metody statystyczne w diagnostyce drganiowej

…w każdej nauce jest tyle prawdy,
ile w niej statystyki i matematyki…
3. METODY STATYSTYCZNE W DIAGNOSTYCE MASZYN
3.1. WPROWADZENIE
Obecny rozwój nauki wymaga od inżynierów stosowania nowoczesnych aplikacji
komputerowych z dziedziny statystyki matematycznej, dzięki którym możliwe staje się
dokonanie złożonych obliczeń oraz przeprowadzenie analizy otrzymanych wyników w bardzo
krótkim czasie. Oprogramowania do badań statystycznych są dostępne w pakietach:
STATISTICA, STATGRAF, EXCEL, MATLAB, PRO-INŻYNIER i wielu innych.
Do podstawowych aplikacji inżynierskich stosowanych w analizie wyników jest program
MATLAB opracowany przez firmę MathWorks, Inc. MATLAB, jest programem do obliczeń
komputerowych, łącząc w sobie obliczenia, wizualizację oraz łatwe do zastosowania
środowisko programowania, w którym problemy i ich rozwiązania przedstawione są w
przyjaznym dla inżyniera środowisku matematycznym. Program zawiera w sobie następujące
aplikacje [9,20,21,27]:
 algorytmy matematyczne i ich obliczanie,
 aplikację kreowania własnych algorytmów obliczeniowych,
 algorytmy modelowania i symulacji,
 analiza danych oraz aplikację do ich wizualizacji,
 aplikacje grafiki inżynierskiej,
 aplikację kreowania własnych programów, tworzenie interfejsu i analizy danych.
W zależności od zastosowania do programu dołączane są specjalistyczne pakiety
procedur obliczeniowych z dowolnych dziedzin wiedzy zwane toolboxami, np: Simulink,
Signal Processing Toolbox i inne. Pakiety takie umożliwiają uzyskanie podstawowej wiedzy z
danego zakresu oraz zastosowanie tej wiedzy w celu rozwiązania problemów [9,20,21,27].
Wszelkie badane zjawiska masowe charakteryzują się pewnymi prawidłowościami,
których badanie jest trudne i nie wszystkie zostały wykryte i zbadane. Oceny statystyczne do
tego wykorzystywane charakteryzują ilościową stronę badanych zjawisk w nierozerwalnym
związku z ich stroną jakościową. Należy pamiętać, że w naturze nie ma liczb, którymi
posługuje się statystyka, a są tylko rzeczy i procesy.
Metody statystyczne wykorzystujące opis liczbowy umożliwiają dokonywanie
niezbędnych uogólnień dużej ilości szczegółowych informacji. Dokonując za pomocą metod
statystycznych niezbędnych uogólnień w opisie statystycznym, wprowadza się porządek w
pozornym chaosie przypadkowych zdarzeń. To umożliwia wykrywanie prawidłowości w
postaci relacji przyczynowo – skutkowych występujących w badanych zjawiskach [122].
Masowość danych wymaga stosowania komputerowego wspomagania prac
badawczych w zakresie metod i środków modelowania, pozyskiwania, przetwarzania,
wnioskowania, wizualizacji, rozpowszechniania i przechowywania informacji [121].
Dla potrzeb opracowania wyników badań tej pracy poniżej przedstawiono
zaadoptowane programy opracowania statystycznego, funkcjonujące w środowiskach:
MATLAB, EXCEL, STATISTICA.
W oparciu o środowisko MATLAB opracowano dla potrzeb badań diagnostycznych
specjalizowane programy do przetwarzania i analizy danych doświadczalnych, pozwalające
na dokonanie estymacji wyników oraz przeprowadzenie szczegółowej analizy danych,
których algorytmy oraz zasada działania przedstawione zostaną w tym rozdziale.
3.2. METODA OPTIMUM
Metoda OPTIMUM została zrealizowana w środowisku MATLAB i jest stosowana w
celu selekcji zawartości informacji w badanych oddzielnie symptomach, które otrzymano w
trakcie badań diagnostycznych obiektów technicznych.
Problem metody dotyczy zatem uszeregowania mierzonych symptomów (ranking) pod
względem zawartości informacji o stanie badanego obiektu, co przedstawiono na rys. 3.1.
Mierzone symptomy to wektory różnie skierowane w 3D, obrazujące różny stan elementów
maszyny. Rozpoznając stan maszyny, gdzie rozwijające się uszkodzenia modelowo mogą być
odwzorowane rzutowaniem mierzonych symptomów wektorów na oś układu współrzędnych:
x, y, z otrzymujemy różny udział wektorów w rozpoznaniu uszkodzenia. Różne uszkodzenia
dają rzutowania wektorów o różnych wartościach na różne osie.
Zadaniem metody jest ocena indywidualna według przyjętych kryteriów pozyskanych
symptomów i stworzenie listy rankingowej ich przydatności informacyjnej do rozróżniana
stanu badanego obiektu.
z
y
x
Rys.3.1.Wkład różnych miar (wektory różnie skierowane) w ocenę rozwoju uszkodzenia
Taka interpretacja daje możliwość otrzymania rankingu przydatności diagnostycznej
symptomów opisujących dany obiekt pod względem wrażliwości informacji, otrzymany dla
badanych symptomów indywidualnie.
W metodzie OPTIMUM dokonujemy zatem indywidualnej statystycznej oceny
poszczególnych symptomów według przyjętych kryteriów, wyznaczamy ich odległość od
punktu kryterialnego (punktu idealnego - 1,1) i spośród nich wybieramy najlepsze do opisu
badanego stanu. Korzystając z tej metody można zatem, scharakteryzować w oparciu o
odległość od punktu idealnego, wrażliwość poszczególnych miar (symptomów) na zmiany
stanu technicznego.
Załóżmy, że jest dany zbiór „n” danych S = { S1, S2, …, Sj, …, Sn-1, Sn}, dla którego Sj 
Rn przestrzeni wielowymiarowej i posiada „m” stanów w danej chwili „t,Θ”, życia systemu.
Dla tak przyjętych założeń w metodzie OPTIMUM, pozyskane wyniki badań podlegają
ocenie statystycznej za pomocą różnych kryteriów, do których można zaliczyć:
- zmienność symptomów;
- współczynnika korelacji między symptomem a stanem obiektu (km przebiegu, cechy
stanu obiektu);
- współczynnika wrażliwości mierzonych symptomów;
- współczynnika korelacji wektorów MAC (Modal Assurance Criterion).
Zmienność symptomów oceniana jest statystycznie współczynnikiem zmienności f1j
przedstawiony w postaci:
f1 j 
j
Sj
gdzie: σj – odchylenie standardowe, Sj – wartość średnia.
(3.1)
Wartości współczynnika korelacji (skorelowanie ze stanem, przebiegiem) ocenia
zależność :
1
1 n
r
 ( x  x )( yi  y )
 x  y n  1 i 1 i
(3.2)
gdzie: xi, yi – wartości prób losowych zmiennych x i y.
Wrażliwość symptomów Wxy definiowana jest jako:
Wxy 
S j max  S j min
(3.3)
Sj
Współczynnik MAC w badaniach diagnostycznych stosuje się do porównywania zbiorów
postaci drgań, jak też do badania występujących zależności pomiędzy nimi oraz do badania
zgodności i podobieństwa modeli analitycznych i doświadczalnych. Wartość współczynnika
MAC zawiera się w przedziale od wartości 0 – wskazującej na brak korelacji, do wartości 1 –
wskazującej na korelację pomiędzy wektorami, a jego wartość zdefiniowana została jako:
MACr / s  


