Wykład 8

Optyka Fourierowska
Wykład 8
Holografia
Holografia
• Holografia to zapis zmodulowanej postaci
założonej fali przedmiotowej.
• Powstały w ten sposób element optyczny to
hologram
• Hologramy analogowe
– Tworzące ciągłe fronty falowych
• Hologramy cyfrowe (optyka dyfrakcyjne,
dyfrakcyjne elementy dyfrakcyjne (DOE), optyka
binarna)
– Tworzące dyskretne rozkłady próbek frontu falowego
Historia holografii
• Odkryta przez Dennisa Gabora w 1948 roku
przed wynalezieniem lasera, nagroda Nobla
• Wcześniej sformułowana teoretycznie (bez
weryfikacji eksperymentalnej) przez
Mieczysława Wolfkego w 1920 roku
• Rozkład natężenia będący sumą zadanej fali i
fali odniesienia zawiera informacje o
amplitudzie i fazie fali przedmiotowej
Fala przedmiotowa i odniesienia
• Załóżmy że zadana (przedmiotowa) fala ma
postać:
ux, y   Ax, y ei  x, y 
• Inna fala (odniesienia) przedstawiona jest jako
Rx, y   Bx, y ei  x, y 
• Obie fale zazwyczaj padają pod pewnym kątem
względem siebie na ośrodek zapisujący wrażliwy
na natężenie
Zapis koherentnego
frontu falowego
• Zapisany obraz ma więc postać:
I x, y   Ax, y   Bx, y   2 Ax, y Bx, y cos x, y    x, y 
2
2
gdzie ostatni czynnik równy AB*+A*B zawiera
informację zarówno o amplitudzie jak i fazie
fali przedmiotowej
Hologram
• Zakładamy, że ośrodek zapisuje obraz liniowo jako
swoją transmitancję natężeniową (amplitudową).
Powstały w ten sposób element optyczny nazywamy
hologramem.
• Zakładając że fala odniesienia jest falą płaską (B=const.)
padającą prostopadle na płaszczyznę hologramu
(ψ=const.) otrzymujemy więc transmitancję

t x, y   C   u  uR*  u * R
2

Odtworzenie
*
*




Qtx, y   QC


u
x
,
y
Q


R
Qu
x
,
y


RQu
x, y 
   
2
u1
u2
u3
u4
• u1 – przeskalowana fala odtwarzająca Q
• u2 – szum
• u3 – fala przedmiotowa (rozbieżna oraz pozorny)
– jeśli odtwarzamy falą Q=R
• u4 – fala sprzężona do przedmiowej (zbieżna,
obraz rzeczywisty)
– jeśli odtwarzamy falą Q=R*
Hologram Gabora
• Zakładamy że obiekt jest jasny,
tzn. duża część fali oświetlającej
przechodzi przez niego bez
zaburzeń stanowiąc falę
odniesienia, efekt dyfrakcji na
elemencie będzie falą
przedmiotową. Drugi czynnik
zawierający natężenie fali
przedmiotowej w związku z tym
założeniem jest zaniedbywalny.
• Otrzymujemy obraz pozorny (3
wyraz) oraz rzeczywisty (4 wyraz)
oraz falę odtwarzającą (1 wyraz)
umieszczone współosiowo na osi
optycznej
Ograniczenia hologramu Gabora
• Obiekt musi być jasny, tzn. różnice jasności muszą
być dużo mniejsze od jej średniej wartości. W
przeciwnym wypadku drugi wyraz przestaje być
zaniedbywalny i może zdominować obraz.
• Obraz pozorny i rzeczywisty leżą na jednej osi.
Oznacza to, że obrazowi rzeczywistemu
towarzyszy rozogniskowane pole obrazu
pozornego i na odwrót. Obrazy są więc mocno
zaszumione.
Hologram Leitha-Upatnieksa
(z przesuniętą wiązką odniesienia)
• Rozdzielenie
przestrzenne
obrazów uzyskuje
się przez użycie fali
odniesienia
padającej na ekran
pod kątem
Rx, y   Bx, y e2iy
Hologram Leitha-Upatnieksa
(z przesuniętą wiązką odniesienia)
• Odtwarzając hologram falą płaską o takiej
samej amplitudzie jak fala odniesienia
otrzymamy:
u1 x, y   CB
u 2  x, y    B u  x , y 
2
u3 x, y   R*Qux, y   B 2u x, y e 2iy
*
2 *
 2iy






u4 x, y  RQu x, y  B u x, y e
Minimalny kąt rozsunięcia
• W obszarze Fraunhofera składowe fale będą podobne
do swoich widm Fourierowskich a więc
U1  f x , f y   C   f x , f y 


