Dr inż. Michał Chłędowski PODSTAWY AUTOMATYKI I ROBOTYKI
Transkrypt
Dr inż. Michał Chłędowski PODSTAWY AUTOMATYKI I ROBOTYKI
Dr inż. Michał Chłędowski PODSTAWY AUTOMATYKI I ROBOTYKI Materiały dydaktyczne dotyczące zagadnień przewidzianych na II kolokwium zaliczeniowe Zakres tematyczny: Stabilność układów automatycznej regulacji, kryterium Hurwitza, dobór optymalnych nastaw regulatora, metodyka Nicholsa-Zieglera, uchyb ustalony Treść zadania: Należy dla UAR, którego schemat blokowy, transmitancja przejścia oraz ich dane liczbowe przedstawione są na rysunku, określić kkr, kopt oraz wartość εust.. Uwaga! Funkcje i dane liczbowe są przykładowe. Na kolokwium na pewno będą inne. Tok postępowania: 1. Określić krytyczną wartość współczynnika wzmocnienia regulatora kkr . Do tego celu wykorzystamy kryterium Hurwitza. Dla jego zastosowania konieczna jest znajomość równania charakterystycznego albowiem jego współczynniki decydują o stabilności lub niestabilności układu. Równaniem charakterystycznym nazywamy mianownik „ładnej” transmitancji zastępczej przyrównany do zera. Tak więc wykonamy w kolejności następujące czynności: - wyliczymy transmitancję zastępczą, - przekształcimy transmitancję zastępczą do postaci stosunku dwóch wielomianów (zlikwidujemy ułamki piętrowe), - mianownik transmitancji zastępczej przyrównamy do zera i otrzymamy równanie charakterystyczne, - sprawdzimy, czy współczynniki równania charakterystycznego istnieją i są tego samego znaku (pierwszy warunek Hurwitza), - napiszemy wyznacznik główny Hurwitza, - sprawdzimy, czy podwyznaczniki wyznacznika głównego niezawierające kr są większe od zera (warunek konieczny), - przyrównamy do zera podwyznacznik zawierający kr i z otrzymanej równości wyliczymy kr = kkr . 2. Określimy optymalny współczynnik wzmocnienia kopt według metodyki Nicholsa-Zieglera. Ponieważ w rozważanym przypadku mamy do czynienia z regulatorem typu P (proporcjonalnym) to zgodnie z regułami metodyki Nicholsa-Zieglera kopt = 0,5kkr . 3. Wyznaczenie wartości liczbowej uchybu ustalonego εust.. Mając liczbową wartość kopt możemy wyliczyć wartość uchybu ustalonego εust. korzystając z transmitancji uchybowej i ze wzoru na uchyb ustalony. Przyjmiemy sygnał wymuszający 1 w postaci skoku jednostkowego czyli w zad (s)= . s Transmitancja uchybowa ze względu na sygnał zadany w(s) ma postać: Gε w (s )= ε (s) 1 = w (s) 1+G R ( s) Go (s )GUP (s) Natomiast wartość uchybu ustalonego w tym przypadku liczymy ze wzoru: ε 0w=lim ε w ( t)=lim s ε w ( s)=lim s t →∞ s→0 s→0 1 w ( s) 1+G R (s) Go (s )G UP (s) zad Przykład rozwiązania Uwaga! Przykładowe rozwiązanie wykorzystuje transmitancje ze schematu blokowego Krok I – określenie transmitancji zastępczej Korzystając ze wzorów na transmitancję zastępczą połączenia szeregowego członów oraz połączenia ze sprzężeniem zwrotnym (szczegóły patrz Wykład Nr5, w szczególności rozdział 5.3) napiszemy wzór na transmitancję zastępczą układu przedstawionego na schemacie: 10k r 2 10k r (s+1) (10s+1)( 400s +30s+1) G zas = = 10k r (10s+1)(400s 2+30s+1)(s+1)+10k r 1+ (10s+1)( 400s 2+30s+1)( s+1) Krok II – określenie równania charakterystycznego Równaniem charakterystycznym nazywamy mianownik transmitancji zastępczej przyrównany do zera. Ważnym jest, aby transmitancja zastępcza była „ładna” to znaczy, aby była wyrażona w postaci stosunku dwóch wielomianów. Nie mogą w transmitancji zastępczej występować ułamki piętrowe. Tak więc w omawianym przykładzie równanie charakterystyczne przyjmie postać: 2 4 3 2 (10s+1)( 400s +30s+1)( s+1)+10k r=4000s +4700s +740s +41s+1+10k r =0 . Warto sobie równocześnie napisać ogólną postać równania charakterystycznego 4-go stopnia 4 3 2 a 4 s +a 3 s +a 2 s +a1 s+a 0=0 i podpisać jedno nad drugim, czyli 4000s 4+4700s 3+740s 2+41s+1+10k r=0 4 3 2 a 4 s + a 3 s + a 2 s +a 1 s+ a 0 =0 Taki zapis ułatwi za chwilę badanie podwyznaczników. Krok III – główny wyznacznik Hurwitza dla układu 4-go stopnia Zastosowanie kryterium Hurwitza do wyznaczenia krytycznej wartości współczynnika wzmocnienia regulatora kr wymaga badania podwyznaczników wyznacznika głównego Hurwitza (szczegóły: wykład 8, pkt. 8.4). Dlatego teraz napiszemy ogólną postać tego wyznacznika dla układu 4-go stopnia a następnie sam wyznacznik. Wyznacznik główny dla układu 4-go stopnia ma postać: ∣ ∣ a3 a4 0 0 a a 2 a3 a 4 Γ= 1 0 a 0 a1 a 2 0 0 0 a0 . Wyznacznik główny w omawianym przykładzie zapiszemy następująco: 4700 4000 0 0 41 740 4700 4000 Γ= 0 (1+10k r ) 41 740 0 0 0 (1+10k r ) ∣ ∣ Krok IV -sprawdzamy pierwszy warunek Hurwitza Pierwszy warunek Hurwitza brzmi: wszystkie współczynniki równania charakterystycznego muszą istnieć i być tego samego znaku (szczegóły: wykład 7, pkt. 7.3). Sprawdzamy: współczynniki a4 , a3 , a2 , a1 istnieją i są dodatnie. Po to aby a0 również istniało i były dodatnie, kr musi być: −1 1+10k r >0 → k r > → k r >−0,1 • 10 Widzimy więc, że jeśli kr będzie dodatnie to pierwszy warunek będzie spełniony. Krok V – sprawdzamy drugi warunek Hurwitza Drugi warunek Hurwitza powiada: wszystkie podwyznaczniki Δi. > 0, gdzie i = 2,3,...,n-1. W przypadku, kiedy n = 4 należy sprawdzić dwa podwyznaczniki: Δ2 oraz Δ3 . Sprawdzamy Δ2 : a a4 Δ 2= 3 =a 2 a 3−a1 a 4=740⋅4700−41⋅4000=3478000−164000=3314000>0 a1 a2 ∣ ∣ Sprawdzamy Δ3 : a3 a4 0 Δ 3= a 1 a 2 a 3 =a1 a 2 a 3−a 0 a 23−a12 a 4=41⋅740⋅4700−(1+10k r )⋅47002 −412⋅4000 0 a0 a1 ∣ ∣ Δ 3=142598000−22090000−220900000k r −6724000=113784000−220900000k r >0 k r< 113784000 <0,515 22090000 Krok VI – określenie krytycznej wartości współczynnika wzmocnienia regulatora, kr Z przeprowadzonych rozważań i wyliczeń wynika, że graniczna wartość współczynnika wzmocnienia regulatora kr przy której układ będzie na granicy stabilności to kr = 0,515. Tę wartość wzmocnienia nazywamy krytyczną (szczegóły: wykład 8, pkt. 8.4). Tak więc w rozważanym przykładzie kkr =0,515 . Krok VII – określenie optymalnej wartości współczynnika wzmocnienia regulatora, kopt Jednym ze znanych sposobów doboru optymalnych nastaw regulatora jest metodyka Nicholsa-Zieglera (szczegóły: wykład 10, pkt. 10.3). Dla przypadku, kiedy stosujemy regulator proporcjonalny P ( a tak mamy w tym przypadku albowiem pytamy tylko o jeden parametr regulatora i to parametr charakteryzujący regulator P) sprawa jest bardzo prosta. Zgodnie z zaleceniami Nicholsa-Zieglera dla UAR z regulatorem P kopt = 0,5kkr . Tak więc w omawianym przykładzie kopt = 0,257. Krok VIII– określenie wartości uchybu ustalonego, εust Uchyb ustalony wyliczymy ze wzoru na uchyb ustalony przyjmując kr = kopt (szczegóły: wykład 9, pkt. 9.1 oraz przykład 9.1). Wstawimy do wzoru na uchyb ustalony transmitancje z rozważanego przykładu a za sygnał wejściowy wzad przyjmiemy wymuszenie jednostkowe. Otrzymamy 1 1 1 ε 0w=lim s w zad ( s)=lim s ⋅ 1+G R ( s) G o( s)G UP (s) k opt⋅10 s s→0 s→0 1+ 2 (10s+1)(400s +30s+1)(s+1) 1 1 ε 0w= = =0,28 1+10k opt 1+10⋅0,257 Taka wartość uchybu ustalonego oznacza, że w stanie ustalonym na wyjściu obiektu w rozpatrywanym przykładowym UAR sygnał ustali się na poziomie: yust =1-0,28 = 0,72.