*T
r
*T
r
s


2
r s*T s
(3.4)

gdzie: warianty Ψ stanowią odpowiednio macierze diagnostyczne.
Dla czytelności postępowania i prostoty prezentacji graficznej w dalszych założeniach
metody wykorzystuje się dwa dowolnie przyjęte kryteria, bo to można prosto zinterpretować i
przedstawić graficznie.
Dokonując maksymalizacji przyjętych kryteriów i dalej normalizacji do wartości
maksymalnej otrzymuje się charakterystyki statystyczne ich wrażliwości ( f1 , f 2 ) wykonane
według zależności 3.5, co dalej pozwala wyznaczyć współrzędne punktu idealnego.
fi*j 
fi j
(3.5)
max( fi j )
Wyznaczanie odległości poszczególnych miar od punktu idealnego jest możliwe przy
założeniu (x = f1 , y = f 2 ) a wartość punktu idealnego uzyskamy dla współrzędnych (x = 1, y
= 1), to odległość danej miary od punktu idealnego określimy zależnością Euklidesa:

L j  (1  f1 j ) 2  (1  f 2 j ) 2
(3.6)
Wyznaczenie współczynnika wrażliwości (wagi) wj dla poszczególnych symptomów
określamy zależnością:
wj 
1/ L j
 1/ L 
n
j1
gdzie:
w
i
1
(3.7)
j
Na rysunku 3.2. przedstawiono algorytm postępowania w metodzie OPTIMUM w trakcie
analizy danych. Przedstawiony algorytm można zrealizować w programie EXCEL, a także w
programie MATLAB. Dla tak przedstawionego toku postępowania uzyskuje się diagramy, na
których można wyznaczyć (odczytać) położenie poszczególnych symptomów względem
punktu idealnego.
S(Θ

