Zad.Nr2_Materiały metodyczne - zad.nr2.materialy_metodyczne

Dr inż. Michał Chłędowski
Materiały metodyczne do zadania Nr2
(Badanie stabilności i dobór nastaw regulatora, uchyb
ustalony)
Cel zadania
Celem zadania jest zapoznanie się z kryteriami stabilności UAR, dokładnością statyczną
(uchybem ustalonym) i z metodyką Nicholsa-Zieglera doboru nastaw regulatorów.
Treść zadania
Dla układu automatycznej regulacji struktura którego podana jest na rys. 1 oraz danych
liczbowe które każdy Zespół (2 osoby, te same które realizowały Zadanie Nr1)otrzymuje
indywidualnie należy:
Rys. 1. Struktura badanego w ćwiczeniu UAR
1. Obliczyć kkr
2. Wyznaczyć kopt dla regulatora P w oparciu o metodykę Nicholsa-Zieglera
3. Obliczenie εust dla optymalnych nastaw regulatora P
Podstawy teoretyczne
W ramach zadania rozpatrywany będzie UAR o strukturze przedstawionej na rys. 1 . Dla
naświetlenia toku postępowania przy rozwiązywaniu tego zadania przedstawione zostaną kolejne
1
kroki postępowania dla przykładowego układu przedstawionego na rys. 2
Rys. 2. Przykładowy UAR
Tok postępowania:
1.
Określić krytyczną wartość współczynnika wzmocnienia regulatora kkr . Do tego celu
wykorzystamy kryterium Hurwitza. Dla jego zastosowania konieczna jest znajomość równania
charakterystycznego albowiem jego współczynniki decydują o stabilności lub niestabilności
układu. Równaniem charakterystycznym nazywamy mianownik „ładnej” transmitancji zastępczej
przyrównany do zera. Tak więc wykonamy w kolejności następujące czynności:
•
wyliczymy transmitancję zastępczą,
•
przekształcimy transmitancję zastępczą do postaci stosunku dwóch wielomianów
(zlikwidujemy ułamki piętrowe),
•
mianownik transmitancji zastępczej przyrównamy do zera i otrzymamy równanie
charakterystyczne,
•
sprawdzimy, czy współczynniki równania charakterystycznego istnieją i są tego samego
znaku (pierwszy warunek Hurwitza),
•
napiszemy wyznacznik główny Hurwitza,
•
sprawdzimy, czy podwyznaczniki wyznacznika głównego niezawierające kr są większe od
zera (warunek konieczny),
•
przyrównamy do zera podwyznacznik zawierający kr i z otrzymanej równości wyliczymy
k = kkr.
2.
Określimy optymalny współczynnik wzmocnienia kopt według metodyki Nicholsa-Zieglera.
Ponieważ w rozważanym przypadku mamy do czynienia z regulatorem typu P (proporcjonalnym) to
zgodnie z regułami metodyki Nicholsa-Zieglera kopt = 0,5kkr .
3.
Wyznaczenie wartości liczbowej uchybu ustalonego ε ust..
Mając liczbową wartość kopt możemy wyliczyć wartość uchybu ustalonego ε ust. korzystając z
transmitancji uchybowej i ze wzoru na uchyb ustalony. Przyjmiemy sygnał wymuszający w
postaci skoku jednostkowego czyli w ( s )= 1 .
z ad
s
Transmitancja uchybowa ze względu na sygnał zadany w(s) ma postać:
G ε w ( s )=
ε( s)
1
=
w( s ) 1+G R ( s )G o ( s ) GU P ( s )
Natomiast wartość uchybu ustalonego w tym przypadku liczymy ze wzoru:
2
ε 0 w =l i m ε w ( t )=l i m s ε w ( s )=l i m s
t→∞
s→0
s→0
1
w ( s)
1+G R ( s )G o ( s ) G U P ( s ) z a d
Przykład rozwiązania zadania dla regulatora P
Krok I – określenie transmitancji zastępczej
Korzystając ze wzorów na transmitancję zastępczą połączenia szeregowego członów oraz
połączenia ze sprzężeniem zwrotnym (szczegóły patrz Wykład Nr5, w szczególności rozdział 5.3)
napiszemy wzór na transmitancję zastępczą układu przedstawionego na schemacie:
10 k r
10 k r ( s +1)
(10 s +1)( 400 s2 +30 s +1)
G z a s=
=
10 k r
(10 s +1)( 400 s 2 +30 s +1)( s+ 1)+10 k r
1+
(10 s+1 )( 400 s 2+ 30 s +1)( s +1)
Krok II – określenie równania charakterystycznego
Równaniem charakterystycznym nazywamy mianownik transmitancji zastępczej przyrównany
do zera. Ważnym jest, aby transmitancja zastępcza była „ładna” to znaczy, aby była wyrażona w
postaci stosunku dwóch wielomianów. Nie mogą w transmitancji zastępczej występować ułamki
piętrowe. Tak więc w omawianym przykładzie równanie charakterystyczne przyjmie postać:
( 10 s +1)( 400 s 2+ 30 s +1)( s +1)+10 k r =4000 s 4 + 4700 s3 +740 s 2 +41 s+1+10 k r=0 .
