wyklad 11

Analiza Funkcjonalna + Topologia
WPPT IVr. semestr letni 2013
WYKLAD 11: Twierdzenia o operatorach cia̧glych
Poniższe twierdzenia znane sa̧ pod nazwa̧ twierdzeń Banacha i wykorzystuja̧ one
twierdzenie Baire’a do udowodnienia wlasności operatorów cia̧glych na przestrzeniach Banacha. Przypomnijmy, że operator z jednej przestrzeni unormowanej w
druga̧ jest cia̧gly wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony (na kuli jednostkowej).
Przypomnijmy też dwie proste obserwacje topologiczne: odwzorowanie cia̧gle, to
takie, że przeciwobrazy zbiorów otwartych sa̧ otwarte. Nie oznacza to jednak otwartości, tzn., że obrazy zbiorów otwartych sa̧ otwarte. Prostym przykladem jest
funkcja x2 i przedzial (−1, 1) (jego obrazem jest [0, 1)). Wykres odwzorowania
cia̧glego f : X → Y , zdefiniowany jako zbiór F = {(x, f (x)) : x ∈ X} ⊂ X × Y ,
jest zawsze zbiorem domkniȩtym w X × Y z topologia̧ produktowa̧ (jeśli pary
(xn , f (xn )) zbiegaja̧ do (x, y) to musi być y = f (x)). Ale domkniȩtość wykresu na
ogól nie wystarcza do cia̧glości. Prostym przykladem jest funkcja 1/x na R z dodana̧
wartościa̧ 0 w zerze. Wreszcie z cia̧glości funkcji odwracalnej nie wynika cia̧glość jej
odwrotnej (nawet na przestrzeniach zupelnych). Na przyklad tożsamość jest cia̧gla
na przestrzeni dyskretnej X w przestrzeń X z inna̧ topologia̧, ale odwrotna nie.
Okazuje siȩ, że w przypadku operatorów na przestrzeniach Banacha tego typu
implikacje sa̧ prawdziwe. Tu i ówdzie trzeba jednak zalożyć surjektywność lub/i
różnowartościowość. Proszȩ zwrócić uwagȩ na te zalożenia i zapamiȩtać je.
Pierwszym z twierdzeń jest
Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym. Jeśli T : X → Y jest operatorem
cia̧glym z przestrzeni Banacha na przestrzeń Banacha, to T jest odwzorowaniem
otwartym.
Dowód: Żeby nam siȩ nie mylilo, kule w X bȩdziemy oznaczać przez B(x, r), a kule
w Y przez K(y, r). Kule wokól zera (o promieniu r) oznaczymy odpowiednio przez
B r i Kr .
Wystarczy pokazywać, że obraz kuli B1 (wokól zera, o promieniu 1, w X) zawiera
pewna̧ kulȩ Kǫ ) (wokól zera, w Y ). Jeśli to pokażemy, to weźmy zbiór otwarty
U ∈ X i rozważmy jego obraz T (U ). Mamy pokazać, że dla dowolnego y0 ∈ T (U ),
T (U ) zawiera jaka̧ś kulȩ wokól y0 . Skoro y0 jest w obrazie U , to istnieje x0 ∈ U
taki, że T (x0 ) = y0 . Wtedy z otwartości U , istnieje kula B = B(x0 , δ) zawarta w
U , a wtedy obraz tej kuli T (B) jest zawarty w T (U ). Kula B jest obrazem kuli
jednostkowej B1 poprzez odwzorowanie x 7→ δx + x0 , zatem T (B) = T (δB1 + x0 ),
co z liniowości T można zapisać jako δT (B1 ) + T (x0 ), czyli δT (B1 ) + y0 . Skoro
T (B1 ) zawiera Kǫ , to T (B) = δT (B1 ) + y0 (a tym bardziej T (U )) zawiera zbiór
δKǫ + y0 = K(y0 , ǫδ), co należalo pokazać.
A wiȩc jak pokazać, że T (B1 ) zawiera
kulȩ wokó
S l zera? Tu wlaśnie pojawi siȩ
S
twierdzenie Baire’a: Piszemy X = n≥1 Bn = n≥1 nB1 , a skoro T jest ,,na” to
Y =T
[
n≥1
[
[
T (nB1 ) =
nT (B1 ).
nB1 =
n≥1
n≥1
Skoro przestrzeń zupelna Y jest suma̧ przeliczalna̧ pewnych zbiorów, to z tw.
Baire’a przynajmniej jeden z nich (o numerze n0 ) w swoim domkniȩciu zawiera
pewna̧ kulȩ K(y, ǫ). Ale jeśli K(y, ǫ) ∈ n0 T (B1 ), to K( ny0 , nǫ0 ) ∈ T (B1 ) (mnożenie
i dzielenie przez n0 sa̧ homeomorfizmami). Zmieniaja̧c znaczenie y i ǫ pokazaliśmy,
że T (B1 ) zawiera pewna̧ kulȩ K(y, ǫ). Teraz wyeliminujemy y zastȩpuja̧c go przez
zero. Napiszmy mianowicie tak:1
Kǫ = K(y, ǫ) − y ⊂ T (B1 ) − y ⊂ T (B1 ) − T (B1 ) ⊂ T (B1 ) − T (B1 ) =
T (B1 − B1 ) = T (B2 ).
