orientacja płaszczyzny krytycznej przy wyznaczaniu trwałości

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
41, s. 421-428, Gliwice 2011
ISSN 1896-771X
ORIENTACJA PŁASZCZYZNY KRYTYCZNEJ
PRZY WYZNACZANIU TRWAŁOŚCI ZMĘCZENIOWEJ
W FUNKCJI GRANIC ZMĘCZENIA
KAROLINA WALAT, TADEUSZ ŁAGODA
Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Opolska
e-mail: [email protected], [email protected]
Streszczenie. W pracy przedstawiono zależności zmian orientacji płaszczyzny
krytycznej od stosunku granic zmęczenia dla analizowanych obciążeń. Trwałości
zmęczeniowe wybranych modeli wyznaczono według kryterium wieloosiowego
zmęczenia przy wyznaczeniu orientacji płaszczyzny krytycznej według propozycji
Carpinteri i Spagnoli. Analizie poddano wyniki badań eksperymentalnych
przeprowadzonych dla materiałów o własnościach pośrednich pomiędzy
sprężysto-kruchymi i sprężysto-plastycznymi, do których zalicza się głównie
stopy aluminium.
1. WSTĘP
Istnieje wiele kryteriów wieloosiowego zmęczenia, podzielonych między innymi ze
względu na parametr decydujący o zniszczeniu materiału. Spośród wszystkich kryteriów
naprężeniowych, odkształceniowych i energetycznych, inaczej nazywanych naprężeniowoodkształceniowymi, można wyodrębnić kryteria powstałe na podstawie koncepcji
płaszczyzny krytycznej. Niektóre z nich jak na przykład naprężeniowe kryterium
wieloosiowego zmęczenia zaproponowane przez Machę [6] i później rozwijane w zapisie
odkształceniowym i energetycznym są dobrze znane i analizowane od wielu lat. Znane są
postacie tego kryterium dla materiałów sprężysto-kruchych i sprężysto-plastycznych. Ostatnio
zaproponowano postać kryterium dla materiałów określanych jako pośrednie [8]. Carpinteri i
Spagnoli w swojej pracy przedstawili możliwość wyznaczania położenia płaszczyzny
krytycznej w oparciu o stosunek granic zmęczenia dla skręcania i zginania. Celem niniejszej
pracy jest weryfikacja zaproponowanej przez Carpinterego i Spagnoli formuły, pozwalającej
wyznaczać położenie płaszczyzny krytycznej na podstawie stosunku granic zmęczenia dla
skręcania i zginania. Następnie zostanie wyznaczona trwałość zmęczeniowa elementów
wykonanych ze stopu aluminium 2017A z zastosowaniem określenia położenia płaszczyzny
krytycznej wyznaczonej według powyższej metody oraz wyrażenia na naprężenie
ekwiwalentne jako sumy naprężeń normalnych i stycznych ze współczynnikami wagowymi,
zgodnie z ogólnym wzorem zaproponowanym przez Machę.
422
K. WALAT, T. ŁAGODA
2. ALGORYTM OBLICZANIA TRWAŁOŚCI ZMĘCZENIOWEJ
Przedstawiony schematycznie na rys. 1 algorytm szacowania trwałości zmęczeniowej
został ograniczony do badanych kombinacji zginania ze skręcaniem przy przyjęciu zerowych
wartości średnich przebiegów. Danymi wyjściowymi w przedstawionym algorytmie są
składowe przebiegów naprężenia pochodzące z eksperymentu. W analizowanym algorytmie
przebieg naprężeń normalnych σxx(t) dotyczy naprężeń pochodzących od zginania a
stycznych τxy(t) od skręcania.