Warto sobie równocześnie napisać ogólną postać równania charakterystycznego 4-go stopnia
a 4 s 4+a 3 s 3+a 2 s 2 +a 1 s +a 0=0
i podpisać jedno nad drugim, czyli
4
3
2
4000 s + 4700 s +740 s + 41 s+1+10 k r=0
a 4 s 4+a 3 s 3+a 2 s 2 +a 1 s +a 0=0
Taki zapis ułatwi za chwilę badanie podwyznaczników.
Krok III – główny wyznacznik Hurwitza dla układu 4-go stopnia
Zastosowanie kryterium Hurwitza do wyznaczenia krytycznej wartości współczynnika
wzmocnienia regulatora kr wymaga badania podwyznaczników wyznacznika głównego Hurwitza
(szczegóły: wykład 8, pkt. 8.4). Dlatego teraz napiszemy ogólną postać tego wyznacznika dla
układu 4-go stopnia a następnie sam wyznacznik.
Wyznacznik główny dla układu 4-go stopnia ma postać:
(
)
a3 a4 0 0
a a a3 a4 .
Γ= 1 2
0 a0 a 1 a 2
0 0 0 a0
Wyznacznik główny w omawianym przykładzie zapiszemy następująco:
(
)
4700
4000
0
0
41
740
4700
4000
Γ=
0
(1+10 k r ) 41
740
0
0
0
(1+10 k r )
Krok IV -sprawdzamy pierwszy warunek Hurwitza
Pierwszy warunek Hurwitza brzmi: wszystkie współczynniki równania
charakterystycznego muszą istnieć i być tego samego znaku .
Sprawdzamy: współczynniki a4 , a3 , a2 , a1 istnieją i są dodatnie. Po to aby a0 również
istniało i były dodatnie, kr musi być:
• 1+10 k r > 0→ k r > −1 → k r >−0,1
10
3
Widzimy więc, że jeśli kr będzie dodatnie to pierwszy warunek będzie spełniony.
Krok V – sprawdzamy drugi warunek Hurwitza
Drugi warunek Hurwitza powiada: wszystkie podwyznaczniki Δ i. > 0, gdzie i = 2,3,...,n1.
W przypadku, kiedy n = 4 należy sprawdzić dwa podwyznaczniki: Δ2 oraz Δ3 .
Sprawdzamy Δ2 :
( )
a3 a4
=a 2 a 3−a 1 a 4=740⋅4700−41⋅4000=3478000−164000=3314000> 0
a1 a2
Δ 2=
Sprawdzamy Δ3 :
a3 a4 0
Δ 3= a 1 a2 a 3 =a 1 a 2 a3 −a 0 a32−a 21 a 4=41⋅740⋅4700−( 1+10 k r )⋅47002−412⋅4000
0 a0 a 1
(
)
Δ 3=142598000− 22090000−220900000 k r−6724000=113784000−220900000 k r >0
k r<
113784000
<0,515
22090000
Krok VI – określenie krytycznej wartości współczynnika wzmocnienia regulatora,
kr
Z przeprowadzonych rozważań i wyliczeń wynika, że graniczna wartość współczynnika
wzmocnienia regulatora kr przy której układ będzie na granicy stabilności to kr = 0,515. Tę
wartość wzmocnienia nazywamy krytyczną.
Tak więc w rozważanym przykładzie kkr =0,515 .
Krok VII – określenie optymalnej wartości współczynnika wzmocnienia regulatora,
kopt
Jednym ze znanych sposobów doboru optymalnych nastaw regulatora jest metodyka
Nicholsa-Zieglera (szczegóły: wykład 10, pkt. 10.3). Dla przypadku, kiedy stosujemy regulator
proporcjonalny P ( a tak mamy w tym przypadku albowiem pytamy tylko o jeden parametr
regulatora i to parametr charakteryzujący regulator P) sprawa jest bardzo prosta. Zgodnie z
zaleceniami Nicholsa-Zieglera dla UAR z regulatorem P kopt = 0,5kkr .
Tak więc w
omawianym przykładzie kopt = 0,257.
Krok VIII– określenie wartości uchybu ustalonego, εust
Uchyb ustalony wyliczymy ze wzoru na uchyb ustalony przyjmując kr = kopt (szczegóły:
wykład 9, pkt. 9.1 oraz przykład 9.1).
Wstawimy do wzoru na uchyb ustalony transmitancje z rozważanego przykładu a za
sygnał wejściowy wzad przyjmiemy wymuszenie jednostkowe.
Otrzymamy
1
ε 0 w =l i m s
w ( s )=l i m s
1+G R ( s )G o ( s )G U P ( s ) z a d
s→0
s →0
1
1
ε 0 w=
=
=0,28
1+10 k o p t 1+ 10⋅0,257
4
1+
1
k o p t⋅10
2
(10 s +1)( 400 s + 30 s +1)( s +1)
s
⋅1
Taka wartość uchybu ustalonego oznacza, że w stanie ustalonym na wyjściu obiektu w
rozpatrywanym przykładowym UAR sygnał ustali się na poziomie: yust =1-0,28 = 0,72.
5