Zadania finałowe - kategoria klas I i II

Zadanie 1. Borsuki rozwiązywały cztery zadania. Okazało się, że dla dowolnych dwóch borsuków można
wskazać zarówno takie zadanie, które rozwiązał pierwszy borsuk, ale którego nie rozwiązał drugi, jak
i takie, które rozwiązał drugi borsuk, ale którego nie rozwiązał pierwszy. Jaka jest największa liczba
borsuków, dla której taka sytuacja jest możliwa?
Zadanie 2. Borsuk ma prostokątną czekoladę podzieloną na kostki 1 × 1. Jeśli przełamie ją na 4 równe
części wzdłuż krótszego boku, to otrzyma 4 tabliczki, których wymiary są proporcjonalne do wymiarów
całej czekolady. Po zjedzeniu 4 kostek, zauważył że ubyło 18 czekolady. Jakie wymiary ma czekolada?
Zadanie 3. Liczby p i q są pierwsze, ponadto pq+4 = m2 (gdzie m jest liczbą naturalną) oraz p+q = 210.
Wyznacz m.
Zadanie 4. Samochód borsuka Karola ma 4 koła. Na każdej z opon można przejechać 20000 km – po
przejechaniu tego dystansu opona jest starta i nie nadaje się do dalszej jazdy. Karol ma w bagażniku
oponę zapasową, na której może przejechać 10000 km. Jaki największy dystans może pokonać Karol
zmieniając opony?
3
Zadanie 5. W sytuacji przedstawionej na rysunku, oblicz wysokość
zaznaczonego trapezu.
4
3
10
Zadanie 6. Znajdź wszystkie pary liczb pierwszych p i q, które spełniają równanie p =
8q + 16
.
q+5
Zadanie 7. Borsuk Grześ ma 10 ciężarków o masach: 1 trąbka, 2 trąbki, 3 trąbki, ..., 10 trąbek. W
ramach świątecznych porządków postanowił wyrzucić niektóre z nich. Chciałby jednak móc odważać na
swojej wadze szalkowej dowolne całkowite ciężary o masie od 1 trąbki do 10 trąbek. Ilu co najwyżej
ciężarków może się pozbyć?
Zadanie 8. Rozważmy kartkę papieru w kształcie trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnej długości 20cm. Składamy latawiec, tj. tak zaginamy dwa ’skrzydła’ kartki, żeby każda z przyprostokątnych pokrywała się z dwusieczną kąta prostego w wyjściowym trójkącie. Jaka jest powierzchnia
takiego latawca?
Zadanie 9. Jaka jest reszta z dzielenia liczby (20132013 + 1412)7 przez 7?
Zadanie 10. Ile jest różnych kolorowań kwadratu 3 × 3 dwoma kolorami? Dwa kolorowania uznajemy
za takie same, jeśli jedno powstaje przez obrót drugiego.