analiza możliwości analitycznej aproksymacji krzywej obciążenie

analiza możliwości analitycznej aproksymacji krzywej obciążenie

Prof. dr hab. inż. Zygmunt Meyer1
mgr inż. Grzegorz Szmechel2
ANALIZA MOŻLIWOŚCI ANALITYCZNEJ APROKSYMACJI KRZYWEJ
OBCIĄŻENIE OSIADANIE DLA TESTÓW STATYCZNYCH
PALI ŻELBETOWYCH W GRUNTACH SYPKICH
1. Wstęp
Rosnące zapotrzebowanie na nowe tereny inwestycyjne oraz chęć wznoszenia coraz
większych obiektów sprawiają, iż w praktyce inżynierskiej wykorzystanie posadowienia na palach
nabiera coraz większego znaczenia. Obecnie stały się one jedną z najbardziej popularnych form
posadowienia obiektów przenoszących na podłoże znaczne obciążenia, szczególnie w trudnych
warunkach gruntowych. Wobec tego pojawia się problem optymalizacji nośności pali. Jednym z
możliwych podejść jest projektowanie pali w oparciu o wyniki testów statycznych, czyli z
zachowaniem warunków najbardziej zbliżonych do rzeczywistego zachowania pala w gruncie.
Badania te maja na celu określenie nośności pala, wielkości osiadań, potwierdzenia prawidłowości
zaprojektowanego rozwiązania. Często jesteśmy także zainteresowani określeniem granicznej
nośności pala Ngr, ponieważ to właśnie nośność graniczna określa zapas bezpieczeństwa. W praktyce
stan nośności granicznej podczas badań statycznych jest rzadko osiągany, z uwagi na bardzo duże siły,
jakie należałoby w tym celu przyłożyć na pal. Jako efekt obciążeń statycznych pala otrzymujemy
krzywą obciążenie osiadanie, czyli krzywą Q-S.
W celu określenia całego przebiegu krzywej Q-S, a co za tym idzie nośności granicznej pala,
w literaturze znaleźć można wzory pozwalające w sposób przybliżony określić jej przebieg. Ocena
analityczna krzywej Q-S jest zagadnieniem złożonym z uwagi na wiele czynników warunkujących
pracę pala, w tym min. układ warstw geotechnicznych, występowanie naprzemienne gruntów
spoistych i niespoistych, technologię wykonywania pali, sztywność fundamentu i układ grupy palowej
to tylko niektóre z ważnych czynników mających wpływ na przebieg krzywej osiadania. W literaturze
znaleźć można wiele metod analitycznego określenia krzywej obciążenie osiadanie. [1,2.3,4,5,6,7,8]
Dotychczas dla pala pojedynczego najczęściej stosowano metody w dużej mierze bazujące na
teorii sprężystości, w tym teorii Mindlina [5], oraz metody bazujące na wykorzystaniu funkcji
transformacyjnych [4,5,6]. Coraz częściej do takiej analizy wykorzystuje się badania ”in situ”
sondowań CPT, CPTU itp. W dobie rozwiniętej technologii komputerowej należy także wspomnieć o
rozwiązaniach opartych o metodę elementów skończonych i brzegowych MES i MEB [3]. Z punktu
widzenia niniejszej pracy interesujące są rozwiązania bazujące na wzorach empirycznych i pół
empirycznych opartych na pomiarach na badaniach terenowych. Celem pracy jest opracowanie
1
2
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, Katedra Geotechniki
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, Katedra Geotechniki
metody, która szybko i z dostateczną dla celów inżynierskich dokładnością pozwoli na prognozowanie
przebiegu krzywej. Metodą taką jest aproksymacja przedstawiona przez Kowalowa-Meyera w [8].
Równanie to zmodyfikowano poszukując możliwości wykorzystania analizy wstecznej do
wyznaczenia parametrów gruntowych.
