2 22 5 22 3 4 ⋅ odpowiednio 88, 110 i 132 szkody. Wyznacz stan

 PDMWNRZ\FK
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H
U
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
/LNZLGDFMD V]NRG\ ]DLVWQLDáHM Z PLHVLFX
PLHVLFX ] SUDZGRSRGRELHVWZHP
2
22
t QDVW
SXMH Z W\P VDP\P
D Z PLHVLFX
t+k
] SUDZGRSRGRELHVWZHP
k −1
5  3
⋅   :DUWRü ND*GHM V]NRG\ Z\QRVL : PLHVLFDFK t, t+1 i t ]DLVWQLDá\
22  4 
odpowiednio 88, 110 i 132 szkody. Wyznacz stan rezerwy szkodowej na koniec
PLHVLFD t MHOL QD SRF]WNX PLHVLFD t VWDQ WHM UH]HUZ\ Z\QRVLá (A) 315
(B) 363
(C) 375
(D) 399
(
EUDNXMH GDQ\FK R VWUXNWXU]H UH]HUZ\ QD SRF]WNX tWHJR PLHVLFD
1
PDMWNRZ\FK
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H
U
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
5R]NáDG LORFL V]NyG GOD MHGQRURGQHM JUXS\ U\]\N MHVW UR]NáDGHP Poissona,
D ZDUWRü V]NRG\ PD UR]NáDG Z\NáDGQLF]\ R ZDUWRFL RF]HNLZDQHM
β −1 . Niech λ F
R]QDF]D QDMPQLHMV] RF]HNLZDQ LORü V]NyG ]DRNUJORQ GR OLF]E\ FDáNRZLWHM WDN
SU]\ NWyUHM GDQ\P VWDW\VW\F]Q\P R JUXSLH U\]\N SU]\SLVXMHP\ SHáQ ZLDU\JRGQRü full
credibility), tzn. dla której Pr(0.9 ⋅ c < C < 11
. ⋅ c) ≥ 0.95 , gdzie c MHVW FDáNRZLW VNáDGN
netto, a C MHM RV]DFRZDQLHP áF]Q ZDUWRFL V]NyG ]DUHMHVWURZDQ\FK Z QDV]\P
]ELRU]H GDQ\FK 3U]\MPXMF DSURNV\PDFM
UR]NáDGHP QRUPDOQ\P UR]NáDGX ]PLHQQHM C
L ZLHG]F L* VWDQGDU\]RZDQD ]PLHQQD QRUPDOQD SU]\MPXMH ZDUWRü ZL
NV] FR GR
PRGXáX RG ] SUDZGRSRGRELHVWZHP RWU]\PXMHP\ L*
λ F wynosi:
(A)
768
(B)
543
(C)
384
(D)
GR XG]LHOHQLD RGSRZLHG]L EUDNXMH LQIRUPDFML R ZDUWRFL
(E)
GR XG]LHOHQLD RGSRZLHG]L EUDNXMH LQIRUPDFML R LORFL MHGQRVWHN U\]\ND Z JUXSLH
2
β
PDMWNRZ\FK
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H
U
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
'OD SHZQHJR U\]\ND ZDUWRü SRMHG\QF]HM V]NRG\ PD UR]NáDG RNUHORQ\ QD
]ELRU]H OLF]E QDWXUDOQ\FK EH] ]HUD D áF]QD ZDUWRü V]NyG
3RLVVRQD 6NáDGND QHWWR ]D QDGZ\*N
áF]QHM V]NRG\
ZDUWRFL
X PD ]áR*RQ\ UR]NáDG
X ponad k dla wybranych
k wynosi:
[
k
Ε ( X − k )+
]
3
0.366
4
0.199
6
0.057
3UDZGRSRGRELHVWZR L* áF]QD ZDUWRü V]NyG
7
0.029
X wyniesie 4, 5 lub 6 wynosi:
(A)
0.337
(B)
0.309
(C)
0.170
(D)
0.139
(E)
brakuje danych do udzielenia jednoznacznej odpowiedzi
3
PDMWNRZ\FK
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H
U
___________________________________________________________________________
Zadanie 4. 2 UR]NáDG]LH ZDUWRFL V]NRG\ Y
G\VWU\EXDQW FLOH URVQF QD SU]HG]LDOH ZLHP\ L* MHVW WR UR]NáDG FLJá\ ]