Współczynnik
zmienności
Współczynnik korelacji
rxy
Wrażliwość symptomów
Wxy
,
nie
tak
nie
tak
MAC
Wybór L
L1 < L2<…< Ln
Koniec
Rys. 3.2. Algorytm postępowania w metodzie OPTIMUM
Na rysunku 3.3 przedstawiono przykładowy graficzny wynik zastosowania metody
OPTIMUM, w której wykorzystano optymalizację dwukryterialną, gdzie jako f1 występuje
współczynnik zmienności, a jako f2 zastosowano współczynnik korelacji. Analogicznie na
rysunkach 3.4 oraz 3.5 przedstawione zostały diagramy optymalizacji dwukryterialnej, w
których stałe jest f1, a jako f2 zastosowano odpowiednio wrażliwość symptomów Wxy oraz
współczynnik MAC.
Jak można zauważyć na przedstawionych rysunkach na podstawie przykładowych badań
doświadczalnych, system automatycznie uszeregował symptomy od najbliżej do najdalej
oddalonego od punktu idealnego. Analizując otrzymane diagramy do dalszej analizy wyników
wybieramy te symptomy, które dzięki metodzie OPTIMUM uznane zostały za najbardziej
wrażliwe i niosące najwięcej informacji o danym stanie obiektu, a położone są najbliżej
punktu idealnego.
Optimum diagram
f1* : Variation coefficient ( /Average)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
4
0.9
1
0.8
0.7
0.6
7
3
2
0.5
8
0.4
9
0.3
6
f2* : Correlation coeficient
5
1 - H(f)L
2-c1
3-c2
4-w2
5-w1
6 - H(f)
7 - ARMS(t)
8 - rząd 2
9 - g2xy
10 - rząd 1
11 - C
12 - I
13 - Kurtoza
10
0.2
11
12
0.1
13
0
Rys.3.3. Metoda OPTIMUM z zastosowaniem optymalizacji dwukryterialnej
f1* - wrażliwość symptomu, f2* - współczynnik korelacji
Optimum diagram
f1* : Variation coefficient ( /Average)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
1
0.9
0.7
0.6
0.5
2
3
4
6
9
870
1
11
13
12
5
0.4
0.3
f2* : Sensibility of simthom
0.8
1 - H(f)L
2-c1
3-c2
4 - H(f)
5 - rząd 1
6 - rząd 2
7 - ARMS(t)
8-I
9 - g2xy
10 - C
11 - Kurtoza
12 - w 2
13 - w 1
0.2
0.1
0
Rys.3.4. Metoda OPTIMUM z zastosowaniem optymalizacji dwukryterialnej
f1* - wrażliwość symptomu, f2* - wrażliwość symptomu Wxy
Optimum diagram
f1* : Variation coefficient ( /Average)
0
0.2
6
12
1311
98
10
7 5
0.4
0.6
0.8
1
1
3
0.9
0.8
1
0.7
0.5
2
f2* : MAC
0.6
4
0.4
1 - H(f)L
2-c1
3 - H(f)
4-c2
5 - rząd 1
6 - ARMS(t)
7 - rząd 2
8-I
9-C
10 - g2xy
11 - Kurtoza
12 - w 2
13 - w 1
0.3
0.2
0.1
0
Rys.3.5. Metoda OPTIMUM z zastosowaniem optymalizacji dwukryterialnej
f1* - wrażliwość symptomu, f2* współczynnik MAC
W metodzie OPTIMUM nie uzyskano informacji o udziale poszczególnych symptomów
w uszkodzeniu głównym. Niezbędnym zatem do dalszej analizy wyników jest zastosowanie
wielowymiarowej metody SVD uzupełniającej metodę OPTIMUM.
3.3. METODA SVD
Wielowymiarowy opis i możliwości pomiarowe bardzo dużej liczby symptomów stanu
obiektu są podstawą metody SVD (Singular Value Decomposition), w której do końcowej
oceny stanu wykorzystujemy wszystkie dostępne i pomierzone w czasie Θ parametry.
Dla opisu życia systemu mamy więc bezwymiarową macierz obserwacji Opr o r kolumnach wynikających z liczby obserwowanych symptomów i p wierszach wynikających z
łącznej liczby kolejnych obserwacji. Do wyznaczenia bezwymiarowej macierzy obserwacji
stosuje się procedurę rozkładu względem wartości szczególnych SVD według zależności 3.8,
przedstawionej poniżej [3]:
(3.8)
O pr  U pp   pr VrrT
gdzie: Upp – to p wymiarowa ortogonalna macierz lewostronnych wektorów szczególnych, V rr – r wymiarowa
ortogonalna macierz prawostronnych wektorów szczególnych oraz Σpr diagonalna macierz wartości
szczególnych - o następujących własnościach:
Σpr = diag ( σ1, …, σl ), przy: σ1 > σ2 >…> σu >0
oraz:
u+1 =… σl =0, l = max (p, r), u = min (p, r).
(3.9)
Oznacza to, że z pośród r mierzonych symptomów możemy uzyskać tylko u  r
niezależnych informacji o rozwijających się zmianach, które jak zakładamy, można
utożsamiać z narastającymi uszkodzeniami w systemie Ft. Taki rozkład SVD macierzy
obserwacji można prowadzić po wykonaniu każdej obserwacji i w ten sposób śledzić
ewolucję uszkodzeń Ft (n) w obiekcie.
Z dotychczasowych badań tej metody wynika, że jedno uszkodzenie Ft może opisywać
para nowych wielkości; SDt oraz t. SDt to uogólniony symptom uszkodzenia „t”, który
można nazwać dyskryminantą tego uszkodzenia i otrzymany jako iloczyn prawostronny
macierzy obserwacji i wektora vt :
SDt = Opr * vt = σt  ut
(3.10)
Ponieważ wektory vt i ut unormowane są do jedności, to długość wektora SDt równa jest
jego normie energetycznej i wyrażona jest zależnością:
Norm(SD t )  SD t   t
(3.11)
Oznacza to, iż dla zadanego czasu życia  zaawansowanie zużyciowe uszkodzenia Ft
może być odzwierciedlone przez wartość szczególną t(), natomiast chwilowa jego ewolucja
przez dyskryminantę SDt (). Postuluje się zatem równoważność nowych miar uzyskanych z
SVD do charakterystyk przestrzeni uszkodzeń, w całym czasie życia  obiektu:
SD t () ~ Ft (), z normą energetyczną;
Ft () ~ SD t ()  t ()
(3.12)
Można uznać, że SDt() jest profilem uszkodzenia, natomiast t() jego
zaawansowaniem. Na rys.3.6 przedstawiono graficzną interpretację wielkości uzyskanych z
rozkładu SVD symptomowej macierzy obserwacji dla i – tego uogólnionego uszkodzenia.
Rys.3.6. Postulowana interpretacja nowych wielkości uzyskanych z rozkładu SVD
symptomowej macierzy obserwacji dla i – tego uogólnionego uszkodzenia [3]
Podobne rozumowanie można zastosować do ewolucji wielkości sumarycznych; a więc