2. Analiza zjawiska
Przedstawiona w literaturze [3] krzywa aproksymująca wyniki testów statycznych pali spełnia
następujące warunki brzegowe:
−
Dla N→0 krzywa S(N) dąży do linii prostej (asymptota ukośna)
−
Dla N→Ngr osiadanie S powinno dążyć do nieskończoności, czyli mamy tu do
czynienia z asymptotą pionową
Dla tak przyjętych warunków funkcja aproksymująca ma postać:
gdzie:
(1)
A- stała [m]
κ- bezwymiarowy wykładnik potęgi
N- siła przyłożona w głowicy [kN]
Ngr- graniczne obciążenie pala [kN]
Aproksymacja parametrów krzywej przy zastosowaniu tego wzoru dla małych N, może
nastręcza pewnych trudności z uzyskaniem dokładności. W niniejszej pracy zaproponowano opis tej
krzywej, przy zastosowaniu rozwinięcia w szereg Maclaurina. Próbne obciążenia wskazują, że dla
małych obciążeń N krzywa Q-S w otoczeniu punktu 0 jest prostą. Można ją wyznaczyć przez analizę
stycznej do krzywej w tym miejscu. Mamy:
(2)
stąd:
(3)
Podstawiając zależność (3) do wzoru (1) otrzymujemy:
(4)
Wprowadzenie stałej C wynika z przyszłych zamiarów wykorzystania jej w opisie zjawiska liniowej
teorii Bousinessqa. Wyrażenie z mianownika znajdujące się w nawiasie we wzorze (1) można
rozwinąć w szereg Maclaurina otrzymujemy [11]:
gdzie:
(5)
(6)
Ciąg ten jest szybko zbieżny. Użycie do obliczeń 6-7 wyrazów daje nam dobrą zgodność
rzędu 10-5. Rozwinięta postać tego wyrażenie można przedstawić jako:
(7)
Można, także wykazać, że wyrażenie:
(8)
(9)
Biorąc pod uwagę strukturę wyrażeń (7),( 8) i (9) można wykazać, iż do wyznaczenia stałej C
z obciążeń statycznych pala wystarczy wykorzystać przedział 0<N<0,3Ngr
Przyjmując powyższe założenia możemy napisać ostatecznie:
(10)
W dalszej analizie wygodnie przyjąć oznaczenie:
(11)
Aby możliwe było posłużenie się metodami statystycznymi wzór (12) sprowadzamy do
postaci liniowej, przy wykorzystaniu funkcji F1. Parametry gruntu w tak przyjętym modelu opisywane
będą przez współczynnik κ, zależny najprawdopodobniej od udziału średnic dominujących (krzywa
uziarnienia) w gruncie, oraz od Ngr. Mamy wówczas:
gdzie:
(12)
(13)
Otrzymujemy wzór na osiadanie, który zawiera dwie stałe κ oraz Ngr :
(14)
Do wyznaczenia tych stałych zastosowano metodę najmniejszych kwadratów odchyłek w
elementarnej postaci. W rozpatrywanym przypadku możemy teraz obliczyć dokładność przybliżenia
współczynników κ i Ngr. W tym celu obliczamy średnią odchyłkę kwadratową ze wzoru:
(15)
Mając powyższy dane opis matematyczny zjawiska z wykorzystaniem funkcji
kolejnym krokiem, było stworzenie prostego programu komputerowego w języku VBA do obliczania
funkcji F1(N). Aby uprościć obliczenia kolejnych wyrażeń zastosowano wzór rekurencyjny, który dla
funkcji F1 przyjął postać:
(16)
Wyrażenie Ij ma postać:
gdzie:
(17)
(18)
Za pomocą programu komputerowego wyliczono sumy ciągów dla poszczególnych punktów
krzywej z obciążeń statycznych pala, i na podstawie wzoru (15) obliczono tangens nachylenia
krzywej doświadczalnej dla N=0 z przedziału 0<N<0,3Ngr
można było dobrać parametry
teoretycznej krzywej Q-S, czyli współczynnik κ i wartość siły Ngr tak by suma odchyłek
kwadratowych pomiędzy punktami krzywej doświadczalnej i teoretycznej była jak najmniejsza.
Podejście takie umożliwia nieuwzględnienie w obliczeniu C punktów na krzywej dla bardzo
małych obciążeń, które mogą być obarczone błędem wynikającym z niedokładności urządzeń itp.
3. Przykład obliczeniowy
W celu sprawdzenia przedstawionego opisu matematycznego krzywej Q-S wykorzystano
wyniki statycznych obciążeń 5 pali wykonanych podczas budowy przeprawy mostowej przez
Regalicę w Szczecinie [2]. Badania prowadziła Katedra Geotechniki Zachodniopomorskiego
Uniwersytetu Technologicznego.
Wszystkie pale były palami żelbetowymi, typu wibrex o przekroju okrągłym 0,508 m.
Długość ich wynosiła od 15 do 16 m. Wszystkie zagłębiano w zbliżonych warunkach gruntowych.