M RUD] L* Pr(Y ∈(0,
3RQDGWR ZLHP\ L* VNáDGND QHWWR ]D QDGZ\*N
V]NRG\ SRQDG
dana wzorem:
[
]
E (Y − d )+ =
M )) = 1.
d jest dla d ∈ (4, 7)
(10 − d )3 .
300
Niech Z E R]QDF]D ]ELyU PR*OLZ\FK ZDUWRFL E(Y ) ]D Z M
M =ELRU\ WH PDM SRVWDü
(A)
Z E = (216
. , 4.72), Z M = (7.09, ∞)
(B)
Z E = (216
. , 4.72), Z M = (8.00, ∞)
(C)
Z E = (156
. , 4.72), Z M = (7 37 , ∞)
(D)
Z E = (156
. , 3 13 ),
Z M = (7 73 , 10)
(E)
Z E = (216
. , 3 13 ),
Z M = (8, 10)
4
]ELyU PR*OLZ\FK ZDUWRFL
PDMWNRZ\FK
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H
U
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
'OD SHZQHJR U\]\ND LORü V]NyG PD UR]NáDG 3RLVVRQD ] ZDUWRFL
λ D FDáNRZLWD ZDUWRü V]NRG\ X MHOL GR V]NRG\ GRMG]LH VNáDGD VL
]
GZyFK F]
FL ZDUWRFL V]NRG\ PDWHULDOQHM Y RUD] ZDUWRFL V]NRG\ QD *\FLX OXE
zdrowiu Z 2 V]NRG]LH PyZLP\ ZWHG\ JG\ MHM ZDUWRü MHVW GRGDWQLD W]Q ]DNáDGDP\
RF]HNLZDQ
L*
Pr( X > 0) = 1.
Pr(Y > 0) = 1, natomiast szkoda na
1
*\FLX OXE ]GURZLX MHVW GRGDWQLD UD] QD V]Hü V]NyG Pr (Z > 0) = .
6
-HGQDN W\ONR SLHUZV]D F]
ü MHVW ]DZV]H GRGDWQLD
6]NRG\ PDWHULDOQH JG\ QLH PD V]NyG QD
*\FLX OXE ]GURZLX PDM PRPHQW\
E(Y / Z = 0) = 1, Var (Y / Z = 0) = 2 ,
QDWRPLDVW NLHG\ Z\VWSL V]NRG\ QD
*\FLX OXE ]GURZLX ZWHG\
E(Y / Z > 0) = 2, Var (Y / Z > 0) = 3
E(Z / Z > 0) = 4, Var (Z / Z > 0) = 12
:LHP\ SRQDGWR L* COV (Y , Z / Z > 0) MHVW GRGDWQLD DF]NROZLHN ]ZL]HN W\FK
zmiennych przy Z ! QLH MHVW IXQNF\MQ\ =ELyU PR*OLZ\FK ZDUWRFL ZDULDQFML áF]QHM
ZDUWRFL V]NyG ] WHJR U\]\ND PLHFL VL
Z SU]HG]LDOH
(A)
(9 ⋅ λ ,
13 ⋅ λ )
(B)
(12 ⋅ λ ,
15 ⋅ λ )
(C)
(12 ⋅ λ ,
14 ⋅ λ )
(D)
(11 ⋅ λ ,
13 ⋅ λ )
(E)
(10 ⋅ λ ,
13 ⋅ λ )
5
PDMWNRZ\FK
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H
U
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
/LF]ED V]NyG GOD MHGQHJR U\]\ND PD UR]NáDG GDQ\ Z]RUHP
λk − λ
⋅e ,
k!
] W VDP ZDUWRFL λ dla danego ryzyka w kolejnych latach. W populacji (o
QLHVNRF]RQHM OLF]HEQRFL U\]\N UR]NáDG SDUDPHWUX Λ MHVW UR]NáDGHP *DPPD (α , β ) .
: URNX PLHOLP\ Z SRUWIHOX n ryzyk przypadkowo wylosowanych z tej populacji, i
Z\JHQHURZDá\ RQH N 0 V]NyG : URNX QDV] SRUWIHO OLF]\ WDN*H Q U\]\N SU]\ F]\P
Pr( N = k / Λ = λ ) =
SHZQD LFK F]
ü WR ORVRZR Z\EUDQD SRGJUXSD OLF]FD RG ]HUD GR Q U\]\N ] SRUWIHOD ]
URNX D SR]RVWDáRü WR U\]\ND
dolosowane z populacji. Niech N 1 R]QDF]D LORü V]NyG
w roku 1. Niech m R]QDF]D QDMPQLHMV] D M QDMZL
NV] PR*OLZ ZDUWRü
[
E (N1 − N 0 )
{m,
2
].
M } UyZQD VL
(A)
 α
n ⋅ ,
 β
(B)

