Mathcad cz.2

Mathcad c.d.
- Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie
równań, pochodne i całki, animacje
Opracował: Zbigniew Rudnicki
Powtórka
z poprzedniego wykładu
2
1
Dokument, regiony, klawisze:
• Dokument Mathcada realizuje obliczenia i ma postać publikacji;
• składa się z regionów: (1) tekstów, (2) wzorów, (3) wykresów;
Ważniejsze klawisze:
["] - rozpoczyna region tekstowy
[:] - przypisuje zmiennej wartość np.: bok:5*cm
[.] - poprzedza cz. ułamkową liczby np.: 12.863
[=] - oznacza „wyświetl wartość” np.: bok^2=
[ ] - spacja - zwiększa zaznaczenie np.:
[;] - symbol zakresu np.: i:1;5 oznacza:
„i ma być ciągiem arytmetycznym od 1 do 5 (co 1)”
[^] - wstawia wykładnik potęgi
[[] - wstawia indeks (numer elementu wektora lub macierzy)
3
Zalecana postać dokumentu
Autor
Nagłówek (czego dotyczą obliczenia)
Dane:
Objasnienia danych
................
................
................
Obliczenia
Wyniki końcowe
Wyniki pośrednie
Wykres
4
2
Podstawowe typy regionów matematycznych
Polecenie
1) Wyświetlanie wartości
wyrażenia
Składnia:
wyrażenie =
a więc także:
zmienna =
2) Definicja zmiennej lokalnej
(nadaje wartość zmiennej)
zmienna := wyrażenie
3) Definicja zmiennej globalnej
(nadaje wartość zmiennej)
zmienna ≡ wyrażenie
4)
naz_fun(parametry) := wyrażenie
Definicja funkcji użytkownika
5) Def. zmiennej zakresowej
zmienna := a1, a2; an
(ciągu arytmetycznego)
6) Def. zm. indeksowanej
zmienna indeks := wyrażenie
(elem. wektora lub macierzy)
7) Definicja całej macierzy jako
zmienna := [ macierz ]
zmiennej złożonej
8) Równania i nierówności – solve block
5
TYPY i przykłady regionów matematycznych
Aby Mathcad mógł realizować obliczenia musi rozpoznawać polecenia jakie mu wydajemy.
Dlatego musimy wpisywać tylko dopuszczalne typy regionów matematycznych
przedstawione poniżej, a ich budowa mysi być zgodna z regułami Mathcad’a
6
3
Kolejność regionów:
• Zmienne w wyrażeniach muszą mieć wartości wyznaczone
wcześniej czyli na lewo lub powyżej od bieżącego regionu.
• wyjątkiem są dane globalne wstawiane symbolem [≡]
Jednostki miar:
• Wartości danych można mnożyć przez symbole jednostek miar
Wyniki:
• Po podwójnym kliknięciu można zmienić precyzję wyniku.
• Wpisanie innej jednostki miary przy wyniku spowoduje
przeliczenie (konwersję) na takie jednostki
Zmienne zakresowe (ciągi arytmetyczne)
- mogą być używane tylko jako: (1) indeksy elem. macierzy,
(2) argumenty funkcji
7
Tworzenie wykresu X-Y:
1) Zdefiniuj funkcję: Y(x):= wyrażenie
2) Określ początek i koniec przedziału: Xp, Xk
3) Wyznacz przyrost Dx tak aby otrzymać np. 50 lub 100
punktów wykresu
4) Wygeneruj ciąg wartości zmiennej niezależnej (x) jako
zmienną zakresową
5) Wstaw wykres X-Y z palety symboli i wpisz przy
osiach (w środkowych znacznikach) nazwę zmiennej
oraz funkcji.
6) Powiększ wykres (ciągnąc za uchwyt) i sformatuj (po
podwójnym kliknięciu)
8
4
Mathcad - wykład 2
•
•
•
•
Funkcje standardowe i funkcje użytkownika
Indeksy, wektory, macierze, operacje macierzowe
Wykresy funkcji dwu zmiennych: z(x,y)
Numeryczne rozwiązywanie równań:
a) wielomianowych (pierwiastki wielomianu)
b) układów równań liniowych (macierzowo)
c) układów równań nieliniowych (graficznie i Given ... Find)
• Pochodne i całki
• Animacje
• Symboliczne rozwiązywanie równań
9
FUNKCJE
1) Wywoływanie funkcji
standardowych.
2) Definiowanie i wywoływanie
funkcji użytkownika
10
5
Funkcje
Pamiętaj, że:
funkcja zawsze po nazwie ma nawias
a w nim argumenty
- po tym Mathcad odróżnia funkcje od zmiennych
Mathcad daje do dyspozycji bardzo wiele gotowych
funkcji „wbudowanych” (build in function).
Oprócz tego użytkownik może definiować dowolne
funkcje własne przy pomocy definicji funkcji
11
Wstawianie funkcji z wykazu:
Opis
funkcji
12
6
Definiowanie nowych funkcji:
Użytkownik może więc definiować nowe funkcje według