W górnej warstwie podłoża zalegały namuły i grunty zastoiskowe akumulacji rzecznej, natomiast
głębiej holoceńskie piaski drobne w stanie średnio zagęszczonym. Stopy pali posadowiono w
piaskach drobnych rzecznych o uśrednionym Id=0,6. Najważniejsze dane z przeprowadzonej
symulacji przedstawiono w tablicach od 1 i 2
Tablica 1. Dane wejściowe (osiadania w [2])
Nr pala
Obiekt
Podpora
H [m]
D [m]
A [m2]
Eq [MPa]
Et [MPa]
8
11
11
11
16
WD 3
WD 3
WD1
WD 1
WD 1
10
16
2
15,9
1
16
1
16
85
58
70
50
4
15
0,508
0,202
78
55,7
68
40
60
50
Wartości modułów ściśliwości gruntu odpowiadają wartościom normowym ustalone metodą C
zgodnie z PN-B-0320:1998. Dla warunków gruntowych jak w dokumentacji. Eq oznacza wartość
modułu pod podstawą pala natomiast moduł Et wyliczono zgodnie z założeniem jak na rysunku:
Rys 1. Schemat obliczenia modułu Et wzdłuż pobocznicy pala
Dla uproszczenia przyjmijmy, iż moduł ściśliwości Et wzdłuż pobocznicy pala przyjmujemy
jako średnią ważoną poszczególnych modułów wzdłuż pobocznicy i pod podstawą pala.
Wzór na uśredniony moduł Et przyjmie postać:
(19)
Wyniki analizy pracy pali przedstawiono w tablicy drugiej, wykresy 1-5 ilustrują przebieg
krzywych doświadczalnych zestawiony z przebiegiem krzywych teoretycznych.
Tablica 2. Wyniki analizy
Nr pala
Obiekt
Podpora
C[mm/kN]
κ
Ngr [kN]
Σδ2 [mm2]
8
11
11
11
16
WD 3
WD 3
WD1
WD 1
WD 1
10
0,00102
0,7
2650
0,288
2
0,001279
0,01
2700
0,0165
4
0,001093
0,1
2800
0,017
1
0,001729
0,15
4400
0,04
1
0,001396
0,5
5400
0,108
Rys 2. Wyniki osiadania pomierzone w wyniku testów statycznych na tle krzywej określonej
analitycznie. Ngr=2650 kN, κ=0,7
Rys 3. Wyniki osiadania pomierzone w wyniku testów statycznych na tle krzywej określonej
analitycznie. Ngr=2700 kN, κ=0,01
Rys 4. Wyniki osiadania pomierzone w wyniku testów statycznych na tle krzywej określonej
analitycznie. Ngr=2700 kN, κ=0,01
Rys 5. Wyniki osiadania pomierzone w wyniku testów statycznych na tle krzywej określonej
analitycznie. Ngr=4400 kN, κ=0,15
[κΝ]
[mm]
Wykres 5. Wyniki osiadania pomierzone w wyniku testów statycznych na tle krzywej
określonej analitycznie. Ngr=5400 kN, κ=0,5
Optymalizacja parametrów κ i Ngr wykonana została w oparciu o metody statystyczne.
Parametry były dobierane poprzez minimalizację sumy odchyłek kwadratowych w funkcji
współczynnika k i nośności granicznej. Przykładowo pokazano w tablicy 3 jak zmienia się suma
kwadratów odchyłek dla różnych κ oraz Ngr
Tablica 3. Suma kwadratów odchyłek jako funkcja κ i Ngr dla pala Nr 16 WD 1
κ
Ngr
3800
4000
4200
4400
4600
4800
5000
5200
5300
5400
5500
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,119
0,112
0,114
0,124
0,137
0,150
0,169
0,188
0,198
0,2075
0,2171
0,132
0,115
0,111
0,115
0,124
0,137
0,1525
0,169
0,1782
0,1871
0,1961
0,152
0,125
0,113
0,111
0,116
0,125
0,137
0,152
0,1607
0,1689
0,1774
0,1795
0,1405
0,1196
0,1109
0,1108
0,1165
0,126
0,138
0,1457
0,153
0,1606
0,214
0,162
0,131
0,115
0,10983
0,1111
0,1173
0,127
0,133
0,1393
0,1461
0,257
0,191
0,149
0,125
0,113
0,1092
0,1116
0,118
0,1229
0,1281
0,1338
0,3082
0,226
0,173
0,139
0,12
0,1108
0,109
0,1123
0,1153
0,1193
0,1238
0,368
0,268
0,202
0,158
0,131
0,116
0,1095
0,10896
0,1104
0,1129
0,1162
0,45
0,5
0,55
0,4364 0,5124 0,6018
0,3178 0,3749 0,4399
0,237
0,2785 0,3267
0,1827 0,2123 0,2474
0,14725 0,1675 0,1926
0,12536 0,1384 0,1555
0,1133 0,1206 0,1314
0,10859 0,1112 0,1169
0,10831 0,1089 0,1125
0,10916 0,10804 0,1096
0,111
0,1083 0,1081
4. Wnioski
1. W pracy przedstawiono metodę aproksymacji krzywej Q-S otrzymanej ze statycznych
testów pali w oparciu o zależności podane w [3]. W celu uzyskania większej
dokładności obliczeń oraz przyspieszenia procedury zastosowano rozwinięcie funkcji
S w szereg potęgowy Maclurina.