α
 2n ⋅ ,
β

(C)
 α α2 
 α α 2 

 + 2 

n
⋅
+
,
2
n
⋅
 
2 
β
β


 β β 

(D)

α
 2n ⋅ ,
β

 α α 2 
2n ⋅  + 2  
 β β 
(E)

α
 2n ⋅ ,
β

 α α 
2n ⋅  + 2  
 β β 
2n ⋅
α

β
2n ⋅
α
α 
+ n⋅ 2 
β
β 
6
PDMWNRZ\FK
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H
U
___________________________________________________________________________
Zadanie 7. .ODV\F]Q\ SURFHV QDGZ\*NL XEH]SLHF]\FLHOD FKDUDNWHU\]XM SDUDPHWU\
λ F]
VWRWOLZRü URF]QD 3RLVVRQRZVNLHJR SURFHVX SRMDZLDQLD VL
V]NyG
u QDGZ\*ND SRF]WNRZD
UR]NáDG ]PLHQQHM Y ZDUWRFL SRMHG\QF]HM V]NRG\
θ VWRVXQNRZ\ QDU]XW QD VNáDGN
QHWWR
=Dáy*P\ L* Pr (Y = M ) = 1, gdzie M MHVW GRGDWQLH =Dáy*P\ WDN*H L* u = 10 ⋅ M .
3U]\MPLMP\ ZUHV]FLH L* QDV] FHO WR VNDONXORZDQLH VNáDGNL WDN DE\ ]DFKRG]Lá ZDUXQHN
EH]SLHF]HVWZD
e − Ru = 010
. , gdzie R to tzw. adjustment coefficient :WHG\ ZDUWRü θ:
(A)
MHVW Uy*QD GOD Uy*Q\FK
M
(B)
MHVW Uy*QD GOD Uy*Q\FK
λ
(C)
wynosi 10 ⋅ 10 0.1 − 1 − ln 10
(D)
wynosi 10 ⋅ e 0.1 − 1 − 1
(E)
(
(
wynosi
(
)
)
) −1
10 ⋅ 10 0.1 − 1
ln 10
7
PDMWNRZ\FK
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H
U
___________________________________________________________________________
Zadanie 8. : NODV\F]Q\P PRGHOX QDGZ\*NL XEH]SLHF]\FLHOD UR]NáDG ZDUWRFL V]NRG\
Y MHVW WDNL *H GRGDWQL ZVSyáF]\QQLN R LVWQLHMH 1LHNLHG\ ]DOH*\ WR RG ZáDVQRFL
UR]NáDGX ]PLHQQHM Y PR*QD áDWZR ZVND]Dü WDN OLF]E
g ! *H GOD ND*GHJR
e − Ru
dodatniego u SUDZGRSRGRELHVWZR UXLQ\ Ψ(u) ≤
:\ELHU] W
] RGSRZLHG]L
g
SUDZLGáRZ\FK GOD NWyUHM g MHVW OLF]E PR*OLZLH QDMZL
NV]
{(
−d )
/Y >d
{(
−d )
/ Y > d ⋅ Pr(Y > d )
(A)
R Y
g = inf E e (
(B)
g = inf E e R(Y
(C)
g = inf e R E (Y
(D)
R⋅E ( Y − d )+ ]
g = inf e [
(E)
g = E e R(Y − EY )
d >0
d >0
d >0
d >0
(
{
⋅
}
)
−d /Y >d )
{
)}
}
}
)
8
PDMWNRZ\FK
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H
U
___________________________________________________________________________
:DUWR
−1
Zadanie 9.
ü V]NRG\ Y PD UR]NáDG Z\NáDGQLF]\ R ZDUWRFL RF]HNLZDQHM β .
Ubezpieczyciel pokrywa jedynie W = min{Y , M } , gdzie M jest limitem
RGSRZLHG]LDOQRFL :DUWRü IXQNFML JHQHUXMFHM PRPHQW\ ]PLHQQHM W w punkcie t ma
SRVWDü
(A)
β − (β − t )⋅ M
t
e
−
β −t
β −t
(B)
β
t
− −t ⋅ M
−
e (β )
β −t β −t
(C)
β
⋅ e t⋅ M ⋅ 1 − e − β ⋅ M
β −t
)
(D)
β
⋅ e − β⋅ M ⋅ 1 − et⋅ M
β −t
)
(E)
β
− β −t M
⋅e ( )
β −t
(
(
9
PDMWNRZ\FK
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H
U
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
'HF\GHQW NLHUXMH VL
PDNV\PDOL]DFM ZDUWRFL RF]HNLZDQHM IXQNFML
X*\WHF]QRFL SRVWDFL
u( x ) =
x,
SRVLDGD PDMWHN ZDUW L QDUD*RQ\ MHVW QD VWUDW
X R UR]NáDG]LH WU]\SXQNWRZ\P
1
Pr( X = 0) = Pr( X = 50) = Pr( X = 100) = .
3
*RWyZ MHVW RQ ]DSáDFLü QLH ZL
FHM QL* ]D SRNU\FLH U\]\ND
X
OXE MHJR F]
FL
8EH]SLHF]\FLHOH RIHUXM ZV]\VWNLH GRSXV]F]DOQH NRQWUDNW\ SR FHQLH UyZQHM VNáDGFH
QHWWR : W\FK ZDUXQNDFK PDNVLPXP RF]HNLZDQHM X*\WHF]QRFL GHF\GHQWD Z\QRVL
(A)
18.4
(B)
18.7
(C)
19.0
(D)
19.3
(E)
19.6
10
PDMWNRZ\FK
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H
U
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 7 grudnia 1996 r.
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDMWNRZ\FK
Arkusz odpowiedzi*
,PL
L QD]ZLVNR ./8&= 2'32:,('=, Pesel ...........................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
♦
(
2GSRZLHG
Punktacja♦
C
C
D
B
D
E
E
A
B
B
Z\áF]QLH RGSRZLHG]L XPLHV]F]RQH Z Arkuszu odpowiedzi.
2FHQLDQH V
:\SHáQLD .RPLVMD (J]DPLQDF\MQD
11