10. Analiza post-optymalizacyjna. Zagadnienie dualizmu, tworzenie

10. Analiza post-optymalizacyjna. Zagadnienie dualizmu, tworzenie modeli dualnych.
Związki między programem pierwotnym (PP) a programem dualnym (PD)
1. W PD jest tyle zmiennych ile warunków ograniczających w PP (i odwrotnie).
2. Współczynniki funkcji celu PP są wyrazami wolnymi układu nierówności PD (i odwrotnie).
3. Macierz współczynników układu nierówności [aji] w PD jest transpozycją macierzy współczynników układu
nierówności w PP [aij] (i odwrotnie).
4. PD względem PD jest PP.
5. Jeżeli w PP funkcja celu jest maksymalizowana, to w PD jest minimalizowana (i odwrotnie).
6. Konstruując PD należy zmienić kierunki nierówności na przeciwne w porównaniu z PP *
 - dotyczy programów „symetrycznych”
Twierdzenia o dualności
1. W rozwiązaniach optymalnych obu programów x*=(x1*, x2*, ..., xn*) i y*=(y1*, y2*, ..., yr*)
wartości funkcji celu są sobie równe, czyli F(x1*, x2*, ..., xn*) = G(y1*, y2*, ..., yr*).
2. TWIERDZENIE O RÓWNOWADZE:
2a. Jeżeli i-ty warunek PP jest (chociaż w jednym) optymalnym rozwiązaniu tego programu spełniony z
nierównością (ostro), to odpowiadająca mu i-ta zmienna yi w (dowolnym) optymalnym rozwiązaniu PD
przyjmuje wartość 0.
2b. Jeżeli j-ty warunek PD jest (chociaż w jednym) optymalnym rozwiązaniu tego programu spełniony z
nierównością (ostro), to odpowiadająca mu j-ta zmienna xj w (dowolnym) optymalnym rozwiązaniu PP
przyjmuje wartość 0.
3. Jeżeli PD ma jedno rozwiązanie optymalne, to optymalna wartość i-tej zmiennej dualnej (yi*) informuje, jak wielki
przyrost (spadek) wartości funkcji celu PP przypada na zwiększenie (zmniejszenie) wyrazu wolnego w i-tym
ograniczeniu (bi) o jednostkę, przy niezmienionych pozostałych b.
Twierdzenia o dualności (dla programów niesymetrycznych)
1. Jeżeli w zasadniczym układzie warunków ograniczających zagadnienia PL jeden z warunków jest nierównością ze
zwrotem przeciwnym do wymaganego przy danym rodzaju kryterium optymalizacyjnym, to związana z tym
warunkiem zmienna decyzyjna zadania dualnego musi przyjmować wartości niedodatnie.
2. Jeśli jeden z warunków PL jest równaniem, to związana z nim dualna zmienna decyzyjna może przyjmować
dowolne warunki liczbowe.
3. Jeśli zmienna decyzyjna w pierwotnym PL może przyjąć dowolną wartość, to odpowiadający jej dualny warunek
ograniczający jest równaniem.
Interpretacja zmiennych dualnych
Optymalna wartość zmiennej dualnej określa jednostkową zmianę wartości funkcji celu zagadnienia pierwotnego,
odpowiadającą jednostkowej zmianie wartości wyrazu wolnego odpowiedniego warunku ograniczającego tego
zagadnienia, przy założeniu że rozpatrywana baza pozostaje dopuszczalna.
Optymalne wartości zmiennych dualnych nazywane są cenami dualnymi.
a. W modelu optymalnej struktury produkcji wartość ceny dualnej to maksymalna cena, jaką opłaca się zapłacić
za dodatkową jednostkę danego ograniczonego zasobu (ceteris paribus).
b. W modelu diety cenę dualną interpretujemy następująco: jeśli byłoby możliwe dostarczenie o 1 jednostkę
więcej (mniej) danego składnika odżywczego, końcowy koszt zakupu wzrośnie (spadnie) o wartość ceny
dualnej (ceteris paribus).
Zadanie 1. Sformułuj programy dualne do następujących niesymetrycznych programów pierwotnych:
 x1  x2  2
2 x  x  3
 1
2

a)  x1  x2  1
 x1  0, x2  R
F ( x1 , x2 )  2 x1  x2  max
 y1  2 y 2  y3  2
 y
 y3  1
 1
 y3  1
 y1
b) 
2y
 y2
 3
 1
 y1  R, y 2 , y3  0
F ( y1 , y 2 , y3 )  2 y1  4 y 2  6 y3  min
 x1  x2  5
2 x  x  7
2
 1
2 x1  x2  6
c) 
x  x3  4
 1
 x1  0, x2 , x3  R
 6
 y1  2 y2