Dziela̧c przez 2 dostajemy K 2ǫ ⊂ T (B1 ), co, zmieniaja̧c znaczenie ǫ, można zapisać
jako Kǫ ⊂ T (B1 ). Pozostaje pozbyć, siȩ domkniȩcia. Niech y ∈ Kǫ . Pokażemy,
że istnieje x ∈ B1 taki, że y = T (x) (czyli, że Kǫ ⊂ T (B1 ) — to bȩdzie koniec
dowodu).
Ponieważ Kǫ ∈ T (B1 ), zatem istnieje y1 ∈ T (B1 ) dowolnie blisko y, na przyklad
tak, że ky −y1 k < 2ǫ . Oznacza to, że y −y1 ∈ K 2ǫ co jest zawarte w T (B 21 ) (dzielenie
przez 2 jest homeomorfizmem i ,,wyla̧cza siȩ” przed operator). To oznacza z kolei,
że istnieje y2 ∈ T (B 21 ) takie, że ky − y1 − y2 k < 4ǫ . Czyli znowu y − y1 − y2 ∈ K 4ǫ ,
co jest zawarte w T (B 41 ).
W ten sposób rekurencyjnie skonstruujemy cia̧g punktów yn o wlasnościach:
(1) yn ∈ T (B 21n ),
Pn
(2) ky − i−1 yi k <
ǫ
2n .
Warunek (1) oznacza istnienie punktu xn ∈ B 21n (czyli po prostu kxn k < 21n ),
Pn
takiego, że yn = T (xn ). Zatem sumȩ i−1 yi w warunku (2) można z liniowości
Pn
operatora przepisać jako T ( i−1 xi ). Ponieważ normy punktów xn tworza̧ szereg
sumowalny o sumie mniejszej od 1, przeto punkty te tworza̧ szereg bezwzglȩdnie
sumowlany
w X. Z zupelności X istnieje zatem granica sum czȩściowych x =
Pn
lim 1=1 xi oraz
Pnkxk < 1 (czyli
Pn x ∈ B1 ). Z cia̧glości operatora T mamy wiȩc
zbieżność sum i−1 yi = T ( i−1 xi ) do T (x). Z cia̧glości odejmowania i cia̧glości
normy oraz z warunku (2) dostajemy
ky − T (x)k = lim ky −
n
X
i−1
yi k ≤ lim
ǫ
= 0,
2n
co dowodzi, że y = T (x), a ponieważ wiemy już, że x ∈ B1 mamy koniec dowodu.
Kolejne twierdzenie Banacha to
1 Korzystamy z cia̧glości odejmowania jako funkcji obu zmiennych i tego, że dla funkcji cia̧glej
obraz domkniȩcia jest zawarty w domkniȩciu obrazu (zastosowaliśmy to do zbioru T (B1 ) × T (B1 )
— jego domkniȩciem w topologii produktowej jest jest T (B1 )×T (B1 ) — i na to nakladamy funkcjȩ
,,odejmowanie”).
Twierdzenie o odwzorowaniu odwrotnym. Jeśli T : X → Y jest operatorem
cia̧glym i różnowartościowym z przestrzeni Banacha na przestrzeń Banacha, to
T −1 też jest cia̧gly.
Dowód: Wiemy już, że T jest otwarty. Zatem T −1 jest cia̧gle (dla odwzorowania odwracalnego przeciwobraz zbioru przez T −1 , to to samo, co jego obraz przez
T ). Wniosek. Jako wniosek otrzymujemy, że T −1 jest ograniczony, czyli ma jaka̧ś
normȩ skończona̧ C > 0 i wtedy dla pary punktów x oraz y = T (x) mamy kxk =
kT −1 (y)k ≤ Ckyk = CkT (x)k, czyli kT (x)k ≥ ckxk (gdzie c = C1 > 0). Wraz z
norma̧ T daje to dwie stale skończone, powiedzmy c > 0 i d > 0, takie że
ckxk ≤ kT (x)k ≤ dkxk.
Ostatnie twierdzenie z tej serii to
Twierdzenie o wykresie domkniȩtym. Jeśli T : X → Y jest operatorem
liniowym z przestrzeni Banacha w przestrzeń Banacha, to T jest cia̧gly (czyli ograniczony) wtedy i tylko wtedy, gdy jego wykres jest domkniȩty w X × Y .
Dowód: Jeśli T jest cia̧gly, to wykres jest domkniȩty, co jest prawda̧ dla dowolnych
odwzorowań miȩdzy przestrzeniami topologicznymi.
W przeciwna̧ stronȩ. Z domkniȩtości wykresu wynika, że wykres ten (oznaczmy
go przez Γ), jako domkniȩta podprzestrzeń przestrzeni zupelnej X × Y (z norma̧
na przyklad maximum albo suma norm) jest przestrzenia̧ zupelna̧ (czyli Banacha).
Teraz mamy dwa operatory (rzutowania)
T1 : Γ → X, T1 (x, y) = x
oraz
T2 : Γ → Y, T2 (x, y) = y.
Oba operatory sa̧ cia̧gle (o normie 1), przy czym pierwszy z nich jest surjektywny
(bo T jest określony na calym X) i różnowartościowy (jeśli punkty na wykresie
maja̧ to samo x na pierwszej wspólrzȩdnej, to sa̧ tożsame). Zatem stosuje siȩ
twierdzenie o odwzorowaniu odwrotnym i T1−1 : X → Γ też jest cia̧gly. Teraz
wystarczy zauważyć, że
T = T2 ◦ T1−1 .
jest cia̧gly, jako zlożenie funkcji cia̧glych.
Tomasz Downarowicz