Zbiory, listy, ciągi, równania i układy równań

Zajęcia nr 3
ZBIORY, LISTY, CIĄGI, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ
Prowadzący: mgr Marcin Spryszyński
www: http://www-users.mat.uni.torun.pl/ ∼spryszyn
e-mail: [email protected]
Zbiory
X {a,b,c,z} - zbiór złożony z elementów a, b, c, z,
X {} - zbiór pusty,
X A union B, ’union’(A,B) - suma mnogościowa zbiorów A i B,
X A intersect B, ’intersect’(A,B) - iloczyn mnogościowy zbiorów A i B,
X A minus B, ’minus’(A,B) - różnica mnogościowa zbiorów A i B (tj. A\B),
X member(a,A) - zwraca wartość true, gdy a ∈ A,a w przeciwnym wypadku false,
X nops(A) - zwraca ilość elementów zbioru A,
X op(A) - wypisuje elementy zbioru A (nie tworzy z nich zbioru!).
Listy
X [b,a,w,7,t] - lista (ciąg skończony), w której pierwszym elementem jest „b”, drugim - „a”, itd.,
X [] - lista pusta,
X nops(L) - zwraca ilość elementów listy L,
X member(a,L) - sprawdza, czy „a” jest elementem listy L (tak jak przy zbiorach),
X L[i] - wynikiem operacji jest i-ty element listy L (−nops(L) ¬ i ¬ nops(L)),
X L[i..j] - zwraca listę złożoną z elementów L[i], . . . , L[j],
X subsop(i=a,L) - zastąpienie i-tego elementu listy L przez a,
X subsop(i=NULL,L) - usunięcie i-tego elementu listy L,
X op(L), L[] - wypisuje wszystkie elementy listy L (nie tworzy z nich listy!),
X L:=[op(L),a] - dodanie do listy elementu a (na końcu listy, działa również dla zbiorów),
X convert(L,set) - tworzy zbiór elementów listy L,
X convert(A,list) - tworzy listę z elementów zbioru A,
X map(f,L) - dla danej funkcji f oraz listy L = [l1 , . . . , ln ] wynikiem jest lista [f (l1 ), . . . , f (ln )],
F Uwaga: Funkcja map działa również w przypdku, gdy w miejscu listy pojawi się zbiór.
1
Ciągi
X seq(a[k],k=n..m), a[k]$k=n..m - wypisuje z ciągu o wyrazie ogólnym a[k] elementy
a[n], a[n + 1], . . . , a[m],
X a$n - zwraca a, . . . , a,
|
{z
n razy
}
X $n..m - zwraca n, n + 1, . . . , m,
X NULL - ciąg pusty,
X a:=’a’ - „czyszczenie” zmiennej a,
X about(a) - wypisuje informacje na temat zmiennej a.
Równania i układy równań
X solve(equat,x) - rozwiązuje równanie (nawet nierówność!) equat wzlędem zmiennej x. Jeśli równanie lub nierówność jest sprzeczne to nic nie wyświetla, w przypadku gdy warunek jest spełniony
przez dowolną liczbę - wyświetla nazwę zmiennej (jako tako radzi sobie z problemami natury wielomianowej);
X solve({equat 1,...,equat n},{x 1,...,x m}) rozwiązuje układ równań {equat 1, . . . , equat n}
względem zmiennych {x 1, . . . , x m},
F Uwaga1: Wynik komendy solve jest podawany jako zbiór (zbiór pusty w przypadku braku rozwiązań),
F Uwaga2: Aby zmusić Maple do zapamiętania otrzymanego rozwiązania pod zadeklarowanymi zmiennymi można użyć (po wykonaniu polecenia solve) komendy assign(%).
X fsolve - podaje rozwiązania danego równania (układu równań) w przybliżeniu dziesiętnym (składnia
identyczna jak w poleceniu solve),
X isolve - podaje rozwiązania danego równania (układu równań) w zbiorze liczb cakowitych (składnia
identyczna jak w poleceniu solve),
X msolve(equat,n) - podaje rozwiązania danego równania (układu równań) nad pierścieniem Zn ,
X dsolve({dif equat(f(x)),init},f(x)) - zwraca rozwiązanie równania różniczkowego (układu równań rózniczkowych) dif\_equat(f(x)) o niewiadomej funkcji f (zmiennej x) z warunkami początkowymi init (więcej informacji - patrz: ?dsolve),
F Przykład: Chcąc rozwiązać następujące zagadnienie Cauchy’ego:
 2
d f

 dx2 (x) + 2f (x)


= 0,
f (0) = 0,
f 0 (0) = 1.
wystarczy wykonać następującą komendę:
> dsolve({diff(f(x),x$2)+2*f(x)=0,f(0)=0,D(f)(0)=1},f(x));
Tajemniczo wyglądający symbol D(f)(0)=1 oznacza nic innego jak f’(0)=1 (symbol D oznacza w
Maple operator różniczkowania).
2