż. dr Krzysztof Żyjewski ( 3x + 5y − 4z − 1 = 0 g) 4x + y + z + 1 = 0 15 listopada 2014 w postaci kanonicznej i parametrycznej; ( x−y+z =1 h) przecinającej proste: 2x + y − z = −2 x = 2 − 3t i y=t z = −1 + 2t pod kątem prostym; i) przechodzącej przez punkt A = (1, 2, 1) i przecinającej dwie proste: x−2 = y−2 = z3 ; 2 1 x−1 1 j) przechodzącej przez punkt P0 = (−2, 0, 1) przecinającą prostą l1 : prostopadłą do prostej l2 : x+2 = y−2 = z+1 . 2 4 1 3. Znaleźć punkt wspólny prostej : x+2 = 1 y−2 2 = z+1 −1 x−1 1 = y+3 −2 = z−1 2 i y 2 = z+2 3 i = i płaszczyzny −x + 2y + 3 − 5 = 0. 4. Znaleźć rzut prostokątny a) punktu P0 = (4, −3, 1) na płaszczyznę o równaniu x + 2y − z − 3 = 0; b) prostej l : x+2 = y−1 1 −2 y x = 3 = z1 2 = z 1 na płaszczyznę 2x − z + 3 = 0; c) prostej na płaszczyznę π, która to przechodzi przez prostą ( l1 : 2x + 3y + z − 8 = 0 l2 : x + 4y − 2z + 3 = 0; 5. Obliczyć odległość a) punktu P0 = (5, −8, 1) od płaszczyzny 4x − 3z − 2 = 0; b) punktu P0 = (2, −1, 1) od prostej x+1 1 = y−1 −1 = z2 ; c) prostych równoległych π1 : 3x − 4y + 11z − 2 = 0 i π2 : 3x − 4y + 11z + 3 = 0; 6. Oblicz miarę kąta między a) prostą l1 przechodzącą przez punkty A = (3, 0, −1) i B = (2, −1, 2) a prostą zawierającą punkty l2 C = (−2, 1, 1) i D = (3, 1, 3); x = −2 + 3t a płaszczyzną daną równaniem b) między prostą y = 1 z=t 2x − y + z − 1 = 0; c) płaszczyznami π1 : x − y − 2z − 4 = 0 i π2 : 2x + y − z − 5 = 0; 7. Znajdź współrzędne punktu symetrycznego do punktu P0 = (3, 0, 1) względem prostej y+1 = z+2 . 1 3 x−5 2 = 8. Zbadaj wzajemne położenie prostych l1 i l2 w zależności od przypadku wyznacz odległość, punkt przecięcia, równanie płaszczyzny do której należą: 4 MiBM; S-I 0 .inż. dr Krzysztof Żyjewski x−9 4 y+2 −3 = z 1 x −2 x = 3 − 2t b) l1 : y = 2 + t ( z = 1 − 3t i x = −1 − 4t l2 : y = 1 + 2t (z = 3 − 6t c) l1 : i l2 : i = z−2 . 2 l2 : 2x + 3y − z − 1 = 0 x + y − 3z = 0 ( 2x + y − z = 0 d) l1 : x + 2y − 3z = 0 = y+7 9 i a) l1 : = 15 listopada 2014 x + 5y + 4z − 3 = 0 x + 2y + 2z − 1 = 0 ( 2x + y + z − 3 = 0 l2 : x + y + 2z − 2 = 0. 9. Zbadaj wzajemne położenie płaszczyzny π i prostej l w zależności od przypadku wyznacz odległość, punkt przecięcia: x = 13 + 8t i π : x + 2y − 4z − 20 = 0 a) l : y = 1 + 2t z = 4 + 3t x = 2 + t i π : x + 2y − z + 5 = 0 b) l : y = −1 − 2t (z = 3−t c) l : x−y+z−1=0 x + 3y − 3z − 1 = 0 π : x+y−z−1=0 i 5