1. Określanie składowych przebiegów, σxx(t), τxy(t)
2. Wyznaczanie orientacji płaszczyzny krytycznej,α
3. Obliczanie przebiegu ekwiwalentnego, σeq(t)
4. Wyznaczanie amplitud cykli, σeqa
5. Obliczanie trwałości zmęczeniowej, Ncal
Rys.1. Algorytm szacowania trwałości zmęczeniowej dla analizowanych obciążeń
Drugim etapem algorytmu oceny trwałości zmęczeniowej jest etap wyznaczania orientacji
płaszczyzny krytycznej, którą można wyznaczyć za pomocą jednej z trzech znanych metod:
funkcji wagowych [3], kumulacji uszkodzeń [1] oraz metodą wariancji [5]. Punktem wyjścia
było wyznaczenie położenia płaszczyzny krytycznej metodą maksimum wariancji naprężenia
normalnego μσ,σ, zapisaną wzorem
μ σ, σ =
1
T0
T0
∫ σ (t )σ (t )dt ,
η
η
(1)
0
gdzie T0 jest czasem obserwacji, ση to składowa normalna naprężenia.
Uzyskiwano w ten sposób orientację płaszczyzny określającej kierunek normalnej γ. Aby
wyznaczyć orientację płaszczyzny krytycznej zgodnie z formułą Carpinteri i Spagnoli
zaproponowaną w pracy [2], należy skorzystać z równania
α = 450
3 ⎡ ⎛ τ af
⎢1 − ⎜
2 ⎢ ⎜⎝ σaf
⎣
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎤
⎥.
⎥⎦
gdzie τaf i σaf to stosunek granic zmęczenia na skręcanie i zginanie.
(2)
ORIENTACJA PŁASZCZYZNY KRYTYCZNEJ PRZY WYZNACZANIU TRWAŁOŚCI …
423
W tym przypadku kąt α jest kątem pomiędzy wcześniej wyznaczonym kierunkiem
maksymalnego naprężenia normalnego a kierunkiem normalnym do płaszczyzny krytycznej γ.
Daje to w efekcie kąt 0° dla stosunku równego 1, jak ma to miejsce w przypadku materiałów
wykazujących cechy materiałów sprężysto-kruchych oraz 45° dla stosunku równego 1 / 3 ,
co ma miejsce w przypadku materiałów sprężysto-plastycznych. Korzystając ze znanych
wzorów na przebiegi naprężenia normalnego pochodzącego od zginania i stycznego
pochodzącego od skręcania, liczono kolejno
σ η ( t ) = cos 2ασ xx (t ) + sin 2ατ xy (t ) ,
(3)
1
τ ηs (t ) = − sin 2ασ xx (t ) + cos 2ατ xy (t ) .
2
(4)
Następnie korzystano z ogólnej postaci wyrażenia na naprężenie ekwiwalentne [4]
zaproponowanej przez Machę [6]
σ eq (t ) = Bτ ηs (t ) + Kσ η (t ) ,
(5)
gdzie B i K to współczynniki wagowe służące do wyboru szczególnej postaci wyrażenia (5)
w zależności od sposobu definiowania orientacji płaszczyzny krytycznej.
Kolejnym krokiem jest obliczenie trwałości zmęczeniowej zgodnie ze wzorem
Tcal =
T0
,
S(T0 )
(6)
gdzie S(T0) jest stopniem uszkodzenia według obranej hipotezy.
Najczęściej stosowaną hipotezą jest liniowa hipoteza Palmgrena – Minera zaproponowana dla
dużej liczby cykli.
