Raport 1: Rozkład gamma Ex. 1 Opis generatorów: a) Wytłumacz i

Raport 1: Rozkład gamma
Ex. 1 Opis generatorów:
a) Wytłumacz i opisz trzy metody generowania zmiennej losowej o rozkładzie Γ(α, β) : metodę akceptacji odrzucania, metodę odwracania
dystrybuanty (w jakich przypadkach ona działa?) oraz metodę polarową w przypadku gdy rozkład gamma jest rozkładem chi-kwadrat.
b) Wytłumacz w szczegółach jaki jest rozkład liczby iteracji pętli w metodzie przyjmowania odrzucani. Jaka jest średnia liczba iteracji pętli? Kiedy jest ona mała i kiedy generator jest szybszy? Jak rozkład
liczby iteracji pętli zależy od początkowego rozkładu zastosowanego w metodzie przyjmowania odrzucania? Jaki początkowy rozkład
w metodzie przyjmowania podrzucania wydaje się być najlepszy i
dlaczego?
c) Wytłumacz w szczegółach jaki jest rozkład liczby iteracji pętli w
metodzie odwracania dystrybuanty. Jaka jest średnia liczba iteracji
pętli? Porównaj to z liczbą iteracji pętli w metodzie przyjmowania
odrzucania. Która metoda ma niższą liczbę iteracji pętli albo w których przypadkach?
Jakie są wady i zalety każdej z metod? Podsumuj swoje wnioski z tego
zadania.
Ex. 2 Dokładność generatorów:
a) Dla wygenerowanej próby z rozkładu Γ(α, β) (stosując wszystkie 3
metody z zad. 1) długości N, opisz w szczegółach i narysuj na jednym
wykresie:
i) empiryczną i teoretyczną dystrybuantę,
ii) histogram (jak go tworzysz? jaka reguła podziału odcinków?) z
teoretyczną gęstością,
iii) empiryczną i teoretyczną funkcję charakterystyczną,
iv) empiryczną i teoretyczną funkcję tworzącą momenty.
Skomentuj rysunki i napisz wnioski z nich wynikające.
b) Powtórz punkt a) dla coraz większej długości próby, np. N = 100 :
100 : 10000 i ustalonej liczby prób losowych dla każdego N . Zaproponuj i opisz 3 różne metryki, które mierzą odległość pomiędzy empirycznymi i teoretycznymi wielkościami z punktu a): i)-iv). Wylicz
je dla wygenerowanych prób losowych. Narysuj 4 rysunki odpowiadające i)-iv) pokazujące rozkład wylicznoych metryk (np. boxploty)
dla coraz większych długości prób losowych N = 100 : 100 : 10000.
Skomentuj swoje rysunki i napisz wnioski z nich wynikające.
c) Jakie są teoretyczne: średnia, wariancja, kurtoza i skośność dla rozkładu Γ(α, β)? Opisz w szczegółach odpowiadające im wielkości empiryczne: średnią próbkową, wariację próbkową, kurtozę próbkową,
skośność próbkową. Dla coraz większej próby, np. N = 100 : 100 :
10000 wygeneruj (stosując metody z zad. 1) ustaloną liczbę prób
losowych dla każdego N . Narysuj 4 rysunki odpowiadające wspomnianym wielkością (średnia,. . . ) pokazujące rozkład odpowiadającym empirycznym wielkością (średnia próbkowa,. . . ; np. boxploty)
dla zwiększającego N = 100 : 100 : 10000 z liniami odpowiadającymi wielkością teoretycznym (średnia,. . . ). Porównaj na rysunkach
zbieżność empirycznych wielkości do ich teoretycznych odpowiedników dla każdej metody. Skomentuj swoje rysunki i napisz wnioski z
nich wynikające.
d) Zaproponuj i opisz w szczegółach własny symulacyjny eksperyment
pokazujący i porównujący dokładność 3 generatorów z zad. 1. Przedstaw odpowiednie rysunki, wytłumacz je i napisz wnioski.
Która metoda generowania wydaje się być najdokładniejsza? Podsumuj
wnioski tego zadania.
Ex. 3 Szybkość generatorów:
a) Dla coraz większej próby, np. N = 100 : 100 : 10000 wygeneruj (stosując metody z zad. 1) ustaloną liczbę prób losowych dla każdego
N . Narysuj rysunki pokazujące rozkład zmierzonego czasy działania
generatora dla coraz dłuższych prób losowych N = 100 : 100 : 10000.
Porównaj na rysunkach zmierzony czas działania wszystkich generatorów. Powtórz to samo dla zupełnie innych parametrów rozkładu α
i β. Skomentuj swoje rysunki i napisz wnioski z nich wynikające.
b) Zaproponuj i opisz w szczegółach własny symulacyjny eksperyment
pokazujący i porównujący wydajność pracy 3 generatorów z zad. 1.
Przedstaw odpowiednie rysunki, wytłumacz je i napisz wnioski.
Który generator wydaje się być najszybszy i najbardziej wydajny? Podsumuj wnioski tego zadania.
Posumuj najważniejsze wnioski swojego raportu, wytłumacz i zarekomenduj jeden z badanych generatorów.