U 2  f x , f y     U  f x , f y  U  f x , f y 
U 3  f x , f y    U  f x , f y   
U 4  f x , f y    U  f x , f y   
• U1 ma widmo punktowe, U2 ma widmo równe
podwojonej szerokości widma fali przedmiotowej, U3 i
U4 są odsunięte o α i mają szerkośc taką jak widmo fali
przedmiotowej. Aby obrazu nie przykrywały się musi
zachodzić:
1
  3 f max
 min  arcsin 3f max 
2
Rodzaje hologramów
• Hologramy mogą działać transmisyjnie
(informacja jest oglądana w świetle
przechodzącym) lub odbiciowo (informacja jest
oglądana jako wynik odbicia od hologramu)
• Hologramy Fresnela i Fraunhofera
– w zależności od odległości między hologramem a
obrazem/przedmiotem
• Hologramy obrazowe i Fourierowskie
• Hologramy tęczowe i wyciskane
• Hologramy objętościowe
Hologramy obrazowe (Fresnela)
• W hologramie zapisujemy falę przechodzącą
przez obiekt lub odbitą od obiektu
• Falą odniesienia najczęściej jest fala płaska
Hologramy Fouriera
• Zapisywane jest widmo fali przedmiotowej, a
więc obraz w ognisku soczewki
• Falą odniesienia jest fala płaska
• Po odtworzeniu obraz znajduje się w
nieskończoności wymaga więc dodatkowej
soczewki (np. oka) do powstania
• W wyniku zawsze powstają 2 obrazy symetryczne
względem osi optycznej
• Rozdzielczość kliszy może być w takiej sytuacji
niższa niż w przypadku hologramu Fresnela
Bezsoczewkowy
hologram Fouriera
• Zamiast używać soczewki można jako fali
odniesienia użyć fali sferycznej rozbieżnej o
takiej krzywiźnie jak fala przedmiotowa
• Oznacza to, że źródło fali musi być w tej samej
odległości od hologramu (kliszy) jak
przedmiot
Warunki zapisu hologramów
• Różnica dróg optycznych wiązki
przedmiotowej i odniesienia musi być krótsza
od drogi koherencji światła (interferencja)
• Natężenie wiązek musi być porównywalne
(kontrast)
• Układ musi być zabezpieczony przed
drganiami (stabilność w czasie naświetlania)
• Kąt między wiązkami musi być możliwie mały
(rozdzielczość)
Światło monochromatyczne
• Hologramy jako elementy dyfrakcyjne oparte o
na zjawisku interferencji tworzone są przez
światło koherentne a więc monochromatyczne
(jednobarwne)
• Również fala odtwarzająca musi być
monochromatyczna.
• Użycie innej długości fali powoduje
przeskalowanie obrazu
Właściwości obrazów
holograficznych
• W każdym punkcie kliszy holograficznej
przedmiot jest widziany z innego kąta
(paralaksa)
• Ponieważ w wyniku odtworzenia hologramu
powstaje fala świetlna tożsama z falą
przedmiotową odtworzone są wszystkie
właściwości takie jak paralaksa, głębia,
zjawiska optyczne (w granicach drogi
koherencji)
Hologramy tęczowe (Bentona)
• Pozwalają na obserwację hologramu w świetle białym
• Kosztem tej metody jest brak paralaksy w jednym kierunku
przestrzennym
• Proces zapisu jest dwuetapowy
– Tworzymy zwykły hologram za pomocą światła
monochromatycznego
– Odtwarzamy ten przez wąską szczelinę
– Powstający w ten sposób obraz rzeczywisty zapisujemy na kliszy
holograficznej za pomocą nowej monochromatycznej sferycznej
fali odniesienia
• Po oświetleniu hologramu Bentona światłem białym w
jednym kierunku odtwarza się obraz widziany przez
szczelinę w prostopadłym do niego mamy paralaksę
widzianą dla kolejnych długości fali (barw)
Hologramy wytłaczane
• Wytłaczanie jest popularną metodą
powielania płyt CD i DVD które mają struktury
porównywalne z długością fali.
• Podobne techniki mogą być używane do
taniego powielania hologramów
• Dzięki temu powszechnie stosowane są do
zabezpieczeń kart kredytowych, książek,
wydawnictw audiowizualnych oraz banknotów
Hologramy wytłaczane
• Pierwszym krokiem jest zapis hologramu w fotorezyście –
substancji, która po wywołaniu zostaje utwardzona w
zależności od natężenia oświetlającego światła w danym
punkcie
• Na podstawie kształtu fotorezystu w procesie
galwanoplastyki zostaje utworzony metalowa maska
hologramu
• Używając takiej maski można wytłaczać hologramy
– Wytłaczanie płaskie
– Wytłaczanie obrotowe
– Stemplowanie na gorąco
• Materiałem w którym wytłaczane są hologramy
najczęściej jest poliester metalizowany następnie dla
uzyskania hologramu odbiciowego
Hologramy grube (objętościowe)
• Główną zaletą takich hologramów jest
automatyczny wybór przez nie z widma
światła białego długości fali światła zapisu
• Dodatkowo hologramy takie mają bardzo duża
wydajność dyfrakcyjną
• Obraz prążków holograficznych zapisywany
jest w całej objętości emulsji światłoczułej
Gruby czy cienki
• Siatka dyfrakcyjna o stałej Λ zapisana prostopadle
powierzchni emulsji o współczynniku załamania n i
grubości d w całej jej objętości będzie się zachowywać
jak gruba (Q>1) lub cienka (Q<1) w zależności od
wartości parametru Q
0 d
Q 2
n
gdzie λ0 jest długością fali światła w próżni
• W siatkach (i hologramach) grubych o front falowy
determinowany jest przez zjawiska Bragga
• Oznacza to, że taka siatka przepuszcza (i ugina) tylko
jedną długość fali
Hologramy objętościowe
 