2. Uzyskane podczas symulacji wyniki wskazują iż przedstawiona metoda analitycznej
aproksymacji krzywej obciążenie osiadanie w gruntach sypkich pozwala z dużą
dokładnością aproksymować krzywą Q-S z wykorzystaniem funkcji F1.
3. Uzyskane wartości nośności granicznej odpowiadają wartością oczekiwanym i
mieszczą się w przedziale od 2650 kN do 5400 kN.
4. Współczynnik κ waha się od 0,01 do 0,7. Parametr C jako styczna z przedziału od 0
do 0,3 Ngr będzie wykorzystany w dalszej części badań w celu określenia parametrów
gruntowych. Praktyka próbnych obciążeń statycznych wskazuje iż dla bardzo małych
obciążeń przykładanych w głowicy, a co za tym idzie minimalnych osiadań,
występuje spory błąd. Wynika on z błędu pomiaru, niedokładności przyrządów, luzów
technologicznych, ruchu ciężkiego sprzętu w okolicy badanego pala itd. Z tego też
powodu zrezygnowano z określenia stałej C dla N=0, a do obliczeń wzięto dłuższy
odcinek krzywej tj. N od 0 do 0,3 Ngr. Błąd pomiaru będzie można zmniejszyć
poprzez zastosowanie metod statystycznych. Obliczenia potwierdziły to założenie.
5. Uzyskanie analitycznego związku obciążenie osiadanie oraz wartości Ngr pozwala na
weryfikację projektu posadowienia i ewentualne korekty.
6. Problemem, który wymaga dalszej analizy jest ocena możliwości określenia
parametrów gruntowych (zwłaszcza modułów ściśliwości) z wykorzystaniem stałej C,
która odpowiada poszczególnym krzywym obciążenia dla bardzo małych obciążeń.
Zakłada się że w pierwszej fazie pracy dla bardzo małych obciążeń można przyjąć
liniową teorię Boussinesqa. Zależność tę można wykorzystać i zbudować stosowne
zależności, które pozwolą rozwiązać zadanie odwrotne, jakim jest określenie
modułów ściśliwości. Zagadnienie to będzie przedmiotem dalszych badań.
7. Innym problemem jest zbadanie czy istnieje zależność modułu ściśliwości gruntu od
obciążenia granicznego. Problem ten również będzie przedmiotem dalszych badań.
LITERATURA:
1. Bengt. H. Fellenius: What capacity value to choose from the results of static load test.
2. Bednarek R., Kozłowski T.:Wyniki badań próbnych obciążeń przeprawy mostowej przez
Regalicę. Katedra Geotechniki ZUT Szczecin
3. Bzówka J. Współpraca kolumn wykonywanych techniką iniekcji strumieniowej z podłożem
gruntowym. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej. Gliwice, 2009
4. Cichy L., Rybak J., Tkaczyński G.: Badanie nośności pali prefabrykowanych. Nowoczesne
Budownictwo Inżynieryjne, 2009
5. Gwizdała K., Fundamenty palowe. Tom 1, PWN 2010
6. Gwizdała K.: Kontrola nośności pali i jakości robót palowych. Geoinżynieria i Tunelowanie Nr
01/2004
7. Gwizdała K., Dyka I.: Analityczna metoda określania krzywej osiadania pala pojedynczego.
Inżynieria i Budownictwo nr 12/2001
8. Meyer Z: Analiza Naprężeń na pobocznicy oraz pod podstawę pojedynczego pala w oparciu o
liniową teorię Boussinesqa. XVIII Seminarium Naukowe z cyklu Regionalne problemy
inżynierii środowiska. 25.06.2010r
9. Meyer Z., Kowalów M.: Model Krzywej Aproksymującej wyniki testów statycznych pali.
Inżynieria Morska i Geotechnika Nr 3/2010
10. Norma Palowa PN-B-02482:1983
11. Bronsztejn I, Siemiendiajew K: Matematyka Poradnik Encyklopedyczny. PWN Warszawa
2010 Wydanie XX.