 y 2  2 y3  8
 y1
d) 
 y1 , y2  0, y3  R
F ( y1 , y2 , y3 )  4 y1  2 y2  y3  min
F ( x1 , x2 , x3 )  4 x1  x2  2 x3  max
Zadanie 2. W przedsiębiorstwie wytwarza się dwa wyroby (A i B) zużywając w procesie produkcyjnym 3 czynniki
produkcji (S1, S2, S3). Normy zużycia poszczególnych czynników produkcji na jednostkę każdego wyrobu oraz ich
zasoby przedstawia poniższa tabela.
Czynnik
Wyrób
Zasób
produkcji
A
B
S1
S2
S3
1
2
1
1
4
0
12
42
11
Wiedząc, że zyski jednostkowe ze sprzedaży obu wyrobów wynoszą odpowiednio 3 i 4 złote:
a) sformułuj zagadnienie pierwotne i dualne;
b) wyznaczm metodą graficzną wielkości produkcji obu wyrobów, które maksymalizują zysk;
c) oblicz maksymalny zysk przedsiębiorstwa;
d) zadecyduj, czy zasoby wszystkich czynników produkcji zostaną całkowicie wykorzystane; jeśli nie, to podaj
ich nazwy i określ niewykorzystane wielkości; zinterpretuj ceny cienie.
UWAGA
Interpretacja zmiennych dualnych w zadaniu 3:
Zwiększenie zasobu surowca S1 o 1 kg zwiększy zysk ze sprzedaży produkowanych wyrobów o 2 zł (przy stałych
zasobach surowców S2 i S3). Zwiększenie zasobu surowca S2 o 1 kg (przy stałych zasobach surowców S1 i S3)
powiększy wartość funkcji celu o 0,5 zł. Zwiększenie zasobu S3 nie zmieni wartości funkcji celu.
Zadanie 3. Rozwiąż poniższe zadanie metodą simpleks oraz odpowiedź na poniższe pytania.
Firma zamierza uruchomić produkcję wyrobów A i B. Wielkość produkcji jest limitowana przez możliwości
przetworzenia na wyroby dwóch surowców S1, S2. Nakłady surowców na wytworzenie jednostki wyrobu (kg/j.),
możliwości przerobu surowców (w tonach) w okresie planistycznym oraz oczekiwane ceny zbytu (w zł/j.) podaje
tabela. Firma maksymalizuje swój przychód.
a)
b)
c)
d)
Wyrób A
Wyrób B
Możliwości przerobu
S1
4
10
40
S2
8
4
24
Cena zbytu
3
9
sformułuj zagadnienie pierwotne i dualne;
wyznacz wielkości produkcji obu wyrobów, które maksymalizują zysk;
oblicz maksymalny zysk przedsiębiorstwa;
zadecyduj, czy zasoby wszystkich czynników produkcji zostaną całkowicie wykorzystane; jeśli nie, to podaj
ich nazwy i określ niewykorzystane wielkości; zinterpretuj ceny cienie.
x1
s1
s2
x2
Zmienne
Wyrazy
Stosunek
wolne
cj
Baza
cj  z j
M
Wartość funkcji celu Z (x)  ..................... ; …… z bazy, ……do bazy
Zmienne
x1
x2
s1
s2
cj
Baza
Wyrazy
wolne
Stosunek
cj  z j
M
Wartość funkcji celu Z (x)  ..................... ; …… z bazy, ……do bazy
Zmienne
x1
x2
s1
s2
cj
Baza
Wyrazy
wolne
Stosunek
cj  z j
M
Wartość funkcji celu Z (x)  ..................... ; …… z bazy, ……do bazy
Zmienne
cj
Baza
x1
x2
s1
s2
Wyrazy
wolne
cj  z j
M
Wartość funkcji celu Z (x)  ..................... ; …… z bazy, ……do bazy
Stosunek
Fragment wykładu prof. T. Bołta
Tablica 1a. Struktura tablicy simplex
Zmienne decyzyjne
(pierwotne, dodatkowe i sztuczne)
Zmienne
bazowe
Współczynniki funkcji celu
przy zmiennych bazowych
Ilorazy wyrazów wolnych przez
elementy kolumny rozwiązującej
Wyrazy
wolne
Współczynniki funkcji celu
Macierz wymiany
Efekty netto wprowadzenia zmiennej do
bazy(dwa wiersze)
Wartość
funkcji celu
Źródło: opracowanie własne
Tablica 1b. Struktura tablicy simplex

x'  x'b
x'w

Ilorazy
wyrazów
Współczynniki
Zmienne
funkcji celu przy
bazowe
zmiennych

c  cb
cw

Wyrazy
wolnych przez
wolne
elementy
kolumny
rozwiązującej
bazowych
c'b
xb
cj  z j
I
m
0

b  Ab1 b

c0  cb b
|  A w  Ab1A w
| cw  cb A w  c w
M
Źródło: opracowanie własne
z j   ci aij
jbaza
W sensie ekonomicznym oznaczają one wycenę wkładu jaki jest tracony, gdy j-ta zmienna (realna lub dodatkowa) jest wprowadzona do bazy.
Jest to zatem wycena kosztu związanego z wymianą w bazie.
Zmienna
cj  z j
jest oceną efektu netto wprowadzenia jednostki danej zmiennej (realnej lub dodatkowej) do bazy. Jest to zatem różnica
między zyskiem jednostkowym dla danej zmiennej a kosztem wprowadzenia tej zmiennej do bazy.
Zasady odczytu rozwiązania bazowego na podstawie tablicy simplex są następujące:


wartości zmiennych, które znalazły się w kolumnie ,,Baza” (zmiennych bazowych) odczytujemy z kolumny wyrazów wolnych,
wartości pozostałych zmiennych (niebazowych) przyrównujemy do zera,

wartość funkcji celu, dla danego rozwiązania bazowego odczytujemy z prostokąta zawierającego
c0 w tablicy 1a.