do sumy wszystkich dyskryminant SDt i sumy wszystkich wartości szczególnych t, co może
obrazować całościowe zaawansowanie zużycia w obiekcie i jego przebieg, a opisany według
zależności jak niżej:
SD () 
z
z
 SD      u   P()
i
i
i 1
DS() 
i
i 1
z
z
   ~  F
i
i 1
i
 F
(3.13)
i 1
Czas życia jest tu wartościowany dyskretnie, z odczytami monitorowania dla kolejnych
(możliwie) równoodległych n.
Rozkład wektora obserwacji wg wartości szczególnych na wektor prawostronny,
lewostronny i diagonalię – daje możliwość badania dynamiki zmian składowych wektora
obserwacji.
 SVD dla uporządkowanych danych – szereg czasowy obserwacji,
 SVD dla danych nieuporządkowanych – dane partii badanych obiektów w różnych
stanach technicznych, w określonym czasie badania (dla populacji),
 SVD w selekcji sygnałów i wrażliwości symptomów.
W metodzie SVD maksimum informacji diagnostycznej z symptomowej macierzy
obserwacji Opr można uzyskać, jeśli wszystkie odczyty wstępnie wycentrujemy (należy odjąć)
i znormalizujemy (należy podzielić) względem wartości początkowej Sm (0) = S0m danego
symptomu. Otrzymuje się w ten sposób bezwymiarową symptomową macierz obserwacji
[1,3]:
S nm 
Opr = [Snm],
S nm
 1,
S 0m
(3.14)
gdzie: pogrubienie oznaczenia symbolizuje pierwotne wymiarowe wartości symptomów.
Algorytm postępowania w metodzie SVD przedstawiono na rysunku 3.7. poniżej.
S()
Centrowanie i normalizacja
do wartości początkowych wektora
symptomów
Norm(SD t)
Rozkład na wartości szczególne
Upp – macierz lewostronnych
wektorów szczególnych
Vrr – macierz prawostronnych
wektorów szczególnych
Σpr diagonalna macierz wartości szczególnych
Symptom uszkodzenia
SDt = Opr * vt = σt  ut
Rozwój uszkodzenia
tak
Szeregowanie Opr
względem wartości
wektora symptomów
Opr = [Snm]
nie
Koniec
Rys.3.7. Algorytm postępowania w metodzie SVD [3]
W wyniku zastosowania tej metody jako wynik końcowy uzyskano na rysunku 3.8
macierz rozkładu symptomów, a na rysunku 3.9 - udział poszczególnych symptomów w
opisie badanego stanu. Na rysunku 3.8a przedstawiono graficzną interpretację macierzy
wartości symptomów. Poszczególne wartości symptomów nie są ze sobą skorelowane ze
względu na wartości i miana danych symptomów, co utrudnia dalszą ich interpretację. Na
rysunku 3.8b przedstawiono macierz wartości symptomów po normalizacji i centrowaniu. Po
dokonaniu tych przekształceń uzyskano uszeregowanie poszczególnych symptomów
względem wartości początkowej, co pozwala na analizę korelacji sygnałów bez względu na
miano danego symptomu.
Matrix of symptoms
Amplitude
100
a)
50
Simptoms
0
1
2
3
2
3
4
5
6
7
State
Matrix of transformate symthoms
relative to the inicial value
4
5
8
9
10
8
9
10
Realtive
amplitude
4
b)
2
0
-2
-4
1
6
7
State
Rys.3.8. Przykładowa macierz symptomów uzyskanych metodą SVD
a)
- graficzna interpretacja macierzy wartości symptomów, b) - macierz wartości symptomów po
normalizacji i centrowaniu [3]
Na rysunku 3.9a przedstawiono graficzną interpretację procentowego udziału
symptomów w tworzeniu SD1. Dzięki metodzie SVD na kolejnym rysunku 3.9b uzyskano
analizę korelacji poszczególnych symptomów względem uszkodzenia głównego, a
nadzorowanie zmiany stanu wyznaczone z SD1 i udział poszczególnych symptomów w
uszkodzeniu głównym przedstawia rysunek 3.9c.
First fault generalized
c)
Contribution of generalize faults
0
40
-0.05
20
-0.1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
State
Corelation (SG1,Symptoms)
%
a)
%(Singular values)
60
-0.15
1
Realtive
corelation
b)
-0.2
0.5
0
-0.25
-0.5
-1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213
Symthoms
2
4
6
State
8
10
Rys. 3.9. Udział poszczególnych symptomów w opisie stanu obiektu [3]
W metodzie SVD dokonując analizy wszystkich dostępnych danych jako wynik uzyskano
uszeregowanie symptomów wraz z procentowym opisem udziału poszczególnego symptomu
w opisie stanu danego obiektu. Metoda SVD jest zatem uzupełnieniem metody OPTIMUM, w
której to uzyskano uszeregowanie symptomów pod względem ich wrażliwości i istotności, a
dzięki SVD stwierdzono procentowy udział wybranych symptomów w tworzeniu SD1, co
następnie pozwoliło w nadzorowaniu zmiany stanów wyznaczonych na podstawie SD1 i na
precyzyjną analizę stanu badanego obiektu [3].
3.4. MODELOWANIE PRZYCZYNOWO – SKUTKOWE
W badaniach empirycznych do analizy otrzymanych wyników i ustalenia relacji „co - od
czego - jak zależy” stosuje się metody statystyczne. Podstawową metodą stosowaną w
statystyce jest metoda regresji, pozwalająca na badanie powiązań między różnymi badanymi
zjawiskami. Rozważania teoretyczne dotyczące metody regresji w tej pracy sprowadzono do
analizy regresji liniowej z jedną zmienną niezależną jako wprowadzenie do przedstawienia
modelu regresji z wieloma zmiennymi niezależnymi [7].
Funkcja regresji Y względem zmiennej X przybiera postać :
Yi = 0 + 1xi + i
i=1,........n
(3.15)
Funkcja regresji X względem zmiennej Y przybiera postać :
Xi = 0 + 1yi + i
i=1,........n
(3.16)
gdzie: n – liczba obserwacji (liczebność próby), 0, 1, 0, 1 – parametry równań regresji, i, i – składniki
losowe równań.
W celu oszacowania wartości parametrów: 0, 1, 0, 1 korzysta się z metody
najmniejszych kwadratów. Metoda najmniejszych kwadratów umożliwia uzyskanie na
podstawie n - elementowej próby takiej wartości estymatorów: a0, a1, b0, b1, dla których
wyrażenia 3.18 oraz 3.19 osiągają wartości minimalne:
2
n

