fizyka - laboratorium niepewnością
Transkrypt
fizyka - laboratorium niepewnością
FIZYKA - LABORATORIUM dr hab. inż. Michał K. Urbański, Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej, pok 127B Gmach Fizyki, [email protected] www.if.pw.edu.pl/ ∼murba konsultacje czwartek 17-18 GF strona Wydziału Fizyki www.fizyka.pw.edu.pl System pomiarowy x̃ wartość zmierzona (odczytana z przyrządu) ∆x – błąd. x̃ = x0 + ∆x (2) ALE Nie znamy ani wartości prawdziwej ani błędu, mamy tylko odczyt z przyrządu. Możemy tylko oszacować błędy, takie oszacowane nazywamy: NIEPEWNOŚCIĄ Źródła błędów Żródłem błędów są: 1. Model obiektu, założenia dotyczące języka opisu obiektów. 2. Doprowadzenie wielkości mierzonej do przyrządu, zakłócenia sygnałów. Oddziaływania na obiekt i układ pomiarowy Rodzaje pomiarów, dwa typy pomiarów: 3. Wpływ przyrządu na obiekt mierzony. 1. pomiar bezpośredni, wartość mierzonej wielkości pokazuje przyrząd, przykłady masa (ciężar) mierzona wagą szalkową, długośc mierzona linijką, czas mierzony zegarkiem, napięcie mierzone woltomierzem 4. Wzorce – odniesienia, względem których mierzone są wartości wielkości Wzorcowanie – przenoszenie wartości wzorcowej na przyrząd. 2. pomiar pośredni: 6. Błędy odczytu. 5. Działanie przyrządu pomiarowego, histereza, nieliniowości, błąd przetwarzania. • wyznaczenia wartości mierzonej wielkości poprzez wyliczenie ze wzoru opisującego zjawisko: z = f (x, y) (1) 7. Błędy interpretacji Metody szacowania niepewności – publikacje i organizacje Metody szacowania niepewności ujęte są zasadami gdzie: x i y wielkości mierzone bezpośrednio. ISO (International Organization for Standardization np: R = U/I, gdzie: U –napięcie zmierzone www.iso.org). woltomierzem, Podstawowy dokument I–natężenie prądu mierzone amperomierzem. GUIDE TO THE EXPRESSION OF UNCERTAINTY • metoda najmnieszych kwadratów, metoda IN MEASUREMENT, ISO/GIMP statystyczna analizy zależności zmierzonych w skrócie „Przewodnik” empirycznie. BIMP – Bureau International des Poids et Mesures Dokument ten został ratyfikowany przez Błąd i niepewność Główny Urząd Miar Rrzeczypospolitej Polskiej Błąd różnica pomiędzy wartością zmierzona a poKlasyfikacja błędów i niepewności prawną („prawdziwą”): x0 – wartość poprawna („prawdziwa”) x̃ = x0 + ∆x (3) 1 x0 – wartość poprawna („prawdziwa”), x̃ wartość zmierzona (odczytana z przyrządu), ∆x – błąd. ∆x = ∆xs + ∆xr Metoda statystyczna oceny niepewności N {xi }i=1 seria N danych pomiarowych wykonanych jednym przyrządem w warunkach powtarzalności dla tego samego obiektu. Estymator wartości zmierzonej – średnia z próby: (4) ∆xs –składowa systematyczna błędu, ∆xr – składowa przypadkowa błędu, zakładamy, że ∆xr jest zmienną losową. Błąd systematyczny, błąd graniczny Załóżmy, że pomiar jest jednokrotny lub też składowa przypadkowa jest bardzo mała. x̃ = x0 + ∆x xsr = x̄ = (12) Niepewność standardowa = estymator odchylenia standardowego wartości średniej: Niepewność rozszerzona dla poziomu ufności p: N U (x) = Kp s {xi }i=1 (13) (5) jeśli ∆x ∈ [−∆xmax , ∆xmax ] to: x0 ∈ [x̃ − ∆xmax , x̃ + ∆xmax ] co zapiszemy: x0 = x̃ ± ∆max x N 1 X xi N i=1 Gdzie współczynnik Kp wynika z rozkładu prawdodpodobieństwa. Dla rozkładu normalnego Kp ≈ 2 Estymacja niepewności s estymator odchylenia standardowego: v N u u 1 X 2 N (xi − x̄) (14) s {xi }i=1 = t N − 1 i=1 (6) inaczej: wynik pomiary reprezentowany jest przedziałem: [x̃ − ∆xmax , x̃ + ∆xmax ] (7) Jeśli wielkośc mierzona jest sumą dwóch wielkości: z = x + y to wynik reprezentowany jest przedziałem: standardowe średniej: [x̃ − ∆xmax , x̃ + ∆xmax ] + [ỹ − ∆ymax , ỹ + ∆ymax ] = Odchylenie (8) √1 s {xi }N i=1 N = [x̃ + ỹ − (∆xmax + ∆ymax ), x̃ + ỹ + ∆xmax + ∆ymax ] Niepewność rozszerzona U (x): (9) v gdzie ∆x i ∆y są błędami granicznymi wielkości x i u u N y, a x̃ i ỹ, wynikami pomiarów, tak więc: U (xsr ) = Kp s {xi }i=1 = Kp t ∆zmax = ∆xmax + ∆ymax oraz: s(xsr ) = N X 1 2 (xi − x̄) (N − 1)N i=1 (10) (15) (11) gdzie Kp – współczynnik zależny od poziomu ufności p. wzór powyższy opisuje propagację błędu granicznego. z̃ = x̃ + ỹ Dla p = 0, 95 przyjmiemy: K0,95 ≈ 2 Niestatystyczne metody szacowania niepewności Błąd systematyczny – nie zmienia się przy kolejnych pomiarach. Metody wyznaczania niepewności – dwa alNie znamy błędu i szacujemy niepewność na podstagorytmy GUM wyróżnie dwie metody wyznaczania wie analizy działania przyrządu i metod pomiarowych. niepewności: Zazwyczaj przyjmujemy, że niepewnością jest błąd graniczny – maksymalna wartość błędu jaka wynika A. metoda A oparta o metody statystyczne serii daz analizy przyrządu nych (oznaczamy ∆max x lub w skrócie ∆x). Przedział [x̃ − ∆max x, x̃ + ∆max x] interpretujemy B. metoda B wykorzystująca inne niż statystycze mejako przedział, w którym na pewno znajduje się wartody tość prawdziwa (poprawna). Metoda statystyczna polega na analizie statystycznej zazwyczaj będziemy pomijać oznaczenie max i przeserii pomiarów Metoda niestatystyczna – polega na ustalenie roz- dział będziemy oznaczać:[x̃ − ∆x, x̃ + ∆x]. Jeżeli szukładu prawdopdobieństwa a priori opisujące możliw kana wielkość x0 : rodzaje błędów na podstawie: x0 ∈ [x̃ − ∆x, x̃ + ∆x] ⇔ x0 = x̃ ± ∆x (16) analiza systemu pomiarowego i oceny składowych systematycznych (nielosowych) i przypadkowych wynikagdzie x̃– wartość zmierzona. jących z: Przykład mierzymy długość miarka z podziałka mibudowy przyrządu, dokładności wzorcowania, oddziaływań środowiska (zakłóceń), doprowadzenia mierzo- limetrową, zazwyczaj przyjmujemy niepewność 1mm. nej wielkości do przyrządu, wływu przyrządu na obiekt, Niepewność rozszerzona złożona modelu obiektu mierzonego. ALE „Przewodnik” zaleca, aby w każdy przypadku stosować model probabilistyczny. 2 Niepewność złożona (całkowita) rozrzerzona dla prawdopodobieństwa p: r 1 2 2 (17) Up (X) = Kp (s(x̄)) + (∆x) 3 N X 1 b= N yi − a i=1 N X ! = ȳ − ax̄ xi (22) i=1 Wzory na a i b można zapisać następująco: gdzie K0,95 = 2.0, (p = 0, 95). ∆x składowa systematyczna (aparaturowa) niepewności przyrządu. s(x̄) – estymator odchylenia standardowego wartości średniej z danych pomiarowych. N P (xi − x̄) yi i=1 N P a= (23) 2 (xi − x̄) i=1 oraz: b = ȳ − ax̄ METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW gdzie: Badane zjawisko (obiekt) opisane jest równaniem y = f (x) (24) x̄ = (18) N 1 X xi , N i=1 ȳ = N 1 X yi N i=1 (25) odchylenie standadowe zmiennej a: 2 N W wyniku pomiarów mamy serię danych P Zadaniem jest znaleźć funkcję najlepiej pasująca do (xi − x̄) σ 2 (Y ) σ 2 (Y ) danych doświadczalnych. = N σ 2 (a) = i=1 (26) 2 N P P 2 Mamy dwa zagadnienia: 2 (x − x̄) i (xi − x̄) i=1 i=1 1. dobór rodziny funkcji, N Model pomiaru, mamy dane pomiarowe {xi , yi }i=1 , 2. określenie kryterium dopasowania. każdy pomiar zmiennej Y obarczony jest błędem przypadkowym ε: Kryteria dopasowania N {xi , yi }i=1 Y = f (X) + ε = aX + b + ε (27) Kryterium dopasowania jest minimalizacja miary I różnicy pomiędzy danymi doświadczalnymi a funkcją ε - zmienna losowa opisująca błąd wyznaczenia wartoopisana wzorem. ści y. Odchylenie standadowe σ(Y ) = σ(ε) Celem jest taki dobór parametrów opisujących funkZmienna ε w każdym doświadczeniu ma realizację εi : cję, dla których miara różnicy pomiędzy danymi doświadczalnymi