Zadania finałowe - kategoria klas III

ZESTAW 1
Zadanie 1. Czy można narysować tego stworka (bez oczu
i buzi), nie odrywając ołówka od kartki i przejeżdżając po
każdej linii dokładnie raz?
Zadanie 2. Znajdź wszystkie pary liczb pierwszych p i q spełniających równanie 5p + 20 = 17q.
ZESTAW 2
Zadanie 1. Na płaszczyźnie jest pewna liczba rozłącznych kół o promieniach tej samej długości. Pokazać,
że jeśli do każdych czterech kół można poprowadzić okrąg styczny zewnętrznie, to można poprowadzić
okrąg styczny zewnętrznie do wszystkich tych kół.
Zadanie 2. W pewnej klasie jest 20 osób. Każdy ma jakieś zwierzę i nikt nie ma więcej niż jednego
zwierzęcia tego samego rodzaju. 15 osób ma psa, 10 kota, a 7 rybkę akwariową. Nikt nie ma wszystkich
trzech zwierząt. Okazało się, że liczba osób, które mają psa i kota jest taka sama jak liczba osób, które
mają kota i rybkę, a także jak liczba osób, które mają rybkę i psa. Jaka to liczba?
ZESTAW 3
Zadanie 1. Każdy punkt płaszczyzny kolorujemy na czerwono albo na zielono. Czy można to zrobić
tak, żeby w każdym kwadracie dokładnie 2 wierzchołki były zielone?
Zadanie 2. Liczby p, q > 2 są pierwsze. Jaka jest najmniejsza możliwa liczba dzielników liczby p + q?
ZESTAW 4
Zadanie 1. Borsuk Karol ma klasyczne puzzle składające się ze 160 elementów. Ile musi wyciągnąć
puzzli z pudełka, aby mieć pewność, że któreś dwa z wyciągniętych elementów będą do siebie pasować?
Zadanie 2. Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Wiedząc, że |AO| = |BC|,
oblicz miarę kąta ^BAC.
ZESTAW 5
Zadanie 1. Łasica Emilka uwielbia słodycze, a najbardziej pierniki i draże. W pobliżu są tylko trzy
sklepy. W pierwszym z nich za 7 trąbek można kupić 12 pierników i 13 draży. W drugim z nich za 5
trąbek można kupić 8 pierników i 8 draży. W trzecim za 3 trąbki można kupić 6 pierników i 7 draży. Czy
Emilka jest w stanie za 115 trąbek kupić 230 pierników i 241 draży?
Zadanie 2. Liczbę naturalną n nazwiemy borsuczą, jeśli spełnia następujące dwa warunki:
(i) 5n ma taką samą cyfrę jedności jak n,
(ii) n + 7 jest liczbą pierwszą.
Ile jest dwucyfrowych liczb borsuczych?
ZESTAW 6
Zadanie 1. Brzeg rzeki jest linią prostą. Rozbito dwa namioty po tej samej stronie
rzeki. Odległości namiotów od rzeki wynoszą 12m oraz 72m. Odległość między namiotami wynosi 87m. Borsuk chce przejść z jednego namiotu do drugiego, przy czym
po drodze chce umyć garnek w rzece. Chce iść po najkrótszej możliwej drodze. Ile
metrów przejdzie?
N′
N
Zadanie 2. Do pustej windy na parterze wsiadło 8 zwierzaków – 3 borsuki i 5 łasic. Na pierwszym
piętrze nikt nie wysiadł, na drugim piętrze wysiadły dwie łasice, na trzecim znów nikt nie wysiadł, na
czwartym wysiadły dwa borsuki i łasica, na piątym wyszła reszta. Na żadnym piętrze nikt nie wsiadał.
Na ile sposobów zwierzaki mogły wysiadać z windy?
ZESTAW 7
Zadanie 1. Borsuk Karol wracając do swojej norki zgubił się i na skrzyżowaniu spotkał sto łasic stojących w rzędzie. Pierwsza z nich zapytana, w którą stronę do norki borsuków, odpowiedziała, że w lewo.
Karol zapytał też pozostałe 99 łasic, czy łasica stojąca przed nią kłamie. 82 razy usłyszał „nie” i 17
razy usłyszał „tak”. Wiedząc, że pierwsza łasica okłamała Karola w sprawie drogi do domu, czy można
wywnioskować, że ostatnia łasica mówi prawdę?
Zadanie 2. Trzy borsuki mają cukierki. Wiadomo, że łączna liczba cukierków każdych dwóch borsuków
jest większa niż 10. Wykaż, że wszystkie borsuki łącznie mają więcej niż 15 cukierków.