 y i  y i 

i 1
 yi  a 0  a1xi 
i
(3.17)
i 1
2
n
 x
2
n

 xi  
i 1
2
n
 x
i
 b0  b1yi 
(3.18)
i 1
Oszacowane równania regresji zapisuje się w postaci:

x i  b 0  b1 y i

y i  a 0  a1x i
(3.19)
We wzorze 3.19 estymatory a1 oraz b1 nazywane współczynnikami regresji, zaś
estymatory a0 i b0 to stałe regresji, które opisano zależnościami 3.20 oraz 3.21.
n

x i  x  yi  y 

i 1
a
1
n

x i  x 2


i 1



a o  y  a1 x





n

x i  x  yi  y 

i 1
b
n
 1
yi  y 2


i 1



b o  x  b1 y







1 n
x i yi  x y
n i1
n
1
2
xi  x 2
n i1


1
n
n
x y
1
n
i
i
i 1
n
y
i 1
2
i
(3.20)
 xy
 y2
(3.21)
Po wyznaczeniu wartości a1 i b1 można obliczyć współczynnik korelacji liniowej rxy
według zależności:
rxy  a1b1
(3.22)
Rezultat funkcji regresji opisanej na podstawie danych empirycznych zawsze należy
porównać z rzeczywistą wartością zmiennej zależnej (opisywanej). Podstawą tych porównań
jest tzw. składnik resztowy – reszta . Dla regresji Y względem X resztę zdefiniowano zgodnie
z zależnością [7]:

u i  yi  yi
i  1,....,n
(3.23)
W sposób analogiczny wyznaczono resztę dla regresji X względem Y:

i  x i  x i
i  1,...,n
(3.24)
Funkcja regresji jest poprawnie oszacowana, jeżeli wartości reszt są niewielkie i mają
charakter losowy. Wariancje resztkowe wyznaczono z zależności:
S2  
S2 u  
1
n2
1
n2
2
n

 x i  x i 
(3.25)
i 1
n
2

 y  y 
i
i
i 1
Wartość błędu wyznaczono jako odchylenie standardowe:
Su   S2 u 
(3.26)
S  S2 
Odchylenie standardowe reszt zwane jest również średnim błędem szacunku. Wraz ze
wzrostem odchylenia standardowego reszt maleje „dobroć” oszacowania funkcji regresji. W
analizie regresji do oceny dopasowania funkcji regresji miarą najczęściej stosowaną jest
współczynnik zbieżności 2, opisany zależnością 3.27, który przyjmuje wartości (0,1), przy
czym im mniejszą wartość przyjmuje współczynnik zbieżności, tym lepsze jest dopasowanie
funkcji regresji do punktów empirycznych [7].
n
2yx 