uo r   Ao eiko r
 

ik r  r


ur r  Ar e


 2
I r   uo r   ur r 

 
 I o  I r  2 Ao Ar cos k s  r
  
k s  ko  k r

Co przedstawia wzór sinusoidalny z okresem
równym p  2
ks
Hologramy objętościowe
• Jeśli fala odniesienia biegnie wzdłuż osi
optycznej, zaś fala przedmiotowa pod kątem
θ, zachodzi: p  
2 sin

2
Odtwarzanie hologramu
objętościowego
• Z powodu warunków Bragga hologram
zostanie odtworzony jedynie jeśli oświetlić go
falą tożsamą z falą odniesienia co do długości
fali i kierunku
• Jeśli oświetlimy światłem białym element
wybierze sobie więc właściwy kierunek i
długość fali i odtworzy falę przedmiotową
Obrazowanie holograficzne
• Przyjmijmy założenia:
– Fale przedmiotowa i odniesienia są falami sferycznymi
wychodzącymi odpowiednio z punktów o
współrzędnych (xo,yo,zo) oraz (xr,yr,zr)
– Sferyczna fala odtwarzająca może być różna od fali
odniesienia i wychodzić z punktu (xc,yc,zc)
– Fala odniesienia i odtwarzająca mają odpowiednio
długości fali λr i λc. Długości te mogą się różnić
– Odtworzony obraz może różnić się wielkością od
przedmiotu. Punkt w płaszczyźnie z=0 dla przedmiotu
zaznaczymy jako (x,y) zaś odpowiadający mu punkt
otworzenia jako (x’,y’)
Obrazowanie holograficzne
• Używając przybliżenia przyosiowego dla
położenia przedmiotu i jego odtworzenia
można traktować przedmiot jak złożony z
pojedynczych koherentnych punktów
• Pole w płaszczyźnie zapisu hologramu
wyrażone będzie równaniem:

 i
x  xr 2   y  yr 2
u x, y   B exp 
 r zr
  A exp  iz x  x    y  y  
2


o
r o
2
o

Zapis hologramu
• Transmitancja amplitudowa hologramu będzie
więc równa
I  x, y   B 2  A 2 




 i

x  xr 2   y  yr 2  i x  xo 2   y  yo 2  
 AB * exp 
r zo
 r z r

 i

x  xr 2   y  yr 2  i x  xo 2   y  yo 2 
 AB * exp 
r zo
 r z r





z czego ważne są wyrazy trzeci i czwarty
 i


x  x    y  y   i x  x    y  y  
t   A B exp 
z
z
2
*
3
r
2
2
r
o
2
o
r o
 r r
 i
x  xr 2   y  yr 2  i x  xo 2   y  yo 2
t 4   AB * exp 
r zo
 r zr






Odtworzenie hologramu
• Oświetlamy hologram falą sferyczną:


 i

x  xc 2   y  yc 2 
uc x, y   C exp 
 c zc

• W wyniku czego powstają fale:




 i

x  xc 2   y  yc 2 
u3 x, y   t3C exp 
 c zc

 i

x  xc 2   y  yc 2 
u4 x, y   t 4C exp 
 c zc

Obraz holograficzny
• Ponieważ w wyrażeniach na wszystkich fal
pojawiają się jedynie składniki liniowe
(przesuniecie) oraz kwadratowe
(ogniskowanie) w wynikowym frontem
falowym będzie także fala sferyczna
wychodząca z punktu odtworzonego obrazu o
współrzędnych (xi,yi,zi):


 i
2
2 
x  xi    y  yi  
ui x, y   K exp 
 c zi

Lokalizacja punktu obrazowego
1 1
1
1
  
zi z c
zr
zo
xi xc
xo
xr
 

zi xc
zo
zr
yi y c
yo
yr
 

zi xc
zo
zr
c

r
• Górne znaki dotyczą fali
z jednego wyrazu, zaś
dolne z drugiego wyrazu
fali wychodzącej z
hologramu
• Jeśli zi jest ujemne
obraz jest urojony, w
przeciwnym razie jest
rzeczywisty
Powiększenie
M xy 
xi
y
z
z
z
 i   i  1 o   o
xo
yo
zo
zr
zc
1
zi
Mz 
 M xy2
zo
• Powiększenie poprzeczne i podłużne nie jest takie
samo. Podobnie jest przy obrazowanie soczewką
• Ponieważ jednak przy holografii obrazujemy obiekty
trójwymiarowe należy pamiętać, że ulegają one
zniekształceniu
• Jeśli stosunek długości fal γ=Mxy uzyskujemy Mxy=Mz