schematu:
nazwa_funkcji(parametry) := wyrażenie_z_parametrami
Przykład:
13
Wektory, macierze
i zmienna ORIGIN
Zmienna systemowa ORIGIN decyduje o tym
czy numerowanie elementów tablic ma
rozpoczynać się od ZERA czy od JEDEN
Aby uniknąć problemów - zawsze zaczynaj
zadania z wektorami czy macierzami od
zdefiniowania wartości zmiennej ORIGIN
np.:
ORIGIN ≡ 1
14
7
Paleta operacji macierzowych
15
Sposoby definiowania wektora
a) jako zm. indeksowana zadana wzorem
b) jako zm. indeksowana o wpisanym ciągu dowolnych wartości
c) jako macierz kolumnowa
d) jako wybrana kolumna macierzy
e) przez wczytanie danych z pliku
16
8
Definiowanie elementów macierzy w
zależności od indeksów.
Funkcje macierzowe
17
Wykres 3D - powierzchniowy
18
9
Rozwiązywanie równania wielomianowego
(znajdowanie miejsc zerowych wielomianu)
Dla znalezienia rozwiązań równania W(x)=0
(gdzie W(x) jest wielomianem N-tego stopnia) wystarczy
wykonać w Mathcadzie 2 kroki
1) zdefiniować wektor zawierający N+1 współczynników
wielomianu - w kolejności od wyrazu wolnego aż do
współczynnika przy najwyższej potędze x.
2) użyć funkcji polyroots wstawiając powyższy wektor jako jej
argument
Wynikiem (wartością) funkcji polyroots będzie wektor szukanych
pierwiastków, w tym także zespolonych.
19
Przykład
20
10
Macierzowe rozwiązywanie
układu równań liniowych (4 kroki):
1) Uporządkuj równania
2) Zdefiniuj macierz współczynników przy niewiadomych
3) Zdefiniuj wektor wyrazów wolnych
4) Wyznacz i wyświetl rozwiązanie jako:
21
Rozwiązywanie układu
równań metodą GIVEN ... FIND
Aby w Mathcadzie rozwiązać dowolny układ równań i
nierówności (także nieliniowych) wystarczy wykonać
4 kroki:
1. Nadać wartości startowe wszystkim niewiadomym .
2. Wpisać słowo kluczowe: given
3. Wpisać układ równań i nierówności stosując
specjalny "wytłuszczony" znak =
4. Zastosować funcję FIND do znalezienia
rozwiązań
22
11
Przykład metody GIVEN ... FIND
- znaleźć analitycznie współrzędne punktu P1
23
Jedno z wielu rozwiązań
Metoda Given ... Find znajduje tylko jedno z
wielu rozwiązań (jeśli jest ich wiele).
Aby decydować - które chcemy rozwiązanie
należy przede wszystkim odpowiednio
ustalać wartości startowe niewiadomych
a znacznie mniejszy wpływ mają nierówności
24
12
Pochodne i całki
Dla wyznaczania wartości pochodnych i całek,
mamy operatory na palecie Calculus:
Można też otrzymać wzory pochodnych i całek
ze wzorów funkcji przy pomocy
Przekształceń Symbolicznych:
Differentiate oraz Integrate
25
Tworzenie animacji
Zmiany parametrów funkcji można
przedstawiać w postaci animacji czyli
ruchomych wykresów.
Animacja to film złożony z poszczególnych
ramek - ang.: FRAMES
W celu utworzenia animacji trzeba uzależnić
jeden z argumentów funkcji od zmiennej
FRAME czyli numeru ramki .
26
13
Przykłady ANIMACJI za strony:
http://www.kkiem.agh.edu.pl/dydakt/mcad/anim.htm
27
Symboliczne rozwiązywanie
równań
- czyli
rozwiązania w postaci wzorów
28
14
Użycie menu Symbolics
kursor ustawić przy zmiennej:
29
Symboliczne rozwiązywanie równań - sposób drugi
Aby rozwiązać pojedyncze równanie np. x2-4=21 można:
1) zapisać równanie z użyciem logicznego =
lub [Ctrl] [=]
2) ustawić kursor w równaniu i z paska Symbolic
kliknąć solve i nacisnąć ENTER
2
 −5 
x − 4 21 solve →  
5
Gdy jest więcej zmiennych to trzeba po solve dać przecinek  
i wpisać nazwę zmiennej:
2


 b − b − 4⋅ a⋅ c
2
− 2

a
2
a⋅ z + b ⋅ z + c solve , z → 
2
 b
b − 4⋅ a⋅ c
+
 2
2
−
a









30
15
Symboliczne rozwiązanie układu
równań
Aby otrzymać nie wyniki liczbowe ale rozwiązanie
układu w postaci wzorów trzeba w nowym
dokumencie nie wpisywać danych tylko:
1) zacząć od razu od słowa Given,
2) wpisać układ równań (i ewentualnie
nierówności)
3) wpisać funkcję Find z niewiadomymi jako
argumentami a zamiast = wstawić symbol →
31
Przykład
Początkowe wartości x, y można pominąć
32
16