( yi  yi ) 2
i 1
n
 (y  y )
n
oraz 2xy 
2
i
i 1
 (x
i

 x i )2
(3.27)
i 1
n
 (x  x )
2
i
i 1
Współczynnikiem determinacji R2 nazywa się wyrażenie:
R2 = 1 - 2
W przypadku zależności liniowej
współczynnikowi korelacji liniowej, a zatem:
2
2
R 2  ryx
 rxy
 1  2
(3.28)
współczynnik
determinacji
równy
jest
(3.29)
Tak więc im wartość R2 jest bliższa jedności, tym mniejszy jest średni błąd szacunku, co
powoduje lepsze dopasowanie funkcji regresji do danych empirycznych.
Przedstawione powyżej rozważania dotyczące regresji liniowej z jedną zmienną
niezależną mają charakter uniwersalny w tym sensie, że odpowiednie wzory zapisane za
pomocą symboli oznaczających macierze i wektory są słuszne dla większej liczby zmiennych
niezależnych występujących w modelu, a więc mówimy w takim przypadku o regresji
wielokrotnej. W miarę wzrostu liczby zmiennych niezależnych wzrastają odpowiednie
wymiary macierzy i wektorów, a wiec zwiększa się pracochłonność obliczeń kryjących się za
tym zapisem jako problem numeryczny rozwiązywany w praktyce przy pomocy programów
komputerowych.
Model regresji liniowej z wieloma zmiennymi niezależnymi można zapisać poprzez
analogię do równania 3.15 w następujący sposób [7]:
(3.30)
Yi   0  1x i1   2 x i 2  ...   k x ik  i i  1.....n
gdzie: n – liczba obserwacji, 0, 1, … k – parametry równań regresji, i, – składnik losowe równań.
Procedura estymacji parametrów modelu regresji wielokrotnej metodą najmniejszych
kwadratów przyjmuje taką samą postać jak dla rozważań modelu o jednej zmiennej
niezależnej.
Budowa modelu regresyjnego na podstawie danych pomiarowych, określenie dobroci
tego modelu do wyników eksperymentu (współczynnik determinacji) dają ilościowy pogląd
na zależności badanych zjawisk. W każdym badaniu model (różnego typu) wnioskowania jest
konieczny i potrzebny, pozwala ustalić końcowy algorytm postępowania dla opracowywanej
procedury badawczej, wymaga jednak wsparcia technikami informatycznymi.
3.5. SYSTEM INFORMATYCZNY BADAŃ IDENTYFIKACYJNYCH
Prowadzone coraz częściej badania identyfikacyjne stanu dynamicznego maszyn,
wykorzystywane są do oceny zmian tego stanu, rozwoju uszkodzenia oraz lokalizacji
przyczyn zaistniałego stanu stanowią podstawę do budowy specjalizowanego systemu
oprogramowania. Umożliwia on akwizycję i przetwarzanie wstępne danych pomiarowych,
tworzenie wielu różnych miar rejestrowanych sygnałów, badania ich wrażliwości
diagnostycznej, opracowanie statystyczne oraz wnioskowanie diagnostyczne. Program taki
dalej nazwany jako: System Informatyczny Badań Identyfikacyjnych – SIBI, powstał w
wyniku realizacji szeregu badań wibroakustycznych systemów przemysłowych.
Struktura programu jest konstrukcją modułową, co stanowi o uniwersalności jego
zastosowania i możliwościach ciągłej modernizacji jego struktury. Moduły programu
odpowiadają kolejnym etapom realizacji procedury badawczej (diagnostycznej) obiektów
technicznych. W programie wyróżniono następujące moduły:
Moduł A – odpowiada za akwizycję i eksport danych pomiarowych.
Moduł B – odpowiada za przetwarzanie danych co umożliwia zdefiniowanie i wyznaczenie
miar oraz utworzenie macierzy obserwacji z miar procesów drganiowych.
Moduł C – umożliwia badanie współzależności sygnałów.
Moduł D – realizuje procedurę badania wrażliwości symptomów wykorzystując metodę
OPTIMUM do indywidualnej oceny wrażliwości symptomów procesów drganiowych.
Moduł E – wykorzystuje metodę SVD (Singular Value Decomposition) do
wielowymiarowego opisu stanu badanego obiektu, rozpoznając uszkodzenie i udział w
jego identyfikacji poszczególnych symptomów.
Moduł F - odpowiada za modelowanie przyczynowo - skutkowe metodą regresji.
Modułu A i B stanowią część programu odpowiedzialną za przetwarzanie sygnałów
drganiowych w celu pozyskania macierzy obserwacji estymatorów drganiowych.
Moduły C, D, E, F, są modułami stanowiącymi drugą część oprogramowania, która
umożliwia przeprowadzenie analizy sygnałów drganiowych, identyfikacje stanów
technicznych obiektów oraz ocenę ilościową i jakościową wielkości opisujących dany stan, a
także umożliwia wizualizację otrzymanych wyników. Na rysunku 3.10 przedstawiono główne
okno dialogowe programu SIBI.
A
B
C
D
E
F
