Funkcja – podstawowe pojęcia i własności.
Transkrypt
Funkcja – podstawowe pojęcia i własności.
Funkcja – podstawowe pojęcia i własności. 1. Definicja funkcji. Załóżmy, że mamy dwa niepuste zbiory X i Y (X,Y≠∅), można sformułować dwie równoważne definicje funkcji: i) jeśli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkowany jest dokładnie jeden element ze zbioru Y i każdemu elementowi ze zbioru Y przynajmniej jeden element ze zbioru X, to mówimy, że zostało określone odwzorowanie zbioru X na zbiór Y. ii) jeśli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkowany jest dokładnie jeden element ze zbioru Y, to mówimy, że zostało określone odwzorowanie zbioru X w zbiór Y. Funkcję najczęściej zapisujemy: f: X→Y lub y= f(x), gdzie x∈X, y∈Y Zbiór X tych elementów, dla których funkcja jest określona nazywa się zbiorem argumentów funkcji lub dziedziną funkcji. Powyższe pojęcia wprowadzone są intuicyjnie. Ścisła definicja funkcji sformułowana jest za pomocą pojęć teorii mnogości: Niech X i Y będą dowolnymi zbiorami. Jeżeli relacja ρ ⊂ XxY spełnia warunek: dla każdego x∈X istnieje dokładnie jeden element y∈Y, taki że xρy, to relację tę nazywamy funkcją. 2. Monotoniczność funkcji. Funkcję f: XöY nazywamy: i) rosnącą (ściśle rosnącą), jeżeli: ∧ x<y ⇒ f(x)< f(y) x,y∈X ii) malejącą (ściśle malejącą), jeżeli: ∧ x<y ⇒ f(x)> f(y) x,y∈X iii) niemalejącą, jeżeli: ∧ x<y ⇒ f(x) ≤ f(y) x,y∈X iv) nierosnącą, jeżeli: ∧ x<y ⇒ f(x) ≥ f(y) x,y∈X v) stałą, jeżeli: ∧ x<y ⇒ f(x) = f(y) x,y∈X MB Funkcja – podstawowe pojęcia i własności 3. Parzystość i nieparzystość funkcji. Funkcję nazywamy: i) parzystą, jeżeli: ∧ f(x) =f(‐x) (własność – wykres symetryczny względem osi OY) x,‐x∈X ii) nieparzystą, jeżeli: ∧ ‐ f(x) =f(‐x) (własność – wykres symetryczny względem początku układu) x,‐x∈X Oczywiście w obu powyższych definicjach zakłada się, że zbiór X jest symetryczny względem 0, to znaczy ∧ ‐x∈X. x ∈X 4. Funkcja różnowartościowa. Funkcję nazywamy różnowartościową, jeżeli: ∧ x≠ y ⇒ f(x) ≠f(y) x,y ∈X 5. Funkcja odwrotna. Jeśli funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y i jest różnowartościowa to funkcję x= f –1(y), gdzie f –1:Y→X, nazywamy funkcją odwrotną do funkcji y= f(x). Jeśli funkcja g jest funkcją odwrotną do f to zachodzi równość: g(f(x))=x. Wykres funkcji odwrotnej jest symetryczny względem prostej y=x. 6. Funkcja złożona (superpozycja funkcji). Jeśli dane są dwie funkcje f: X→Y i g: Y→Z to dla każdego elementu x∈X istnieje dokładnie jeden taki element z∈Z, że z=g(f(x)). Funkcje f i g wyznaczają nową funkcję h: X→Z określoną h(x) : g° f =g(f(x)) . Funkcję h nazywamy funkcją złożoną z funkcji f i g. Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną funkcji złożonej, a funkcję g funkcją zewnętrzną funkcji złożonej. 7. Funkcja okresowa: Funkcję f: XöY nazywamy okresową, jeśli istnieje taka liczba t>0 (nazywana okresem funkcji), że ∧ x+t∈X f(x)=f(x+t) x∈X ⁄ Najmniejsza liczba t spełniająca powyższy warunek nazywana jest okresem podstawowym. 2 MB Funkcja – podstawowe pojęcia i własności 8. Wykresy wybranych funkcji: i) trygonometrycznych: 1 fHxL=sinx 1 2 −2π − 3 π 2 −π − π 2 π 2 − π 3 π 2 2π 1 2 −1 1 fHxL=cos x 1 2 −2π − 3 π 2 −π − π 2 π 2 π 3 π 2 2π −1 2 −1 fHxL=tg x è!! 3! 1 −π − π 2 −1! −è!! 3 π 2 π fHxL=ctg x è!!! 3 1 −π π − 2 −1 −è!!! 3 π 2 π 3 MB Funkcja – podstawowe pojęcia i własności ii) wykładniczej: fHxL=ax dla aeH1,¶L fHxL=ax dla aeH0,1L 1 1 −4 −3 −2 −1 1 2 3 −4 4 −3 −2 −1 1 2 3 1 2 3 4 fHxL=ax dla a=1 1 −4 −3 −2 −1 4 iii) logarytmicznej: fHxL=logax dla aeH0,1L 1 1 2 3 4 1 1 fHxL=logax dla aeH1,¶L 2 3 4 4 MB Funkcja – podstawowe pojęcia i własności iv) cyklometrycznych: π 2 −1 −1 2 fHxL=arcsinx 1 2 1 −π 2 π π 2 −1 −1 2 fHxL=arccos x 1 2 1 π 2 π fHxL=arctg x −1 −π 2 π 2 1 fHxL=arcctg x −1 1 5 MB