3. BADANIA EKSPERYMENTALNE
Badania eksperymentalne wykorzystane w pracy realizowane były na próbkach
wykonanych ze stopu aluminium 2017A [7-9]. Stop ten zalicza się do grupy bezcynkowych
stopów aluminium do obróbki plastycznej. Cechy charakterystyczne duraluminium to przede
wszystkim dobre własności wytrzymałościowe, wysoka wytrzymałość na rozciąganie, bardzo
dobra wytrzymałość zmęczeniowa, mała gęstość i duża antykorozyjność. Główne składniki
stopowe to miedź podnosząca wytrzymałość i twardość oraz mangan dodawany w celu
polepszenia odporności na korozję. Stop aluminium 2017A jest szeroko stosowany w różnych
gałęziach przemysłu i transportu - od silnie obciążonych konstrukcji maszyn, sprzętu
wojskowego, poprzez szeroki wachlarz zastosowań w przemyśle lotniczym, maszynowym,
stoczniowym, samochodowym do estetycznych elementów ochronnych obudów sprzętu
fotograficznego, RTV i AGD, elementów elektronarzędzi czy drobnych narzędzi
rzemieślniczych i materiałów wykończeniowych czy dekoracyjnych w budownictwie.
Badania prowadzono na próbkach typu diabolo, których geometria przedstawiona na rys.2
znacznie ułatwiała lokalizację miejsca o największych naprężeniach.
424
K. WALAT, T. ŁAGODA
Rys. 2.Geometria próbek wykorzystanych w badaniach
Próbki poddawane były czystemu wahadłowemu zginaniu i czystemu obustronnemu
skręcaniu, jak również proporcjonalnym i nieproporcjonalnym kombinacjom momentów
zginającego i skręcającego. Stopy aluminium są mniej poznane niż na przykład stale, dlatego
są aktualnym tematem badań.
4.
PORÓWNANIE
UZYSKANYCH
Z EKSPERYMENTALNYMI
TRWAŁOŚCI
OBLICZENIOWYCH
Na podstawie zależności (1) wyznaczono orientację płaszczyzny krytycznej dla czystego
wahadłowego zginania i czystego obustronnego skręcania. W przypadku zginania
płaszczyzna krytyczna zorientowana była pod kątem α = 40,12°, a w przypadku skręcania
pod kątem α = - 9,88°. Po uwzględnieniu zależności (3) i (4) we wzorze (5) i wprowadzeniu
czystego zginania oraz czystego skręcania uzyskuje się dla analizowanego materiału, gdzie
stosunek granic zmęczenia dla zginania i skręcania τ af σ af = 1 1,57 , dwie pary wartości
współczynników B i K i dwie postacie wyrażenia na naprężenie ekwiwalentne:
σ eq = 0,809τ xy + 2,391σ xx
i
σ eq = 3,271τ xy + 4,466σ xx .
(7)
(8)
Na podstawie obliczeń uzyskano orientację płaszczyzn krytycznych α′ dla każdej
z analizowanych kombinacji obciążenia. Uzyskane wyniki przedstawiono w tabeli 1.
Na rys. 3 przedstawiono porównanie wyników trwałości obliczeniowych z
eksperymentalnymi dla czystego wahadłowego zginania, czystego obustronnego skręcania,
proporcjonalnej kombinacji zginania ze skręcaniem, dla stosunku naprężeń stycznych
pochodzących od skręcania i normalnych pochodzących od zginania λ= τ xya σ xya = 0,25; 0,5;
1 oraz nieproporcjonalnej kombinacji zginania ze skręcaniem dla λ = 0,25 i kąta przesunięcia
fazowego Φ = 90°.
ORIENTACJA PŁASZCZYZNY KRYTYCZNEJ PRZY WYZNACZANIU TRWAŁOŚCI …
425
Tabela 1. Kąty orientacji płaszczyzn maksymalnego naprężenia normalnego γ i płaszczyzn
krytycznych α′ dla analizowanych rodzajów obciążeń.