Rys. 3.10. Główne okno dialogowe programu SIBI
Wyniki pomiarów uzyskane przy użyciu specjalistycznej aparatury często zapisywane są
w formacie plików z rozszerzeniem UNV, które w celu dalszej analizy należy
przetransformować, gdyż zarówno format jak i sposób zapisywania wyników nie pozwala na
uzyskanie wiarygodnych danych wejściowych do systemu analizy danych.
Do transformacji wyników pomiarowych posłuży pierwszy moduł
programu „Akwizycja i eksport danych pomiarowych”. W module tym istnieje możliwość transformacji
formatu zapisu danych pomiarowych znajdujących się w plikach z rozszerzeniem .UNV do
dowolnego innego formatu, w tym do plików zgodnych z rozszerzeniem „.xls” programu
Microsoft Excel. Transformacja ta ma na celu zunifikowanie formatu danych obsługiwanych
przez program SIBI.
Na rysunku 3.11 przedstawiono okno dialogowe modułu „Akwizycji i eksportu danych
pomiarowych”. Na rysunku 3.12 przedstawiono przykładowy zapisu danych pomiarowych w
formacie UNV. W module tym dodatkowo istnieje możliwość prezentacji graficznej
transformacji danych pomiarowych, co pokazano na rysunku 3.13.
Rys. 3.11. Okno dialogowe modułu
Rys. 3.12. Przykładowy zapis danych pomiarowych w formacie UNV
Rys. 3.13. Wizualizacja danych pomiarowych w module
Kolejnym etapem działań związanym z przetwarzaniem danych pomiarowych w
programie SIBI jest uzyskanie miar sygnału drganiowego. W tym celu musimy przejść do
następnego modułu programu – „Przetwarzanie danych – Symptomy”. Moduł ten odpowiada
za przetwarzanie sygnałów drganiowych w celu uzyskania wartości miar i estymatorów
sygnału drganiowego. Główne okno dialogowe modułu Symptomy przedstawiono na rysunku
3.14.
Rys. 3.14. Okno dialogowe modułu – „Symptomy”
W module tym istnieje możliwość wyboru danych pomiarowych poddawanych dalszej
analizie, formatu plików pomiarowych oraz istnieje możliwość wyboru wygenerowania miar
własnych i wzajemnych sygnału drganiowego, które wykorzystywane będą w odpowiedniej
procedurze diagnostycznej. Na rysunkach 3.15 oraz 3.16 przedstawiono okna dialogowe
modułu „Symptomy” służące do generowania miar własnych i wzajemnych sygnału
drganiowego.
Rys. 3.15. Okno wyboru miar własnych sygnałów
Rys. 3.16. Okno wyboru miar wzajemnych sygnałów
Rezultatem końcowym przetwarzania danych pomiarowych w module „Symptomy” jest
wygenerowanie macierzy wartości wybranych miar własnych zgodnie z rysunkiem 3.17, oraz
wybranych miar wzajemnych na rysunku 3.18.
Rys.3.17. Macierz miar własnych sygnałów wygenerowana w module „Symptomy”
Rys. 3.18. Macierzy miar wzajemnych sygnałów wygenerowana w module „Symptomy”
W celu uzyskania powyższych rezultatów w pliku o formacie „.xls” należy dokonać opcji
wyeksportowania danych poprzez funkcję „Export do” poprzez podanie w nazwy i miejsca
zapisu danych.
Następnym etapem działań w programie SIBI jest badanie współzależności badanych
wielkości poprzez wykorzystanie do tego celu analizy jakościowej i ilościowej podobieństw
badanych miar sygnałów drganiowych. Są to zadania skomplikowane, zabierające wiele
czasu, zatem implementacja tych procedur w systemie informatycznym znacznie ułatwia
postępowanie. Do tego celu zaimplementowano w programie SIBI osobny moduł – „Badania
współzależności sygnałów – Miary złożone”. Główne okno dialogowe modułu przedstawiono
na rysunku 3.19.
Rys. 3.19. Okno dialogowe modułu – „Miary złożone”
Moduł „Miary złożone” składa się z dwóch części. Pierwsza część dotyczy zdefiniowania
danych wejściowych do analizy. Druga część modułu dotyczy procedury wyznaczania
współzależności sygnałów drganiowych. Współzależność ta jest określana przez funkcję FRF,
transmitancję, korelację wzajemną oraz funkcję koherencji. Moduł ten ma również funkcję
wizualizacji rezultatów badania współzależności sygnałów.
W oknie „Wizualizacja” dokonujemy transformacji przebiegów czasowych wybranych
procesów drganiowych na przebiegi w funkcji częstotliwości, z wykorzystaniem funkcji FFT.
Wywołanie pola FFT dla procesu wejściowego i wyjściowego umożliwia uzyskanie spektrum
tych procesów z opcją wprowadzenia zakresu analizowanych częstotliwości, jak na rys.3.20.
Rys. 3.20. Wprowadzanie zakresu FFT dla wejściowego i wyjściowego sygnału