a równaniem funkcji jest jak najmniejsza. yi = axi + b + εi estymator wariancji s(y): Przykładem miary najczęściej stosowanej jest suma różnic kwadratów: I(a, b, c, · · · ) = N X n n 1 X 1 X 2 2 εi = (yi − axi − b) N − 2 i=1 N − 2 i=1 (29) estymatory ochylenia standadowego: s2 (y) = 2 (yi − fa,b,c (x)) (19) i=1 Szukamy takich parametrów a, b, c dla których ta zależność jest minimalna. Używa się też sumy kwadratów ale z wagami zależnymi od niepewności pomiarów. r sa = σy N 1 oraz sb = sa N −2∆ 2 gdzie: ∆ = N Sxx − (Sx ) , Sxx = przykład, dopasowanie parametrów prostej N f (x) = ax + b do danych {xi , yi }i=1 I(a) = 2 (yi − (axi + b)) Syy = a= xi yi − i=1 N P n i=1 x2i N P xi i=1 N P −( N P i=1 xi N P yi2 , Sy = N P yi i=1 σy2 = (20) N X 2 (yi − axi − by) i=1 wzory na a i b mają postać: 1 2 a= N Sxx − (Sx ) ∆ yi (21) i b= )2 i=1 3 Sxx N x2i , Sx = oraz suma kwadratów błędów: otrzymujemy: N P N P i=1 i=1 n r i=1 gdy niepewności pomiarowe wszyskich punktów są takie same szukamy minimum: N X (28) 1 (Sy Sxx − Sx Sxy ) ∆ (30) N P i=1 xi , OBLICZENIA DLA KAŻDEJ SERII (3 serie) Ćwiczenie 1–Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych. 1. wyznaczyć nachylenie metodą najmniejszych kwadratów i z tego wyliczyć rezystancję Ćwiczenie ma następujące częsci: 1. Pomiar rezystancji i sprawdzanie prawa Ohma, metoda najmniejszych kwadratów. 2. okreslić niepewność nachylenia na podstawie estymatora odchylenia standardowego sa dla współczynnika nachylenia. Niepewność U (a) = kp sa 2. Pomiar średnicy pręta. Wyznaczanie niepewności całkowitej. Histogram. 3. Wyznaczyć rezystancję z danych o najwyższym prądzie i wyznaczyc niepewnośc różniczka zupełną. 3. Pomiar czasu spadania małego ciała i badanie rozkładu (test hipotezy i matoda chikwadrat) Wykonać N = 30 pomiarów średnicy pręta w różnych miejscach. 4. określić błąd spowodowany rezystancją woltomie2 rza. ∆R = RRV , gdzie R- zmnierona rezystancja, RV rezystancja woltomierza. Histogram Wykonujemy eksperyment N razy Histogram - rozkład częstości występowania zjawiska: jest to wykres: n(xk ) Porównać wszystkie uzyskane nachylenia i ich niepewności. We wnioskach opisać przyczyny różnic niepewności i wartości rezystancji. Wyznaczyć rezystancję z jednego punktu pomiarowego dla nawiększych wartości napięcia i natężenia prądu: U R= I Niepewność rozszerzona składowej systematyczne pochodzącej od przyrządu: s U (R) = ∆R = Prawdopodobieństwo empiryczne: dR dI 2 ∆2 I + dR dU 2 ∆2 U (32) gdzie: ∆U i ∆I wyznacza się z danych przyrządu. Całkowitą niepewność wynika ze wzoru na składanie (31) pk,exp niepewności: r U 2 1 Prawo Ohma: liniowy związek I = . 2 R Up (R) = Kp s(R̄) + (∆R) (33) 3 napięcie elekryczne U – bodziec wymuszający gdzie K0,95 = 2.0, ∆x składowa systematyczna (apaprzepływ prądu I. raturowa) niepewności przyrządu. R̄ wartość średnia Natężenie prądu elektrycznego– przepływ wymuszony serii pomiarowej. s(R̄) odchylenie standardowe wyznanapięciem elektrycznym. czone metodą najmniejszych kwadratów. n(xk ) = P (xk ) = N Należy szukać ogólnej postaci równania I = aU + I0 lub U = aI + U0 POMIARY Dwa rodzaje serii pomiarowych: 1. amperomierz cyfrowy, woltmierz cyfrowy 2. amperomierz cyfrowy, woltomier cyfrowy. Dla każdego układu przyrządów wykonać serie pomiarów dla: dwóch zakresów woltomieraz cyfrowego 2.0V, 20.0V, oraz czterech zakresów woltomierza analogowego. 1V, 3V, 10V, 30V. Otrzymamy dwie grupy danych trzy serie woltomierza cyfrowegi (małe, średnie i dla napięcia dla dwóch mierników napięcia) i cztery analogowego Cały czas kontrolować czy prąd nie jest za duży i czy wskazania nie skaczą. 4