Obciążenie
Płaszczyzna maksymalnego Orientacja
płaszczyzny
naprężenia normalnego, γ
krytycznej, α′
0°
40,12°
τ = 0 (czyste zginanie)
λ = 0,25, Φ = 0°
-76,5°; 13,5°
115,12°
λ = 0,5, Φ = 0°
-67,5°; 22,5°
63,12°
λ = 1, Φ = 0°
-58°; 32°
72,12°
σ = 0 (czyste skręcanie)
-45°; 45°
-9,88°
0°
40,12°
λ = 0,25, Φ = 90°
1x108
τ=0
λ=0,25 φ=00
λ=0,5 φ=00
λ=1 φ=00
σ=0
λ=0,25 φ=900
N cal, cykle
1x107
1x106
1x10
5
1x10
5
1x10
6
1x10
7
1x10
8
N exp, cykle
Rys.3. Porównanie uzyskanych obliczeniowych trwałości zmęczeniowych z
eksperymentalnych dla badań zmęczeniowych próbek wykonanych ze stopu 2017A
426
K. WALAT, T. ŁAGODA
5. ANALIZA STATYSTYCZNA UZYSKANYCH WYNIKÓW
Na podstawie wyników badań eksperymentalnych i trwałości zmęczeniowych uzyskanych
z algorytmu wykorzystującego formułę Carpinterego i Spagnoli przeprowadzono statystyczną
analizę wyników badań nową metodą przedstawioną w pracy [8]. Wyznaczono pierwiastek ze
średniokwadratowej wartości błędu jako
n
E RMS =
∑ log
2
i =1
n
N exp i
N cali
,
(8)
czyli błąd średniokwadratowy rozrzutów otrzymuje się zgodnie ze wzorem
TRMS = 10 ERMS .
(9)
Dla badań analizowanych w pracy TRMS wyniósł 1,34. Wartości błędu średniokwadratowego
dla poszczególnych kombinacji obciążeń przedstawiono na rys. 4.
Rys. 4. Zestawienie wyników obliczeń błędu średniokwadratowego dla obciążeń
wykorzystanych w badaniach próbek wykonanych ze stopu aluminium 2017A
Niskie wartości błędu średniokwadratowego świadczą o zadowalającej jakości przyjętego
modelu obliczeniowego pozwalającego na bardziej precyzyjne – niż w dotychczas
stosowanych metodach - szacowanie trwałości zmęczeniowej.
W pracach [7, 9] porównywano wyniki badań obliczeniowych uzyskanych trzema różnymi
metodami, stosując kryterium w płaszczyźnie krytycznej zdefiniowanej poprzez wariancję
naprężeń normalnych, wariancję naprężeń stycznych i kowariancję naprężeń. Analizowano
również stop aluminium 2017A i uzyskano zarówno dla obciążeń proporcjonalnych jak
i przesuniętych w fazie największą wartość błędu średniokwadratowego dla kryterium
bazującego na płaszczyźnie krytycznej zdefiniowanej przez maksimum wariancji naprężenia
normalnego i wyniósł on odpowiednio 7,2 i 8,9. Kolejnym było kryterium oparte na
ORIENTACJA PŁASZCZYZNY KRYTYCZNEJ PRZY WYZNACZANIU TRWAŁOŚCI …
427
płaszczyźnie krytycznej zdefiniowanej przez maksimum wariancji naprężenia stycznego,
a uzyskane wartości błędu średniokwadratowego wyniosły 4,4 dla obciążeń proporcjonalnych
i 5,1 dla obciążeń niezgodnych w fazie. Najlepsze efekty uzyskano dla kryterium
wykorzystującego płaszczyznę krytyczną definiowaną przez ekstremum kowariancji naprężeń
normalnych i stycznych, gdzie błąd wyniósł 1,6 przy obciążeniach proporcjonalnych
i nieproporcjonalnych.
Dlatego można stwierdzić, iż wartość błędu średniokwadratowego na poziomie 1,34
uzyskanego dla obciążeń analizowanych w tej pracy jest wynikiem znacznie lepszym,
a wykorzystany model zastosowano słusznie dla badanego stopu 2017A.
6. WNIOSKI
1.