W tym module istnieje także możliwość graficznego przedstawienia funkcji koherencji
oraz funkcji korelacji procesów drganiowych, których przykładowe przebiegi przedstawiono
na rysunku 3.21. Umożliwia to dalej wprowadzenie oznaczeń zakresu istotnych częstotliwości
analizowanych danych, co pozwala na obliczenie wartości pól pod krzywymi dając liczbowe
wartości tych miar funkcyjnych. Jest to bardzo istotne dla dalszego przetwarzania
numerycznego.
Rys. 3.21. Wprowadzanie zakresu analizy dla funkcji koherencji oraz korelacji sygnałów
Dalszym etapem postępowania w programie SIBI jest zastosowanie metody OPTIMUM
do analizy danych pomiarowych, co jest możliwe w kolejnym module – „Badania
wrażliwości symptomów – OPTIMUM”. Dzięki zastosowaniu tej metody możliwe jest
uszeregowanie symptomów opisujących dany obiekt pod względem wrażliwości informacji
poszczególnych symptomów. Szczegóły algorytmu metody OPTIMUM omówione wcześniej,
a główne okno modułu przedstawiono na rysunku 3.22.
Rys. 3.22. Okno dialogowe modułu – „Optimum”
W celu przeprowadzenia analizy stanu w ujęciu wielowymiarowym w programie SIBI
zaimplementowano metodę SVD, której algorytm postępowania szczegółowo przedstawiono
w module – „Analiza wielowymiarowa – SVD”. Analiza wielowymiarowa w tym module
pozwala na rozpoznanie ilości rozwijających się uszkodzeń oraz na wyróżnienie najlepszych
miar opisujących stan obiektu. Metoda ta nie wskazuje na rodzaj uszkodzenia informując
jedynie o stopniu zaawansowania uszkodzenia i umożliwia ocenę udziału jakościowego i
ilościowego każdej miary w zmianie badanego stanu obiektu. Zasadniczym celem
zastosowania SVD jest wykorzystanie wszystkich mierzonych symptomów do oceny stanu
obiektu. Główne okno dialogowe modułu przedstawiono na rysunku 3.23.
Rys. 3.23. Okno dialogowe modułu – „Analiza wielowymiarowa SVD”
Metoda SVD jest zatem uzupełnieniem metody OPTIMUM, w której to uzyskano
uszeregowanie symptomów pod względem ich wrażliwości i istotności, a dzięki SVD
stwierdzono procentowy udział wybranych symptomów w tworzeniu SD1. Pozwala to na
nadzorowanie zmiany stanów wyznaczonych na podstawie SD1 i precyzyjną analizę stanu
badanego obiektu.
Moduł ten ma również funkcję wizualizacji rezultatów badania metodą SVD, które
przedstawiono w rozdziale 3.3 na rysunkach 3.8 oraz 3.9. Istnieje również możliwość
wizualizacji trójwymiarowej trzech najistotniejszych wielkości i ich udziału procentowego w
opisie stanu technicznego danego obiektu po użyciu funkcji Principal Components, co
przedstawiono na rysunku 3.24.
Rys. 3.24. Wizualizacja trójwymiarowa wyników modułu SVD
Program SIBI potwierdza możliwość szybkiej identyfikacji uszkodzeń, szczególnie do
celów analizy procesów drganiowych. Wykorzystanie właściwości oprogramowania znacząco
wpływa na jakość informacji możliwej do pozyskania i przetwarzania podczas badania
obiektów w aspekcie ich funkcjonowania.
Zastosowanie nowoczesnych metod badania stanu dynamicznego maszyny, potwierdzają
konieczność stosowania dynamicznie rozwijających się technik informatycznych, wspartych
algorytmami do badań stanu, zagrożeń bezpieczeństwa i środowiska eksploatowanych
maszyn.
PODSUMOWANIE
W rozdziale trzecim przedstawiono i omówiono komputerowe narzędzia pozyskiwania,
przetwarzania i opracowania wyników, jakie zostały stworzone w Zakładzie Pojazdów i
Diagnostyki UTP, a następnie zastosowane do analizy danych doświadczalnych.
Omówiono i przedstawiono tu podstawy teoretyczne metod z obszaru przetwarzania
danych pomiarowych w ujęciu jednowymiarowym (metoda OPTIMUM), w ujęciu
wielowymiarowym (metoda SVD), a także wskazano na konieczne w badaniach
poszukiwania relacji przyczynowo – skutkowych (modelowanie regresyjne).
Na uwagę zasługuje fakt, iż wszystkie te narzędzia zostały połączone w jedną całość i
stanowią kompleksowy zestaw programów do analizy danych pomiarowych, to stanowią
oczekiwane przez praktyków w przemyśle skuteczne narzędzia badawcze. System ten
pracując w środowisku MATLAB, jest przyjaźnie skonfigurowany, prosty i zrozumiały,
dostępny i niezawodny, przez co jego stosowanie znacznie wpływa na poprawność
wnioskowania, szybkość przetwarzania i trafność otrzymanych wyników.