Istnieje wiele modeli obliczania trwałości zmęczeniowej w wieloosiowym zmęczeniu,
bazujących na orientacji płaszczyzny krytycznej. Ważne jest, aby wykorzystywana
metoda dawała jak najbardziej bliskie rzeczywistości wyniki i uwzględniała cechy
charakteryzujące dany materiał. Jest to ważne zwłaszcza w stopach aluminium, które
charakteryzują się własnościami pośrednimi między materiałami sprężysto-kruchymi i
sprężysto-plastycznymi.
2.
Metoda definiowania orientacji płaszczyzny krytycznej zaproponowana przez Carpinteri
i Spagnoli, zastosowana w kryteriach wieloosiowego zmęczenia zdefiniowanych jako
suma naprężeń normalnych i stycznych ze współczynnikami wagowymi w zdefiniowanej
płaszczyźnie krytycznej, pozwala na szacowanie trwałości zmęczeniowej elementów
wykonanych ze stopów aluminium z większą precyzją niż dotychczas analizowane
modele. Stanowi więc uniwersalne narzędzie w rękach inżynierów konstruktorów
wykorzystujących elementy wykonane ze stopów aluminium, szeroko stosowanych
w różnych gałęziach gospodarki, przemysłu i transportu.
LITERATURA
1. Będkowski W., Macha E.: Kryterium maksymalnego naprężenia normalnego w
warunkach trójosiowego losowego stanu naprężenia. Metoda wyznaczania oczekiwanego
położenia płaszczyzny złomu. Zesz. Nauk. WSI w Opolu, “Mechanika” 1992, z.43, s.51–
82
2. Carpinteri A., Macha E., Brighenti R., Spagnoli A.: Expected principal stress directions
under multiaxial random loading. Part II : Numerical simulation and experimental
assessment through the weight function method. “International Journal Fatigue” 1999, 21,
p.89-96
3. Carpinteri A., Spagnoli A., Vantatori S.: A multiaxial fatigue criterion for random
loading. “Fatigue Fracture Engineering Materiale Structures” 2003, 26, p. 515-522
4. Łagoda T., Ogonowski P.: Criteria of multiaxial random fatigue based on stress, strain and
energy parameters of damage in the critical plane. “Mat.-wiss. u. Werkstofftech,” 2005,
Vol.36, No 9, p.429-437
5. Macha E.: Generalization of strain criteria of multiaxial cyclic fatigue to random loading.
VDI Reihe 18, Nr 52 VDI-Verlag, Dusseldorf 1988, p. 102.
428
K. WALAT, T. ŁAGODA
6. Macha E.: Simulation investigation of the position of fatigue plane. In: Materiale with
biaxial loads, Mat.-wiss. u. Werkstofftech. No. 20, 1989 Teil I, Heft 4/89, p. 132-136, Teil
II, Heft 5/89, p.153-163
7. Walat K., Łagoda T.: Trwałość zmęczeniowa aluminiowych złączy spawanych według
kryteriów opartych na położeniu płaszczyzny krytycznej wyznaczanych trzema metodami.
„Transport Przemysłowy i Maszynowy” 2010, 2(8), s. 68-72
8. Walat K.: Wpływ kowariancji naprężeń w płaszczyźnie krytycznej na trwałość
zmęczeniową elementów maszyn. Rozprawa doktorska, Opole 2010.
9. Walat K.: Wartość średniokwadratowa rozrzutów jako statystyczna miara oceny trwałości
zmęczeniowej. W: XXIV KNPRMR, Zakopane 2011.
THE CRITICAL PLANE ORIENTATION IN THE CASE
OF DETERMINATION OF FATIGUE LIFE VERSUS
THE FATIGUE LIMITS
Summary. The paper presents relations between changes of the critical plane
orientation and the fatigue limit ratio for the considered loadings. Fatigue lives of
the chosen models were determined according to the multiaxial fatigue criterion
where the critical plane orientation was defined according to the method proposed
by Carpinteri and Spagnoli. The materials of intermediate properties (between
elastic-brittle and elasttic-plastic), mainly aluminium alloys were tested, and next
the obtained test results were analysed.